Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 115
Текст из файла (страница 115)
Примеролс параболического уравнения, содержащего производные по С порядка выше первого, является уравнение — — 2Ь вЂ” — 'Ь и — -О. дги , ди дс дс (31) 3 в д в ч в б. Сформулируйте корректные постановки краевых задач для уравнения (31) и с помощью мегода Фурье дайте их обоснование в простейших случаях. 4.
Гиперболические уравнения (или системы уравнений), равно как и параболические уравнения, описывают процессы, зависящие ол времени (в некоторьсх случаях одна из независимых переменных может играть роль времени). Решения таких уравненнй можно представить в ваде функций, изменяющихся с течением времени, начиная с' некоторого начального состояния.
Основной особенностью гиперболических уравнений, которая отличает их от параболических, является конечность скорости распространения еозлсущеиий. Так, если момент й достаточно близок к на сальному моменту сс, то значение решения в точке х зависит только от начальных значений в некоторой малой окрестности этой точки при 1 = бь Простейшим примероьс гиперболических уравнений является уравнение ди/д1 О а(х, 1)ди/дх .—.— О. (32) Анализируя решение этого уравнения, легко увидеть, что формула и =- )'(х — а1) (33) дает общее решение уравнения (32), если а =- сопев На каксдой прямой х — аг = с решение уравнения (32) сохраняет постоянное значение.
Легко сфор- мулировать граничные условия, позволяющие отобрать единственное решение уравнения (32). цилиндра. Смешанная задача для уравнения (ЗО) ставится следующим обра- зом: в ссдС. надо найти реисепие уравнения и(1, х), принимающее предписанные значения на основании цилиндра и его боковой поверхности: 558 Глава Р. Чссслессное решение краевых задач с4,=о — р(х). Решение задачи (32),(3ч) очевидно имеет вид (Зч) и = р(х — ас). Составляя Г из двух полупрямых (х, с: с = О, х > О) и (х, с: с > О, х = О), мы получим так называемую смешанную, или началиво-краеврю задачу. ис=о = р(х), х.>0, и =о='р(е), ? >О.
(35) Легко выписать решение задачи (32), (35): ср(х,— ас), х — ас>0, 2>0, и(х, Е) = ср(с — х?а), х — ас < О, х > О. (36) Если со, р ч С и р(0) —.... 0(0), ~р'(0) .—. — Еа(0),1а. то формула (36) определяет непрерывна днфференцируемое решение уравнения (32). Но если одно из поссседних условий (или оба) не выполнено, то возникает вопрос: можно ли считать функцию, определяемую формулой (36), решением? Так, если р(0) = вс(0)., но уз'(О)  — йд(0)/а, го и(х, с) будет иметь разрыв производных на характеристике х — И =- О.
Это так нззыввеыый слабый разрьш. Еслн же р(0) ус Ш(0), то функция и(х, с) вообще разрывна. Так надо ли исключать такие случаи? Оказывается, что решения многих физических задач, определяемые из гиперболических уравпввий., по физическому существу задачи либо имеют ела бые разрывы, либо вообще разрывны. Поэтому для гиперболических уравнений необходимо расширить понятие решения, допуская особенности указанного вида и всюдя понятие обобщенного решения. Рассмотрим пример несколько более общего вида -- уравнение малых колебаний струны ( — '., - а',' а) и --- Е (37) Волновой оператор можно разложить на множители при а =- соней и поэтому (37) можно записать в виде системы ( — — а —,)е= у. ( — +а —,) и=и, (38) Для этого достаточно задать решение на кривой Г в плоскости (х, Ц: эта задача называется задачей Коши.
Однако, чтобы такое зэдание было непротиворечивым, необходимо, чтобы лкзбая прямая х — а~ = с, называемая характеристикой уравнения (32), пересекала кривую Г только один раз и не касалась ее. Тосда параметр с, оиределяющий характеристику, будет однозначной непрерывной функцией на кривой Г, и если ее параметризовать с помощью некоторого параметра о,то с будет непрерывной функцией этого параметра: с = с(сс).
Для гладкой кривой функция с(а) будет гладкой. Если и~г = и(сг), то и(сг) = 7(с(о)), откуда с(С) = в,ос (С), и тем самым функция с однозначно определена. В частности, в качестве кривой Г можно взять ось 2 = О. Тогда мы пшсучим задачу Коши 859 $ 1, Общие вопроси тсоргнг краевых задач Второе уравнение этой системы можно сразу решить и получить при Г = О, что е = Р(х+ а1); тогда — + а — ) и = Г(х — 'ав). ( )= д д д4 д./ Есин д — интеграл от Г((2а), д' = ГД2а), то последнее уравнение запишется в виде ( (-- — + а — / (и — д) =- О., д д г д1 дх / откуда и(х, 1) = 6(х — а1) + д(х+ а1). (39) — = Фс ди, д1 с=о (40) гг~г=о = Р, Соответственно для системы (38) нужно задавать обе функции и, и.
Из (39) находим 6(х) 9 д(х) = св(х), ад'(х) — а6г(х) .= ф(х), Отсюда, интегрируя вто- рое соотношение и разрешая напученную систему дву.х линейных уравнений относительно д, 6,получим 1 Г р(х) + - / з (~) бб т С а,/ о 1 Г д( ') — — / 4'Юб' — С:. о 1 д(х) — -- -., ~ 6(х) =— подставляя эти функции в (39), получим и(т„1) = — р(т 4 а1) -1 р(х — а1) + — / 1Я) с18 2 2,/ (41) — г Уравнение (37) (система (38)) имеет два семейства характеристик: х — а1 =- = Сц х+ас = Сг которые можно назвать характеристикалги первого и второго семейства, Из формулы (41) слелует, что гладкость решений в окрестности некоторой гочки (х, 1) определяется гладкостью начальных данных; при 1 > О не происходит повышения гладкости решения, как это было для параболических уравнений и решений уравнения Лапласа, Далее, решение в точке (хо, 1в) зависит только ог значений начальных данных в интервале (х, О хо — азв ( х ( хе л- асс, 1 = 0).
Это можно сформулировать иначе, говоря, что интервал (х, О хо-ойо ( х ( то 1 а1е.1 — -- О) образует область зависимости ог начальных данных для решения и в точке (з:о, 1о). Очевидно, что область зависимости получается в результате пересечения с осью 1 = О характеристик обеих семейств, выпущенных из точки (хе, 1е). Это известное ресивнив Даламбера.
Теперь легко исследовать решение задачи Коши нлн задачи с начальными данными. Поскольку уравнение (37) второго порядка, то в начальный момент 1 = О нужно задать не только решение, но и его производную по времени: $1. Общие вопросы теории краевых задач Ади? д? — Вди? дх — -- ?, (44) где А,  — квадратные матрицы, являющиеся, вообще говоря, функциями От х, й и — искомая вектор-функция; ? — иэвестная правая чаСть. Дапустим.
что на Г задана вектор-функция и. 'Гогда для того, чтобы определить и(х,?) в окрестности Г, нам нужно найти ди?'д?, ди?'дх на Г. Затем, дифференцируя систему (44) по х, й запишем соответствуюпсие системы для ди/дй ди?'дх. Таким образом мы сведем задачу к исходной ситуации, так как на Г этн производные известны. Продолжая этот процесс, при условии аналитичности входящих функпий получим решение задачи Коши в окрестности Г. Итак, сделаем первый шаг. На кривой Г в окрестности точки (хо,?о) имеем соотношение с?и =.
— с?4 — с?х, ди ди д? дх где дифференциалы с?х, с?? отвечают смещениям вдоль кривой Г. Записы- вая (44) и последнее соотношение в виде единой системы, получим ~ди . Вд'и у д? дх д?1 — , 'Ахи — ' = с?и, д? ' дх (45) где 1 .- единичная матрица. 'Хаким образом, мы можем определить ди?'д?, ди?'дх, если определитель системы отличен от нуля: с?ес( „С Хд ) РО. Линии, вдоль которых этот определитевь равен нулю, называются характеристиками системы (44). Таким образом, дифференциальное уравнение характеристик имеет вид ?'А В'У сМ ( ~, ? д ) = О. Вели блочная матрица составлена из квадратных блоков, то при вычислении определителя моэкно делать все те преобразования, что и для обычных матриц. Уьшожая вторую строку на матрицу А — ', и вычитая ее из первой строки, получим =- с?ес(А дх — В дж), где и — порядок системы.
Отсюда уравнение характеристик имеет вид с$ес(А дх — В с??' = О. (46) Во всех разобранных примерах исключительную роль играли характеристики уравнения или системы. Как определяются характеристики в случае более общих гиперболических уравнений и систем'? К понятию характеристики мы естественным образом приходим, когда пытаемся решать задачу Коши с начальными данными на некоторой кривой Г. рассмотрим систему вида 562 Глава 9. Численное решение краевых задач Если известно, что решение существует, то система (45) совместна, и поэтому ранги мачриц (1ас 1дх ди) (1М 1е(х) должны совпадать. Аналитическая запись, этого факта и дает соотношения на характеристиках.
Рассмотрим пример свсгемы, получающейся в результате линеаризации одномерных уравнений газовой динамики ди 7 др др ади — — — = О. — -Ь роса — = О, Ро дх ' д1 дх где константы ро, со характеризуют свойства покоящегося газа. Замечая, что (1 О) ( О р,-') сразу же получаем уравнения характеристик в виде дх =' со Ф = О, и поэтому характеристиками будут прямые х й со7 —.- соней 3 а д а ч и. 7. Докажите, что для рассматриваемой системы соотношения на характеристиках х х сог = сопев принимают внд Н(и~ ) =О.
8. Докажите, что система Коши - Рнмана ди ди — — =О де дх — — — =О, д. д де дх не имеет вещественных характеристик. Злмкчлниь. Выше мы уже отмечали, что система Коши — Римана — зто эллиптическая система и что задача Коши для нее некорректна. 9. Рассмотрите квазнаинейную систему, описывающую одномерные движения баротропного газа: ди ..д. др'Р)др=о дг дх др дх др др ди де дх дх где р = р(р) — заданная функция. Покажите, что для этой системы уравнения характеристик имеют вид — = и + ~/р'~~~), Й: Й а соотношения на характеристиках записываются в виде ЪУ(р) ( Р Злмвчлннг..
Сравните результаты задач 7, 9. ) Ль(х) " -~- В(х)и —.. )'(х),. ь=э (47) Рассмотренные примеры подскхэывают целесообразность сведующих определений, Рассмотрим систему уравнений $1. Общие вопросы теории краевых задач где х й Й С 11', Аь(х), В(х) — матрицы размером п х и, З": Й вЂ” ~ И". В каждой точке х Е Й системе (47) сопоставим многочлен от переменной 8 = (бг,..., 4~) у Ъ(8; х) = г1ес ~ ~ ~Аь(х)сь а=1 называемый характеристической формой системы (47). Вектор С = (фм ..., Я двойственного пространства Вг имеет характеристическое направление в точке х, если (48) Ъ(с: х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
