Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Поскольку рассматриваемая задача Коши линойна, то общий случай, когда начальные данные и правые части отличны от нуля, Сводится к двум рассмотрЕнным Случаям. АналОгичный мЕтод применим и к смешанной задаче, а также дитя широкого класса гиперболических уравнений и систем.
В более общих случаях техника построения интегралов энергии более изощренная. Так решается вопрос о гладкости решений гиперболических уравнений (систем). 8 2. Построение разностных аппроксимаций дифференциальных операторов 1. Конечные разности. Рассмотрим некоторые формальные вопросы построения разностных аппроксимаций дифференциальных операторов. Пусть дифференциальный оператор имеет вид Ь(1Э, х) ао(х).0~ (х Е тэ.).
Для дискретизации этого оператора ввс !о)<е1 дем в ть' сетку с шагами 6ы ..., 66 6 = (6ы ..., 61)' т.о. множество точек Хь —... (х„е К': хг —. мг6ы ..., х~ =.. гз6ь и е Х). Для того чтобы шнэроксимировать оператор ь в точке х"., выбирают некоторую ее элементарную окрестность 0(х*) из точек решетки Хь и, пользуясь этим набором точек, аппроксимируют операторы дифференцирования ТУ операторами конечных разностей. Обычно рассматривают некоторое множество гладких функций и берут ограничение функций .этого множества на сетку Хь, Оператор ограничения на сетку обозначим .Тю Таким образом, если и: К' -э К, то,4и: Ха .-ь К, причем эьп: х э и, = п(х,), Для аппроксимации оператора дифференцирования воспользуемся его связью с оператором конечной разности либо с интерполяционным многочленом Лагранжа.
Главную роль здесь играет формула (ЗА.15), .которую можно записать в виде (здесь 1 = 1, 6 = йэ) Ьь~(хо) =- / . / У'"'(хо 1 — э6 — 1г+ -са)~П . г11 . -ь/2 -ьуз Если )' С С", то, раскладывая подынтегральную функгцэю в степенной ряд, полэ чим ~ьУ(хе) =6"Х~"~ ха —— й / ь,'э ь/х +~~' ~ ) 1 (у + +б )2и1~ (йр)! — ь!3 — 6/2 369 З 2. Построение раэносзннъ1х аннронсимаиий Вообще гс1воря, .ряд справа расходится, но поскольку это асимптотический ряд,то он позволяет получить Ьь )'(хо) с лсобой наперед заданной погрешностью 0(6т). Если же функция 1 конечной гладкости, то последний ряд можно оборвать на соответствующем члене. Вычисляя интегралы при и = 1, 2, получим У'"' (ххо+ —,~ = 6 "~2КУ(хо) —, У'"'-' ~хо+ — '~— ггй '1 2( " 24 (, 2) п6 и —.
1 ш+,1 п6 Если в основной формуле для и-й разности сделать сдвиг па величи- ну 66/2 (О < 6 < и), то получим более общую формулу Х'"' (хо ~- — ) --1-"МЬ(хо) — 6У'""В (хо+ — 2)— 3(п — 6) -~-и 2 1н12~ ( 66') 24 2 21 В случае .многих переменных эти формулы дают тжможность получить аппроксимапию дифференциальных операторов вида !Э" (и = 1, ...), причем построение такой аппроксимации крайне просто: при аппроксимации и-й производной в главном члене получим отношение и-й разности к 11а. Аналогичный подход можно использовать при аппроксимации смешанных производных.
Пример. Рассмотрим оператор В2Р1. Оператор разности с шагом 6, по переменной х будем обозначать с11, не указывая явно величину шаса, поскольку. мы будем придерживаться соглашения, что шаг по переменной х, будет равен 6. (у = 1, 2, ...). На основании формулы (3.4,16) ь, 2211(х1 х ) — ( (Р1)')(х1, -~- б1 х2)дб1 о И, СНОВа ПРИМЕНЯЯ тУ жЕ ФОРМУЛУ ПО ПЕРЕМЕННОЙ Х2, ПОЛУЧИМ Ьо сн оеоа",.*й) (гЬ~(оси'~ Ь.И+саге. о о Делая сдвиг в интегралах на величины 61/2 и 62/2, придем к формуле ь 12 ьП2 о~о(2~12 (х )) / / ( '2~11 ) ( 11 + ь1; х2 + ьз 11ь1 сК2 1 о 61,о 62 — 1и12 -611'2 570 Гласа р.
Численное решение красаъ1х садов Разлагая подынтегральную функцию в ряд Тейлора, получим 1~2(1~11(л )) — 6112(рор12)(т1 ' ) и2+ )+ + 62(рЗр ))( О р ~ 1 О 62)] откуда (ртр~;. ( о 6) 1~(,1 тс( о)) 2 6162 1 (62(р рз~)( о 16) 62(рзр 1)( о т6)~ (3) 6 —. (61, 62)'. П 3 а д а ч а 1 . Выведите обшую формулу для аппроксимации оператора р = р, '... р~~' с помощью операторов конечных разностей н выпишите остаточный член аппроксимапии. В формулах (1) — (3) для аппроксимации оператора дифференцирования используется разностный оператор минимально возможного порядка. Поэтому остаточный член имеет величину 0(62) или 0(6).
Если повысить порядок разностного оператора, то можно понизить остаточный член, сделав его величиной порядка 0(6с) (6 > 2). Один из возможных способов получения формул такого типа следующий: в формулах (1)-(3) следует аппроксимировать главныо члены Х ио-— (рор12) ( ш — — 6) з 1то 1„, 2~ 116 (РОР;у) ( и — — 6~, Ь/2 Ь1'2 ' " 1 1~"'(- '-'")- — 672 -ь/2 -' (11-О .~- Са)У ЛО+ — + 2,/ у1" 1 ~шо т —, —.
С(1, +... р са) 12,... Юа, (~1 Э ''' ~а) а 2 П6 разностными операторами и тем самым уменьшить остаточный член; затем этот процесс необходимо повторить нужное число раз. Приведем еще один вариант формул аппроксимации дифференциального оператора разностным отношением. Как и выше, используя формулу для Ь~ и применяя для подынтегральной функции формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получим ас71 З 2. Пастпрасиис разнос~инсат аппроксимаций где Ь(с1 +... т с„) Е [ — п6~2, п6;~2).
разбивая интеграл на сумму трех интегралов и применяя к последнему интегралу теорему о среднем 622 Ь/2 / а —...-ж„яс"-с(*, ° —,~ са,~... ° сс) а,...с<- -6/2 — Ь/2 622 6~2 Г с(„~'— 'о~о) ) ) а,:.~асс~,...а„, 2 - 6/2 - Ьсв где --1 < 0 < 1, придем к соотношению Ь'Яло) =6"Х'"')6*о+ — ~+ У"-~ ~ко — (160) . 2 ( 24 ~Ь 2 Отсюда, если у й С"т-', то 2 ) п6~ ~ ) н6 ( т2)( н6 ) ~ ) Аналогично Ь,'2 6/2 Отсюда 66'Ь 2п -- й Ю(ло) =6"1'Ю к,+ — ')+0 6"' 2ах,.:У~"-Ц(л)~, 2 ) 4 ха<асса-6иЬ ' где ~0 < 1, и поэтому, если у Е С"т~, О < й < и, то ИЙ 2п -й У'"' ~то+ — ~ = 6 аКХ(ло) — 0 6 ю !У'а"'(л)1. (') — 6 4 аа<а<астаь' Аналогичную формулу можно получить и для аппроксимации смешан- ных производных.
Аь|(ло) = / ага / — 612 — Ь/2 Ь/2 = .у ~(.„— ',"), ~ 66 ПСЬ / З 1ко+ — + ч -ь...+1„с12„= о 6/2 Ь й,... / 426~41„,.../~р,- .. 62„)х — Ь/2 О о / И» х,1д" '- ~ ) ло —, -ь ц~, +... + 2„) а„. 572 Глава О, Чиелеллелее 1левлеллие краевых задач 2. Разностные уравнения. Полученные формулы для аппроксимации операторов дифференцирования разностными операторами позволяют получить разностную аппроксимацию дифференциального уравнения. Рассмотрим уравнение 7(П,х)и = 1(х), (6) ~ блз(Х"„6)Ь ...Л,"и(х„' ~- р ) = ~(Х*)+Л(х„*6), (7) 01<а где л1 — максимальный порядок разностных операторов; бд(х,*.
6) коэффициенты разностного уравнения, являющегося линейными комбинациями коэффициентов а,„(х„'), и, как следует из структуры формул (1) — (б), они содержат величины 6м ..., 6л, в отрицателлыллях степенях; вектор йц определяет сдвиг, возникающий в формулах (1) — (4); лл(х,', 6) остаточный член аппроксимации. При построении разностных уравнений мы можем заменять не только производные разностными отношениями, но н значения решения в некотором узле линейными комбинациями значений в других узлах, можем повысить порядок разностного уравнения по сравнении> с дифференциальным и т. и.
Поэтому первоначальная связь разностного и дифференциального уравнений может быть утеряна, что проявляется в том, что остаточный член Л(х*., 6) не стремится к нулю при произвольном способе стремления величин 6 (у = 1, 2, ..., 1) к нулю. Чтобы пояснить сказанное, разберем несколько примеров для неоднородного уравнения (1.32); — Ч а — — —. 1 (х, 1). ди дн дс дх (8) В случае эволюционных уравнений (гиперболических или параболических) мы отступим от принятых обозначений и шаг по времени будем обозначать через т, а шаги по пространственным координатам через 6м ..., 6л. Значение функции и в узле (тл1ам ..., пй1ц, пт) обозначим через иио ставя временной индекс сверху.
Пгйынв. Для аппроксимации уравнения (8) в узле (т6, пт) используом элементарную окрестность узла, указанную на рис. 1 (узлы. входя- где Ь(О, х) = 2 ел,„(х)В»". Сетки, на которых мы будем рассматри,,'лл)<ы вать решение и и правую часть )', вообще говоря, могут быть различными. Если Х,*, — сетка, на которой мы будем рассматривать правую часть, х,*, -- ее узлы, то уравнение (6) будем аппроксимировать именно в этих узлах. Структура дифференциального оператора Ь определяет,. хотя и не однозначно, элементарную окрестность точки х" совокупность узлов сетки Хл,которые будут использованы при построении аппроксимации уравнения (6). В результате замены производных разностными отношениями мы получим 573 з 2.
Построение разностнив аппроксимаций (п+ 1) г пг =пт) Рис. 1 щие в элементарную окрестность, отмечены крестиком). Тогда, используя формулы (4), (5), получим дв — — шж — и(гпЬ, г) —: т 2 пт<1<(п-Цг- дс 1 пп та "' -- ап — зи((гн —. 1)Ь и'. (1 — , '0а)Ь, пт) =- ~т. б д„з откуда ипз 1 — ип ип — и ит ит и т-~-1 т-1 Гп 211п 26 где Лпп = — т гпах — и(тЬ, й) +и" — и((гп — ))Ьт(1гк0а)6, пт)г 2 пт<1<(п+Пт д(2 ' 6 дт~ ,:0 ~ < 1, 0,~ < 1. Разностное уравнение получаотся, если отбросить остато 1ный член аппроксимации; ,п-1,п,п,п ггп т + и гп — ,'1 пг — 1 сп (10) Если элементарную окрестность узла определить иначе, то получим другие разностные аппроксимации.
Так, например, беря ее, как показано на рис, 2, получим ит ит 0т' дя — пюх — и(тпЬ, () т 2 пт 1<(п-1)т дга и 'иппгг;1 'ит и 0МЬ дя — а"' а ., (51) =У„;. 2 та<а<(т 1)1 дя2 574 Гласа О. Численное решение ираеомх ладан (а+1) г иг =лг) Рнс. 2 Поэтому п'1 п пи — Н'и и ' — И и и„,+à — ьт т где д' В" .— — шах —,и(ги6, 1)' Ра„", шах —,и(и, пт),. 2 пгкс/-(и-Г)г д1Э ' , '"' 2 та<акри+Г)Ь дтз Следовательно, разностное уравнение имеет вид пи 1 п ,п ,и Гт ' Ни1 п тид т;и (12) Если в качестве элементарной окрестности узла взять точки ((ш— †.1)6,пт), (тб,пт), (ш6,(п -'и 1)т), то получим разностное уравнение пег,п ,,п ~п Г Нт п "и ие-1 еп В данном прилгере мы не стали подробно выписывать все формулы аппроксимации дифференциальных операторов разностными, а использовали следующее простое правило: й-ю производную следует заменить й-й разностью, а смешанные производные следует заменять соответствующими смешанными разностями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
