Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 116
Текст из файла (страница 116)
Гиперповерхностгч нормаль к которой в каждой точке имеет характеристическое направление, называется характеристикой системы (47). Система (47) называется гиперболической (строго) в направлении оси хэ в области Й, если в каждой точке х б Й характеристическое уравнение имеет относительно б~ и, различных корней. В приложениях не редки случаи не строго гиперболических систем, когда уравнение (48) имеет кратные корни. Типичный пример — система уравнений газовой динамики либо уравнения 14аксвелла, Злмвчлник. Определения характеристического направления и гиперболической системы пригодны и для квазилннейных систем, когда матрицы А, В н вектор 7" зависят от искомой всктор-функции и.
Если гиперповерхность Я С В.', д = 1х б В.': фх) = О) — характеристика, то задача Коши с начальными данными на д не разрешима при произвольных начальных данных и~з = уи так как на ней выполняются так называемые соотношения на характеристиках, Их можно вывестн с помощью такого же рассуждения, как и для системы (44). Система (47) называется эллиптической в области Й, если в каждой точке х Й уравнение (48) не имеет вещественных решений б ~б' ф О.
Пример типичной эллиптической системы — система Коши — Римана. 3 а д а ч и. 10. Найдите уравнение характеристических поверхностей для уравнений газовой динамики в случае трех пространсгвенных переменных, предполагая газ совершешпгм: ди ди ди, ди — ти — — и — — ш —, дс ' дх ду д. — л- и — -~- и — 4- ш— до ди ,ди , до дг дх ду д —,(р )=О, д дв др др др'1 — -~-и — -~-и — ) =О, дз' ду дг где с = эсрр .— квадрат скорости звука в газе. — -~- и — 4- и — -~- и/в да ди,ди дш д1 дг ду дг др д д — -'- — ( )- — ( )— д1 д.
ду др др др др г /др — -~и — 4-о — 4-ш — — с ( — +и дг дх сну дг 1, дг 1 др + — —,=О, рдх 1 д1э -~- — — = О, р ду 1др — — =- О, р д. Глава р. Численное решение краевых задач Наконец, дадим определение гиперболичности уравнения порядка выше первого на примере волнового уравнения Ьи .— — — с гУи. дги д д1 (49) Если г5 .-- оператор Лапласа в Н', то уравнение характернее ической поверх- ности имеот вид Обобщением волнового уравнения является уравнение дги — — Ьи =.7, дс (50) где Ьи . - дифференциальное выражение, определяемое формулой (23).
11. Найдите уравнение характеристических поверхностей для гиперболического уравнения (огО), Для уравнений произвольного порядка а (х)77 и = 71х) (51) 1обозначеггия см, в п.5 3 2 гл.2) введем их символ — многочлсн от перемен- ной 5 —.- 14м ..., бг) вида где С = (г ' ...( ', если а — —. (аь..., а~).
Уравнение (51) называется гиперболическим в направлении оси хг, если для любой точки х б Н уравнение РЯ: х) =. 0 относительно бг имеет т действительных и раччичных кОрнЕй. Для гиперболических уравнений порядка пг корректны упоминавшиеся выше задачи Коши и на~алино-краевая задача (см. )38,66, 88, 99, 101]].
У)ы уже отмечали, что необходимо обобпцгть понятие решения, отказавшись от требования сун1ествования непрерывных производных всех порядков, которые входят в дифференциальное уравнение. Более того, в некоторых случаях следует отказаться от требования дифференцнруемости решения.
Так, 4юрмула (41) определяет решение уравнения (37), если р 0 С', ф б С. Л если эти функцви просто непрерывные, в каком смысле следует считать и(х, 1) решением задачи Конги для уравнения (37)7 Нетрудно видеть, что если зг, ис непрерывны, то онн могут быть равномерно приближены гладкими функциями. таким образом, и(х, 1) —... 1пп и (х, 1), где и (х, с) (и — 1, 2, ., ) — классическое решение задачи Кегли, и поэтому целесообразно считать функцию и(х, 1) обобгцегпгым решением задачи Коши. Обобщегшые решения дифференциальных уравнений введены С.
Л. Соболевым )99); и в данном случае функция и(х, 1) является обобщенным реигеиием зада~и Коши (37). 140) 565 $1. Общие вопросы теории краеоыо задач в области (х, Π— ж < з < оо,1 ) О), если для любой функции и б С, обра- щающейся в нуль при Е ) >. и х~ ) гч', выполняется тождество 0 и(х, Е) ~ —,", — а — „1 бтро†е)о > ~ , до(х, 0) — ео(х) ' — >б(х)ь(х, 0) г(х = О.
(52) Величины зы % могут быть любыми. Это тождество получается с помощью следующего формального преобразования: уравнение (ЗТ) умножается на функцию о(г, 1) и затем производится интегрирование по частям так, чтобы получилось сопряженное по Лагранжу дифференциальное выражение; граничные и начальные условия при этом естественным образом учитываются. Эта процедура носит общий характер и не связана с конкретным видом дифференциального оператора.
О природе обобщенного решения можно сделать сал>ые общие предположения, считая, что оно является обобщенной функцией. Иными словами, обобщенным ретениемуравнення би = б, где 1го, = ~> а (х)О и, в области >1 следует считать обобщенную функпию и такую, что — -Э вЂ” (ри) = О, др д де дх — (ри) ->- —,(ри -1- р) = О, д, д г д1 дх (53) Ь бх — (ргг -р)ае) =-О. (Ре>х "- Ри>Й) = О, (54) где à — произвольный замкнутый контур в плоскости (х, 1). Система (53) на гладких решениях эквивалентна системе задачи 9, поскольку она получается >де Эг б С~(>1), (, ) -- билинейный функционал на С~(>1). 1!ри этом мы предполагаем, что коэффициенты а (х) бесконечно дифференцируемы. Так и наступа>от в общей теории дифференциальных уравнений. Мы же будем накладывать априорные конструктивные ограничения на обюбщенное решение, считая, что оно принадлежит некоторому классу йр, так как такой способ определения оказывает болыпую помощь при конструировании численных алгоритмов.
Кроме того, подход, основанный на теории обобщенных Функций, пригоден лишь в случае линейных уравнений. Для квазилипейных уравнений газовой динамики определение обобщенного реше>п>я с помощьк> интегральных тождеств общепринято и имеет простой физический смысл.
Иитееральиые тождество, -- это запись законов сохранения в интегральной форме. Так, например, система уравнений из зш>ачи 9 может быть записана в эквивалентном дивергентном виде: Глава 9, Чггслсггпэе решение красэмх эадэч 3 а д а ч а 12. Докажите единственность обобщенного решения задачи 1(огни (37), (40), основываясь на тождестве (52) и считая, что 7" локально принадлежит Сг. Введя класс обобщенных решений, следует рассмотреть вопросы существования н единственности (см. (38, 66, 88, 99, 101)). Что же касается гладкости репгеннй задачи Коши для гиперболических уравнений, то естественно возникает вопрос о существовании аналогов неравенств (7), (20), Но гэы уже отмечали, что повышение гладкости не происходит по сравнению с начальными данными.
Более того, не происходит и значительная потеря гладкости. В теории гиперболических уравнений н систем важное значение имеют так нэлываемые интегралы энергии, с помонгью которых можно получить априорные оценки гладкости решения. Рассмотрим технику построения интегралов энергии на самом простом примере волнового уравнения (49) в гс~. Допустим, что начальные данные — =- й ди дс г=э н правая часть — финнтные функции, Тогда прн любом ~ > 0 решение будет финнтно.
Воспользуемся то кдеством г г игйи =. — —, ~ггг — с лг и, ~ — с лэ — (иги,). (55) Если и — смещение ((49) описывает колебания мембраны), то вгЬи — работа. совершенная внешней силой 7" = Ьи за единицу вреггени в едингще объема, г а ~и, э. с 2,' и ]/2 = е(х, с) — энергия единицы объема. проиптегрируг=г ем (55) по слою (хг, хг, С: 0 ( г < г.). Тогда в сгшу фпнитности решения получим ~ Е(х,г,)ггх — / Е(х, 0)г)х = / гН / Хигсгх., г г э нг г г Я гг) + сг~ иг ~ г)х .—..
/ ~грг се 2 Згг 1г)х+ 2 / г)4 / Сиг г(х нг нг о (эб) Тожцествв такого рода называются интегралами энергии. Если 7 =: О, то интеграл ггз последней с помощью следующего преобразования: нужно к первому уравнению, умноженному на р, прибавить второе уравнение, умноженное на и, н тогда получим первое уравнение (53). Тождества (54) и определяют обобщенное решение. Они являются интегральной формой законов сохранения импульса и массы. 567 $ 1. Общие вопросы теорлнл краевых задач 6-"" )'"Ф-'"")') "- нг Л=:1 л 25 — ~(а.,) ллем(лл' Х-,)) )л.
)л ~ лл,,г-,гл., Нг а откуда следуют оценки в среднем для — (В и), — (11 и). д д дх; ' дс Если 1" Э: О, но 22 гз лб == О, то, применяя неравенство Вуняковского ко второму интегралу в правой части формулы (56), получим 2.) ~~2~1*2*) (~1~(л") л*) где Х-~~( — ',) <ЛЦ * Поэтому, усиливая неравенство, получим 1/2 1/2 ,1(1.) < 2 ~ д1~ Х'дх ~,1(1)д2 о нг о (57) огкуда -'(~"") "+~™)ц Интегрируя по 2. в пределах от О до т, получим 112 лг 112 у" ") )' 4 !'") 'у-1 ") ' Подставляя это выражение в неравенство (57), придем к соотношению .1(С.) < 21. / 111 ~ Л' б Ю е нг Мы получили оценку в среднем лля производных решения.
не зависит от 1 (полная энергия сохраняется). Тем самым в среднем первые производные в момент времени 1, ведут себя так же, как и в момент 2 = О, но, как известно, в отдельных точках решение в момент 1. может вести себя хугке, чем в на лальный момент. Если начальные данные и правая часть таковы, что решение допускает применение оператора В л то подобный вывод можно сделать относительно функции Тл и и получить аналог соотношения (56) 568 Глава О, Числеэаше решение краевых аадгэч Если решение допускает применение оператора В, то аналогичное неравенство получим для функции 0 и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
