Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 119
Текст из файла (страница 119)
шах сие — Ре ( Ц, содеРжащее те же девЯть узлов, что и в предыдущей задаче. (24) (2б) 8 3. О решении краевых задач методом прогонки 1. Оценка погрешности приближенного решении. Краевая задача для уравнения (1.1) была рассмотрена в 31 гл. 1, 32 гл.3, при- чем обсуждались как проекционный, так и рэзностные методы решения. Продолжим исследование разностного метода решения.
Будем считать, не ограничивал общности, что а = О, 6 = 1. Предположим, что потен- циал д(х) достаточно гладкая функция, и тогда гладкость решения определяется гладкостью правой части д" (х). Для удобства приведем раз- ностное уравнение: †(Уьег — 2Уь — Уь 1)6 Я л- 96Уь = Л; + йь 6 = 1,. 2, ...,и — 1, (1) где Ь = (6 — а)и 1 = и ', уб = у(хь), уь = 1(хь),хь = 66, Ль = — 6 ( у~ ~(хе+ 6) М., ~ (6 — ~,0з 3) (2) — ь (см.
3 2 гл, 3). 3 а д а ч и. 3. Для уравнения теплопроводности (1.30) в случае одной пространственной переменной определите остаточный член аппроксимации лля следующих резностных уравнений: з 3, О решении краеемк зада, методом прогонки ОВ1 у(6) = у(О)+ Ьу (О) + /(Ь вЂ” 4)у (1)111 Используя уравнение (1.1) и находя у'(О), получим у (О) =. (у1 — уо)6 .— 6 ~ (Ь г)(1(1) — е1(г)у(г)) М, о откуда в силу очевидного соотношения й(2)у(й) =- уоуо + 0(2) у(О) =-(у, .У,)6-' ~ —,у.у. 6-1/(Ь 1У(1)д1 ~ 0(6'). (З) 6 о Аналогично получается соотношение у'(1) = (у — у 1)6 1 — —,д„у„р Ь 1 / (1 + Ь - - 1)ДГ) ей + 0(6 ).
(4) 6 2 Таким образом, граничные условия (1.2) в том случае, когда они ик1еют разделенный вид, г. е, когда В11 —.. В12 —. Лш —. Л22 —. О, дадут (й) 621уп — 1 + 622уп = С2) амуо — а12У1 — с1, где 1 а11 =- Л11 — Ь -'112 + ЬЛ1290, 2 ь агт =- Ь, 'Лгш с1 = С + Л126 ' з~(6. 1)1(1)ей 1-0(62), о 1 Ьш = — Ь Вкм 622 = В21 + Ь В22 — — ЬВ2211и, 2 1 с2 =- Со — В226 ' / (1+ 6 — 1)((1) й 0(62). В предыду1цем параграфе мы не затрагивали вопроса о граничных условиях. Ясно, что для аппроксимации условий (1.2) достаточно рассмотреть вопрос об аппроксимации у'(О) и у'(1).
По формуле Тейлора с остаточным членом в виде интеграла получим 582 Глаза з. Чиелезшае ре1иеиие краевых задач Злмкчлниш Выше мы дали определение порядка аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Точно так же определяется и порядок аппроксимации граничных условий. Кдннственно, нужно всегда четко указывать дифференциальные свойства функций, входящих в условия задачи. В рассматриваемом случае условия (5) аппроксимируют условия (1.2) па решении краевой задачи со вторым порядком при единственном предположении ~), < ж, Однако при выводе разностпого уравнения мы сделали предположение, что ) е И'т, и поэтому в граничных условиях (5) нужно интегралы ог д" упростить, поскольку 6-'/(6-Ь)У(1)11= Ц, т О(6'), 1 2 о и аналогичное соотношение имеет место и для второго интеграла.
Поэтому ниже поживем с1 =- Сз + Аш61о72, ст =- Со — Вот6)'„72. Из-за большей громоздкости формул мы не выписываем граничные условия в общем виде. Формулы (1), (2), (5) дают аппроксимацию краевой задачи (1.1), (1.2) со вторым порядком погрешности. Отбрасывая остаточные члены, получим разностну.ю краевую задачу --(еьоз.— 2ьь ч. ь,)6 +г1ьво = Д, 6 =1, 2, ..., и--1, аыяо + ашаг = см Ьо1з„...з 1 Ьооза — —. со. (6) Предположим, что выполняются неравенства й(т) >~ 5 > О.
~а,з~ > азз~+ о, Ьоо~ 3;Ьоз~ ", о. (7) Эти неравенства заведомо будут выполнены, если ве'пАш —.— — вйпАы, Аы т' О, зйп Вот =- вйпЬш, Вш ф О, 6 < 6о Для построения теории разиостной краевой задачи (6) вовсе ие обязательно требовать, чтобы выполнялись перечисленные выше неравенства: достаточно предположить, что краевая задача (1.1), (1.2) разрешима при любой правой части г" и однородных граничных условиях (1.2). Тогда можно показать, что при достаточно малом 6 будет разрешима задача (6), и можно будет получить оценки погрешности решения. Однако технически такое исследование несколько сложнее, поэтому мы сделаем более сильные предположения и довольно просто выясним все принципиальные моменты теории краевой задачи (6).
В силу неравенств (7) к системе (6) применимо предложение 3 з6 гл. 3. Поэтому шах(зо! < 5"'злах(птах)/ю, с1(,(сз)). (8) Обошзачим ~о = рь — зо (6 = 1. 2, ..., и). Вычитая из уравнений (1), (5) соотвотствуюшее уравнение (6), найдем систему, которой удовлетворяют 683 'з 3. О решении краевых задач методом прогонки величины (ь.. —. (1,"~,. ~ 1 — 21,ь + (а..1)Ь 2 1 дь~ь = йь, й .— - 1, 2, ..., п -- 1, а11Ьв г а121,1 = О(а~), о21С 1 й о221„, =- О(п~). (9) Отсюда по предложению 3 3 6 гл. 3, если у 6 И'~~, то шах((л, < Сйз. (10) Для частного случая граничных условий этот результат получен в 3 2 гл.3.
Рассмотрим вопрос о точности найденного приближенного решения. Сеточные функции гь: хь ь ь будем трактовать как векторы пРостРанства, Ки+11 х = ( о,..., 2„)' и Ко+1. ПостРоим отобРажение и1и„111Г'+1 — ~ С(0, Ц, 1,:и,11(гв, ..., ги)' ~ — ~ д(Х, Х). ЕСЛИ у(Х) рЕШЕ- ние краевой задачи (1.1), (1.2), а х = (гв, ..., и)' решение разностной краевой задачи (6), то погрешность приближенного решения определим с помощью формулы р„(х) =- ш( (у — д(; х)(, Ф .-и где нижняя грань берется по всем отображениям 11„+1, для того чтобы исключить неудачный выбор отображения.
Если р„(х) = С11о = Сп то будем говорить, что носрешность приближенного решения имеет порядок 1и Обычно правильный способ построения отображения у1„~1 устанавливается легко; для этого нужно, ориентируясь на величину порядков аППРОКСИМаннн УРаВНЕНИЯ И ГРаНИЧНЫХ УСЛОВий, В КаЧЕСтВЕ У и 1 ВЗЯТЬ лагранжев сплайн соответствующего порядка. В данном случае, беря кусочно-линейный лаграяжев сплайн, на основании предложения 1 з 6 гл. 3 получим р„(х) < — ((у Аз шах(у — - (, У 2 1 и поэтому в силу неравенства (10) ри(х) < С162 = С,п, 2, Полученный результат сформулируем в виде предложения. Предложение 1. Если решение у(х) задачи (1.1),(1.2) принадлежит ЪЪ"„~ (М: 1) и выполнены неравенства (7), то длл погреитости приближенного решения задачи выполнено неравенство (11).
Опишем в более общем виде рассмотренну.ю ситуацию и введеъ1 некоторые определения. Пусть Е(12, х)и =-. 1 дифференциальное уравнение (или система дифференциальных уравнений), а1и = д граничные условия, определяющие решение задачи. Допустим, что множество решений принадлежит некоторому компакту Х С С(М(, где сд конечномерный Глава О. Численное решение красенх задач компакт, г11шсв' = з. Рассмотрим разностную дискретизацию исходной краевой задачи: Л(нб Ь)е —..
(~, 1(Ь)еи —.... д„, (12) где Л(м, Ь), 1(Ь) операторы, аппроксимирук>щие соответственно 1,, й Пусть и размерность пространства сеточных функций, на котором ставится разяостная краевая задача (12). Пусть,7а: и э Ка оператор ограничения на сетку, уза оператор восстановления по сеточной фУнкции и: ь ~ пм некотоРой фУнкции ш(х) и С(св). Квк и выше, определим погреитость приближенного решения формулой р„(и) =- 1п1(и — ш . Если и С Х н р„(и) = п ь, то будем говорить, Ф.
что погрехпность имеет й-й порядок аплрокюимации на компакте Х. Допустим, что и-мерный сеточный поперечник компакта Х имеет асимптотикк он(Х. С(У)) = п-о. Величина г(р — й) называется дегзектньле числом разностной схемы (12). Ясно, что г(р — й) ) О, и если дефектное число равно нулю, то разностная схема соответсгвует предполагаемой гладкости решения. Из теоремы 1 З 7 гл. 3 и оценки (11) следует, по в рассматриваемом примере дефектное число разностной схемы (6) не больше 2. Ниже установим точность оценки (11) и тем самым докажем, что дефектное число в точности равно 2. Злынчанив.
В определение дефектного числа мы ввели множитель з размерность пространства независимых переменных. Сделано это для того, чтобы введенная характеристика не зависела от размерности. 2. Неулучшнемость оценки погрешности. Докажем неулучшаемость оценки (10), для чего установим, что погрешность уг — ь имеет главный *шеи., если у С Се~О, Ц. Чтобы избавиться от простых, но длинных выкладок, мы ограничимся случаем граничных условий у(о) .—... у(Ц вЂ”. о, (13) Предложение 2. Если у Е Р1ге (ЛЧ; О, 1), то уь — гь = Ьгш(хя) + О(Ь~), й = О, 1,..., п, где ш(х) — ртиение уравнения с(гш 1 — ч-Чш = .— у с(хг 12 удовлетворяюшее граничным условиям (13).
Доказлткльство. По формуле Тейлора у~ ~(хь — '1) =у~ 1(х) —,су1 ~(хь)+ — у~ (хе+ос), 2 З 3, О решении краевых аае1ач леегао0ом праеонки 585 и, следовательно, йь = — — у( ~(ть) — 6 - 1 у1'1(ть+дс)е(1. 6 ш Х(6 /Х) 12 / 12 -6 Разность (а .=.
уь — еь удовлетворяет системе (9), в которой уравнения, отвечающие граничным утловням, нужно заменить на уравнения (15) Учитывая последнюю формулу для остаточного члена Хеь, положим ~ь = —. 6 чь+ г1е (Й = О, 1,..., и) и получим, что ~ьн г1а удовлетворяют системе уравнений, аналогичной (6), но с граничными условиями вида (15) и с правыми частями — — у~ ~(га)., — 6 Х1 1г ~(кь -, '81)еХХ ш — з Х(6 ~1)Х ш 12 ',/ 12 соответственно. Поэгому по неравенству (8) п1ах;ць~ < 6 шах ь ' ь 2 1 (6 в~) 1 ЛХ6 12 360 Что же касается сеточной функции 5ь, то для нее имеем систему 1пц — (5ье-1 — 25ь т 5ь — г)6 — Чйь 1оУ ((ль) 6 = 1 2 — 1 Са — --са =О, получающуюся в результате дискретизации уравнения (14) с нулевыми граничными условиями.
Так как у е И:" (ЛХ; О, 1), то ш е И'а и к разности Хт — ш(ть) применимо неравенство (10), что и доказывает предложение. Б Следствие. Тик как шах (ш(ть)~ > Са > О, то неравенство (10) 1<а<а -1 неулрчшаемо. Из предложения 2 следует, что рассматриваемая разностная схема насьпцаема (обстоятельство, на которое указывалось выше), поскольку погрешность приближенного решения не завигит от его гладкости, если решение краевой задачи р принадлежит И'" (ЛХ, О, 1) (г > 4). Кроме этого, дефектное число схемы не меньше 2, и с увеличением гладкости решения оно будет увеличиваться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
