Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 129
Текст из файла (страница 129)
п. 4 ~ 1 гл.3). 2. Покажите, что Р (х; б) = ~бьВ„(х — хьб а), 2 в=о где В (х; а) = ып((п 1) ~,'х)/(2вш( — ",х)). , 2л 3. пусть А = ( — ~ 11,",(зз — хм а)) . покажите, что матрица Атм'1 неособая и что элементы матрицы (А — мз1) ' = (аы)ь"~ л вычисляются по формуле иы = / С(хы з)В„(я — хб и) бз, о где С(х, з) — функция Грина дифференциального оператора — йз1'ах + м~ с периодическими граничными условиями на отрезке (О, аф 4.
Покажите, что ~ сов(2яу(хь -- х~)1а) (2ту) а) з + згз з=о 5. Предполагая, что О(х) б С;О, а), покажите, что система (23) (1+ В)т1 = Ф, где В = (А + мз1) 'Ц, Ц = Бай(уз),"о, Ф = (Ро, ...,!ггл)', Е) = ) С(хз, з) Г(з) дя, аппраксимирует краевую задачу о — — т (и + 4(х))у = 1"(х), у(0) — у(а) = О, у'(0) — у'(и) = О. (24) Оцените погрешность аппроксимации. О. Предполагая, что задача (24) разрешима при любой правой части 1 б б С(0, а)., 1(0) = „г(и). докажите, что при и ) по имеем ~~(1 -г В) '~ ( Ко, сопб (1 т В) ( Кп причем константы Ко, Кг не зависят от и. Помимо системы (23) рассмотрим систему (25) (1+ В)з1 .—..
Ф, где Ф = (4+ и 1) (Хо,: Хл) . 634 Глава У, г7ислсяяос решение крсссшых оадач 7. Перенесите теорему 1 на рассматриваемый случай и покажите, что у(:с) — Р„(х; г!), '( Сш„(бм, ~(у) -г Аз„тг(ду)). (26) у(х) — Рв(гд г1), ~(Сшв(газет~(у)+аалто(ду)+ага ~(()), (27) где в отличие от традиционного обозначеняя константа У!ебега интерполяции обозначена через ш . Рассмотрим еще апериодическую задачу, когда граничные условия имеют вид у(0) —, у(а) = О., у (0) -', у (а) = О. (28) Для дискретизапии задачи в этом случае целесообразно применить следующий интерполяцнонный папином: е. ср„(х; ~) =- ~ 6, сое ~ — (х — хь)] О (х — хь. а). 2п — 1 1а ы=о 8.
Покажите, что полипом М (х: 8) удовлетворяет граничным условиям (28). 9. Пусть матрица дз х 3 А =- ( — —,, [сов ~ — "(т — оу)] Г! (а — хц а)] ) Докажите, что она обратима, н покажите, что элементы матрицы А = (аы) ~ь", о вычисляются по формуле !т ам — —. ! С(тш х) сов ~ — (х — х~)] П (х — хб а) ас о или по формуле 2 ( а хе т ~ сов(я(у — 1/2)(ха — х~)/а) 2п 1 ~2яl (у . 1~2)е д=о Зямкчаннат 8!атриды (А ' мв1) и А ' -- циркуляпты. Поэтому лля вычисления всех элементов этих матриц требуется 0(п!и п) операции.
Для того чтобы запомнить такую матрицу; требуется всего йп — 1 слов памяти. 10. Выведите аналоги систем (23),(25) для случая граничных условий (28). В заключение остановимся на вопросе о выборе узлов каллокации. Понятно, что выбор узлов продиктован в первую очередь желанием иметь минимальную константу Лебега интерполяционных многочленов, используемых для аппроксимации решения. Учитывая результаты п. 2 3 3 гл. 3 по проблеме Бернштейна, мы и выбралн в качестве узлов нули многочлена Чебышева оюрвого рода в общем случае и равноотстоящие узлы в периодическом случае.
Любой другой выбор узлов может привести к росту константы Лебега и, вообще говоря, к ухудшению качества дискретизации. '3 5. Посплроенае аягориплмоо Вео насыщения 635 3. Задача о продольном изгибе балки. Наиболее эффективно используюз ся алгоритмы без насыщения для решения спектральных задач н задач о ветвлении решений нелинейных уравненлш, т.е.
задач о бифуркации. При численном определении решения, ответвляющегося от данного семейства, илн при вычислении коэффициентов уравнения разветвления приходится решать краевые задачи при условии, что одноро,щая задача имеет нетривиальное решение. С бифуркацией решений нелинейных уравнений, зависящих от паралгетра, ллы уже встречались в п. 5 а 4 гл. 2. Точнее, мы рассматривали бифуркации неподвижных точек нелинейных отображений, т. е, бифуркацию решений уравнения г (х, Л) — х = О, л1тобы показать, как использовать полученные выше результаты о дискретизации краевых задач, рассмотрим простейший прилеер о продольном изгибе балки под действием сжимающей силы.
Эта знаменитая задача рассматривалась еще ПЬ Эйлером, но он пе дал ее строгого решения. Отвлекаясь от лгеханического существа задачи, отметим, что она сводится к вычислению таких значений параметра Л (сжимающей силы), при которых имеется ненулевое решение краевой задачи — — Лр(х)(1 — ( — ) ) у=О, х Е ( — 1, 1), (29) у(,,= —" =О, (30) дх т. е. к вычислению бифуркационных значений параметра Л. В уравнении (29] р(х) > 0 (р Е С ), и эта функция описывает жест- костные свойства балки. С учетом результатов п. 5 3' 4 гл.
2 становится ясным, что бифуркация с основного решения у =- 0 будет происходить лишь при тех значениях параметра Л, при которых ллплеаризоваппалл задача (29), (ЗО): — 4 Лр(х)у = О, т. б — 1, 1), у! — л — -- — = О. (31) е)у е(х ' ' е(х е=л имеет нетривиальное решение. Эта задача салюсопряженная (см. п. 1 31), ее спектр дискретен, и собственные функции образуют ортогональную систему в пространстве 1,р скалярное произведение в котором определяется следующим образом: (У: 9) = ~ Ьр е( .
— 1 Пусть Ле и ул — простое собственное значение и соответствующая соб- ственная функция задачи (31). Ьудем искать решение задачи (29), (30) в ви- де у(х) = еуо(х) е ул(х) —, Л = Лл+Вле — , 'Ва=+, где -- малый параметр, а ул(х), Вл (й = 1, 2, ...) подаежат опреетелению. Подставляя эти ряды в урав- нение (ЗО) и учитывая произвольность -, получим уравнения е) уо~е)х + Леруа =- О, (32) е)'у,/е)ха+ р(Лгу~ 4-Влуо) = О, (зз) 4'уз 1 Зхо '., — р( Леул - Влул + Вауо — — Лл(уо) уо) =- О. 2 (34) Функции у, удовлетворяют краевым условиям (30).
Из уравнения (32) следует,что уо(х) = Зоре(х) параметр Зо будет определен из условия разре- шилюсти уравнения (34). Чтобы уравнение (ЗЗ) было разрешимо, необходилго, чтобы выполнялось условие (см. и. 1 31) Вл(уо, рл) = О, 636 Глава В. >4исяси>»ое рстепис краеьмт. задач Отсюда В>уо(>рь, хь) = О, и так кзк 'уо 'Г 0 то В, .=. О, и можно принять, что у> .—.—.
О. Тогда условие разрешимости задачи (34) примет вид 1 Вг(уо, Рь) — — Ль(уо уо, рь) .— — 0 2 (35) ,г То Ош ~Вг(-ь, „',) — —,Ль(й„л Ль, „-ь)~ = О. 2 Таким образом, достаточно положить Вг = 1, Вз = О, В» = О, ..., зо = =;2(рь, »ь)/ль(г»ь рь, з>ь))'»~. Уравнение (34) будет иметь решение уг = у>о —, + Зг»оь где уг — частное решение неоднородного уравнения, а постоянная З» о будет определена из условия разрешимости краевой задачи для ую Нетрудно доказать. что краевые задачи для у> при В > 3 будут разрешимы и что при малом сходится ряд, определяющий решение.
Мы рекомендуем читателю установить эти простые факты. Таким образо>О в данном случае будет иметь хлеста односторонняя бифуркация в окрестности простых собственных значений линейной задачи. ь1тобы найти приближенно ответвляющееся решение, достаточно найти нескпчько первых членов разложения у(х) в ряд по степеням = (Л вЂ” Ль) 1>г Итак, все сведено к решению спектральной задачи (31) н неоднородного уравнения дгу)дхг — Л„ру — р(, х Е [-1, 1, (Зб) с граничным условием (ЗО) в предположении, что Ль — собственное значение. Понятно, что при решении задачи (Зб), (30) мы должны использовать алгоритм, который полностью учитывал бы дифференциальные свойства р и 1" и давал бы высокую точность при небольшом число узлов.
Последнее обстоятельство очень существенно, посксшьку дискретизация задачи (35), (30) приводит к вырохгденной системе линейных уравнений и требуется, чтобы усчовие совместности (1, ра) = О, которое должно выполняться для уравнения (Зб), после дискретиза>щи приводило бы с высокой точностью к условию совместности этой линейной системы. Этого можно достигнуть, используя алгоритмы без насьпцения.
Приведем один из вариантов дискретизации задач (31) и (Зб),(ЗО). Воспользуемся интерполяционным многочленом Эрмита р(х; >1), построенным по головням Р(,с,; >1) — -- ц>, 1' = 1, 2, ..., и, р(х„ь>, >1) — -- О, Р(хо, '>1) = уо, Р (хо, '>1) = О,:ео = 1, х>ьь> = 1 1 — х о>(х)=, нг(х) )=1,2, ...,и, 1 — х; Т.(х)(1- х) ( /Т„'(1) 22;,(1) ( ') (,Т (1) + 2 ))' ' Т ( .)(1 — ') (1 х')Т„(х) 2Т„(Ц ' "+>( ) 4Т ( Ц где многочлены и, определены в и. 1. Тогда фундаментальные многочлены интерполяции, согласно результатам п. 4 3 3 гл. 3, имеют вил 637 () 5, Построение олгороглмов без олсмщеннч Интерпапяционный многочлен записывается в виде Р(х:. О) =~, й '( ), э=о где оо(х) = иш(х).
Производя обычную процедуру дискретизации на сетке хо, ... „х„и применяя аналог предложения 1', получим слелующук> конечно- мерную задачу на собственные значения; (37) и — ЛВ)=О, где г1 = (йо, ..., Оь)~, а элементы Ьо матрицы В имеют вид Ьо = р, / К(хо х)иб(х) ~Ь, 1, 1 = О, 1, ..., и, где 3=-1,2,...,л, шо(х)= Т (х) Т„(1) шз(х) "' 1з(х) 1 — х, К(х, ) — функция Грина оператора — д~уох с граничными условиями (30). Собственные значения и собственные векторы матрицы В можно найти, пользуясь ЯВ-алгоритмогж реализованным в виде стандартной программы. Аналогично произведем дискретизацию задачи (Зб), (ЗО).
Исли .—. (бе, ..., 8„)' — вектор приближенных значений решения в узлах, то получим уравнение (7 ЛьВ)б = К, (38) д, К=(В„..., Ь"„), 1 Е, = ~~ ргЯ / К(х„я)ш~(с) 8я, ~=о — Л ' собственное значешзе матрицы В. Система (38) вырождена, ранг матрицы системы (38) равен н, и условие совместности имеет вид в (г г) — ~ БО~ =О, ыо (39) где г) = (Оо, ..., 9„)' — собственный вектор матрицы В, отвечающий собственному значению — Л„'. Систему (38) решим методом Гаусса с выбором главного элемента. Практически при реализации метода Гаусса мы установим вырожденность системы и ео совместность, если условие (39) выполнено. В конкретных задачах при таком подходе влияние погрешностей округления было псзпачитольпым. Как саму спектральную задачу (37), так и краевую задачу удавалось решить с высокой степенью точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
