Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 130
Текст из файла (страница 130)
В рассматриваемом случае 2 правая часть уравнения (Зб) имеет вид рз = р(роро .- Льуо ро)2). Для вычисления р,я мы используем соотношения ро(хз) = зоцм уо(х,) = Зор (х~, 'Ч) Ц = О, 1, ..., и). Тогда соотношение (39) будет аппроксимацией уравнения 638 Глава О, Нисленпос реигснис краевъщ задач разветвления (35). Чтобы проконтролировать, насколько точно аппроксимируется соотношение (35), можно, оценив предварительно Лг — Ль, положить в нем уо(к) ь- Зор(а3 г1), Эг„р(к: г4) и вычислить квадратуры. Автор вмш сто с сотрудниками решил численно несколько задач о бифуркации Хопфа, где ситуация более сложная, и убедился, что такого рода проверка подтверждает высокую точность и эффективность метода. Используя изложенный подход в разложении р(х) = 2, е уь(г:), несложно найти первые пять-семь ь=а членов [15, 20,2Ц.
8 6. О решении задачи на собственные значения 1. Патологии. В п.4 31 гл.8 был рассмотрен вопрос о корректности (хорошей обусловленности) алгебраической проблемы собственных значений. Там же был указан ряд примеров патологических матриц, для которых проблема собственных значений очень плохо обусловлена. Поэтому естественно возникает вопрос о том, какое отношение имеют указанные патологии к тем классам матриц, которые возникают при дискретизации непрерывной задачи па собственные значения.
Если задача самосопряженная, спектр дискретный и система собственных функций полна, то при соответствующей дискретизации мы получаем матрицу с полупростымн собственнымн значениями, для которой такая вавгная характеристика, как сош), (Н) (см. п.4 31 гл, 8), невелика. В частности, если дискретизация самосопряженной задачи приводит к симметрическим (эрмитовым) матрицам, то снос(г(Н) =- 1. Для несамосопряженных задач на собственные значения и, в час.тности, для диффереппиальных операторов во многих случаях реализуется случай полупростых собственных значений, причем собственные функции образуют хороший базис, и мы опять-тани получаем, что сонг),(Н) не очень велико (см. в п.4 э'1 гл. 8 замечание о спектралыюй задаче Орра — Зотгхгерфельда).
Возможно, что существуют реальные физические задачи, приводящие к несамосопряженным операторам, для которых собственные значения не полупросты и где возможны различные патологии. Однако если рассмотреть различные задачи об устойчивости течений вязкой жидкости, которые являются источником несамосопряженных спектральных задач, можно убедиться в их неизменно высоком качестве с точки зрения численного анализа. Еще одним источником алгебраической проблемы на собственные значения являются различные задачи устойчивости и теории регулирования. Так, вопрос о поведении динамической системы г)и/ое =.,Г(и) в окрестности положения равновесия х = то, 1"(та) = 0 приводит к иссшедоваииго спектра матрицы гг) (хо).
Ясно. что априори нот никаких ограничений на эту матрицу, и как будто бы в данном случае нам грозят все те патологии, о которых говорилось в п. 4 3 1 гл. 8. Для того чтобы выяснить вопрос о размерах бедствия. следовало бы решить один вопрос, который мы сформулируем ниже в виде задачи. Выше мы привели теорему Островского (предложение 3 3 1 гл. 8). Наш вопрос тесно связан с этой теоремой. Будем рассматривать вещественные и х п-матрицы, и если А = (ап)",' то в качестве нормы матрицы примем величину пзах о, ~ = 'ЕА~~.
Условимся собствегшые значения Л нумеровать с учетом кратности в порядке возрастания их модулей, а при одинаковых модулях — в порядке возрастания аргументов, считая, что 0 < аг8 Л < 2 т. Пусть Н "- и х п-матрица, Лы .,,, Ль 639 зб. 0 ре»а«пни элдачс» иа собстлеестьш виля«в»»л и Л»( ), ..., Л (г) — собственные зна »ения соответственно матриц А и А -ь В. Введем величину 1 ст(е) = впр — 'п»ах шш )Лг — Л»(в)! г- шах ппв (Ль(г) — Л» ().
1В1<12' ь Обозначим через 1 куб в В.", 1 = (А: )..1 ) < Ц. 3 а д а ч а 1". Обозначим через 911(С, т, в) подмножество куба 1»!П(С, т, в) = (А б 1: »т(е) < С(п -Ь Ц'в", 0 < г < 1). Докажите, что 9М(С, г, в) измеримо, и оцените шев 91((С, г, в)»сп»ев 1.
(Ц Величина константы (Ц для небольших в, » и определяет «меру опасности», когда мы сталкиваемся с численным решением задач на собственные значения. Практически речь может идти о значениях в =. 1/2, 1»»3 и т ь 5, Если оы оказалось, что константа (Ц зкспоненциально мала с ростом и, то мол»но было бы в значительнои степени игнорировать имеюшуюся плохую обусловленность задачи на собственные значения. В любых случаях желательно иметь представление о характере асимптотики отношения (Ц. — ---. — о(»с»)у = Лр(х)йб х б ( — 1, Ц, дг д.г оу(Ц -~ »39 (Ц = О, Ой( — Ц вЂ” ду'( — Ц вЂ”" О.
(2) (3) Разберем случай и = 5 = 1, В = 5 =. О. (Общий случай без труда может разобрать читатель самостоятельно, если ои примет во внимание предложение 1' 3 5 и констру.кцию интерполяционного многочлена, приведенную в связи с его доказательством.) Ясно, что дискретизацию зада*ш (2), (3) мы получим автоматически, если воспользуемся проделанной дискретизацией краевой задачи (5.2), положив с"(т) = Лр(х)р(х).
Тогда, принимая во внимание формулу (5.9), придел» к коне*»номерной задаче на собственные внесения (4) 2. Случай симметрической матрицы. Сделанное в п. 1 предыдущего параграфа замечание, в котором сравнивались собственные значения матрицы .4 -- дискретизации оператора Пг — с собственными значениями разностной дискретизации того же оператора, должно пас насте«»»ожить. Хотя, как правило, на практике не требуется та мера точности (3 10 ' ' ), которая была предъявлена, тем ие менее следующей расчет подтверждает вывод, напрашивающийся из указанного замечания.
Для того чтобы вычислить пятое собственное значение оператора 11~ с тремя верными знаками, нужно примерно 15 000 узлов для разностной схемы второго порядка точности, 200 узлов для схемы четвертого порядка и 50 у.злое для схемы шестого порядка точности. В тоже время, если порядок матрицы А равен 12 — 13, мы пол»псих» с лихвой требуемую точность. Этот и другие примеры свидетельствуют в пользу. следующего утверждения: при дискретизации задач на собственные значения целесообразно использовать такие методы аппроксимации, которые приводят к алгоритмам без насыщения.
Вначале рассмотрим простейшие задачи на собственные значения. Пачнем с за- дачи 640 Глава У, гВзслеинос решение храсеит. задач где Р .— — сйай(р )", '1тобы получить стандартную задачу на собственные значения, нужно обратить матрицу 1+ В, Учитывая при этом неравенство (5.15), мы видим, что процедура обращения не вызовет каких-либо осчожненгпь Таким образом, пачучим задачу па собственные значения в стандартной форме (1 = ЛСо)г1 = О, где Со = (1 — В) 'А '. Далее остается применить какой-либо из методов отыскания собственных значений и собственных векторов матрицы.
Если Л вЂ” собственное значение задачи (4) и г) --. соответствующий собственный вектор, то многочлон и(х; г1) .— это искомое приближение к собственной функции задачи (2), (3), а Л -- приближенное значение соответствующего собственного числа задачи (2), (3). Замьчанив. Если функция д(х) вещественная, то задача (2),(3) само- сопряженная. Однако рассматриваемый способ дискретизации не приводит к снмметричссиой конечномерной задаче, поскольку матрица Се несимметричсская, хотя и очень близка к симметрической. 51вогочисленные расчеты, проделанные автором, показевги, что в случае гладких а и р мы неизменно получаем с очень высокой точностью некоторое число (это число зависит от числа узлов) собственных чисел и собственных функций.
Примеры расчетов будут приведены ниже. Рассмотрим еще уравнение Хилла, когда потенциал периодический, т.е. уравнение (2) на отрезке (О, а), считая, что р(х) = 1, 4(х) ив е 4(х -~- а). Будем рассматривать две задачи:периодическую,когда у(0) — у(а) = О, у (0) — у (а) = О, (5) и антипериодическую, когда (б) у(0) †, у(а) = О, у (0) -ь у (а) = О. Записывая дифференциальное уравнение в виде (5.24), где г(х) = Лу(т)., и учитывая результаты задач 2 — б 35, получим дискретизацию спектральной задачи с периодическими граничными условиями (1 + В)з1 = Л(А + зг~1) (7) где матрицы (А — , 'и 1) н В вычисляются по формулам, приведенным в зада- 2 -1 чах 4, 5 3 5.
Как уже отмечалось, эти матрицы являются циркулянтами и могут быть вычислены особенно экономно. Обращая матрицу 1 х В, получим задачу на собственные значения в стандартной форме (1 — ЛС)з) —.. О, где С вЂ” -- (1— -~ В) '(А+ м 1) В случае антипериодических граничных условий дискретизация задачи получается на основании результатов задач 8, 9 3 5.
Початая В = А ~О, где матрица А г определяотся по формулам задачи 9 3 5, получим задачу, аналогичную задаче (7): (1 - в)н = ЛА-'О, (8) нли где С = (1+ В) 'А 641 зб. 0 решгзти задачи на собгтвеиные,течения Предложение 1. Матрицы С' и С симметрические. Докязятьльотно. Рассмотрим матрицу С. Пусть (А ! мз1) ' = Р; в силу определения ВР = Рб)Р, и так как Р— симметрическая магргща, то н ВР симметрнчег:кая.
Поскольку Вз 0 = РбдРЯР. то и Вз 0 симметрическая, и легко видеть, что для любого целого и ) 1 матрица В О симметрическая. Стало быть, матрица (1-!- 1В) 'Π—. 2 ( — !)" В" Р также симметрическая., ес=о ли !) ( )В' ~. В круге (1:',е( ( 1) точки 1, = О, 1 соединим путем, на котором матрица (1+!В) пе особая; зто возможно, поскольку по доказанному матрица (! -~-В) существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
