Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 131
Текст из файла (страница 131)
Поскольку элементы матрацы (1+!В) Р— аналитичгские функции ! на етом пути, а при малом,'1( эта матрица симмвтричвская, то симметрия сохранится на всем пути. Аналогичное рассуждение применимо и к матрице С, Г) Оценим погрешность, с которой мы получаем собственные значения. Доказательство приводимой ниже оценки основано на оценке погрешности аппроксимация непрерывной задачи конечномерной задачей. Пус"гь Ль — й-е собственное значение периодической задави уь(х) — соответствующая собственная функция, нормярованная условием уь е, = 1. Через рт (1 = 1, 2, ..., 2п+ 1) обозначим собственные значения матрнпы С, а через ее,...
> ез те — соответствующие ортонормированные собственные векторы. Теорема 1. Если и ) по(я), тв магарица С имеет свбствезтое значение р„определяемое аз условия пз!и '1 — рлЛь( = ~! -- р,Ль, такое, тпо выпвлняется неравенство !! — рзЛь'; ~ (и(! !.» ) ~(1+ —, 8з г(у ).' —,8з ~-г(уу )~ . Если бь = ш1п ! — Льрг, гпо найдуглся поствлнные аг длл грех 1, для гчФгп которых дг ф рт, гпакие, что уь(х) — ~ а~ Р (х; е~) ( г~ =гг ( (1 Ьш )((1-~-11ьш (2п+1)цз)8з„г(уь)+пыл (2п +1)'г~8з г(дуь)), где Вь = Вб '(1-ни ~Ль), зь = Вб, 'зг з, причем а, В не зависят от и.
Докязяткльстно, Если С(х, з) — функция Грина оператора — дзггдхз ", + и с периодическими граничными условиями на отрезке (О, а', то уравнг- , 2 ние (зЦ24) при Е = Лу дает соотношение у(х)+ ~С(х, )с( )у( )д =Л/С(, )у(з)дх. о в Если уг.„.(х) — собственная функция, !то(х; уь) — интерполяцнонный многочлен определенный в задаче 2 ! о, то, полагая уь(х) = Рв(х; уь) + р„,(х; уь), г!(х)уь(х) = Р„(х; дуь) + рв(х; вуь), 642 Глава у. Числе«гное решенпе ьраеемх задач пОлучим Р (х~ Уе) + / С(х., 2)Р (х' ЧУь) е)2 = Ль ~ С(х, 2)Р(х: Уь) де + «а(х) (9) о о где 1',(х) = Р (х; Уь) — / С(х, 2)Р„,(х; дуь) 1Е» ге Ль ~ С(х, 2)Р (е; Уь) 1)2. (10) о е Беря ограничение равенства (9) на угшы хь (У = О, 1, ..., 2п,) и обозначая через 4 вектор-столбец ф =.
(Уь(хо),, уь(хз ))', в силу определения матриц .0 и В,получим уравнение (Е+ Б — Л~ЕЛ)4 = Лю где ЕЕ = (г (хо), ..., «(хз ))~. Отсюда (Е -ЛьС)~ = (Ех Б)-'ЕЕ„ и, согласно результату задачи 5 З 5, )(Š— Льс)6 < Его~ЕЕ 2 .1-1 Раскладываа вектоР ф по вектоРам е„полУчим ф = 2 аз ез, и поэтомУ 3= 2 —,1 (1 — ЛьСД = ~ (1 — Лере)а;ез, 1=1 Таким образом, /2 т1 1Е2 Р— ЛьС)6 = ~ ~ ~(1 — Льр,) а ~ 1-1 Из этого соотношения вытекают неравенства )(е — льс)ф(2 > ппп )1 — льр1! )6 2, 1 1«2 )(е — лес)6,,'2 > дь ~ а1 1,а1 Ха, которыЕ нам послужат для доказательства неравЕнств, указанных в тЕоремЕ.
Ниже будем пользоваться очевидными неравенствами, справедливыми для любого вектора: ~21~ < ~21~2 < че2п+1 21~ (12) 643 3 б. О решении зааачи па собсгпешсиис значения Для оценки снизу 4[г убедимся с помощью несложной выкладки, что 1 2п41 — Р„(х — хл, а)Р„(х — хб а) с1х —. бы. о Поэтому г Фх; ь)~ =, "х,~ ~( )=, ',6г (13) о ~=.о Чтобы не было путаницы, обозначим через [ [ р (1 ( р ( со) норму в функциональном пространстве Р„[0, а .
По неравенству треугольника [Р„'[г ) [уь [г— — ,'[р„(; ул)[|г,н поскольку [р( ; ул)'[г ( чга['.р ( ; ул)[ , то,используя неравенство,Лебега, получим :[Р [г ) [ул[[г — йа(1т ' )8г -л(ул). Из асимптотической формулы для собственных функций рассматриваемой задачи с.ледует, что у, =- сов(,УЛыг —; рь) ~- О(Ль "'), [Р„[ г ) >лга(ло — (1 ты )8г ьл(уь)) ) уоьгаД, н, стало быть, соотношение (13) дает неравенство [б[г ) 1оьг2лг+ 1/2. Перное неравенство (11) н правоо нераненство (12) дают 2 2 пшл [1 — Ль1н[ < — [(Т вЂ” ЛлС)У < — Ко[В„ ЛО Ло (14) Из второго неравенства (11) н левого неравенства (12) получим < г/г ~ а~~ < блу~Коъ~2п -+.
1[В„[ шпю н позтому л!г — оие~ = ~ а~е~ ( ~ а~с~ =. ~ а~ го=ю шин, шхю, е~ и, откуда — а~с~ < б„~Ко.оп-'г1,й (13) откуда [ул [г .—.— [а/2-~ О(аЛ,' г))Н', н, значит, прн Л ) йо получим [ул [г ) лга/2. При Л < ко, согласно нашей нормировке, [[уь [г 3 'уолга, и можно считать, что,о ( 1/2, Таким образом, прн и, )и пс(Й) 644 Глава У, г?ислеппос рвшспис краевых задач Замечая,что уь(х) — ~ а~ Р(.г; е~) = уь(х) — Р (х; 6) + Р х: б — ~ а~е1 ю =вг в~=в, и применяя неравенства Лебега и (15), получим уг(х) — ~ а~Р(х; е~) < (1-~- вг )8г э1(уь) + ~„б, ' Пп+1!К, .
(16) е~=и1 Учтем, что из (10) следует неравенство ~Нв,.в ( (1 +вг„),'(1 и Ль)Югв~.г(уь) -~-и Югвэг(ууь)в Принимая во внимание соотношение (14). получим первое неравенство теоремы с и = 2Лв/уо. Из (16) н последнего соотношения вытекает второе неравенство теоремы с В =. Ло. П Злмкчлник 1. Доказанная теорема позволяет утверждать, что предлагавмый мвтод нв имевт насыщения. Злмкчлнив 2. Результат теоремы остается в силе и для антипериодической задачи. При доказательстве теоремы мы существенно использовали структуру матрицы С вЂ” ее симметричность. Вместе с тем ранее отметили, что в случае задачи (2), (3) мы ее сводим к конечномерной задаче, матрица которой не является строго симметрической.
Как жс быть в этом случае? В данном конкретном случае могкно провести углубленное изучение структуры матрицы Со н павучить теорему об априорной оценке погрешности вычисляемых собственных значений и собственных фупкггий. Но это не выход из положЕния, поскольку часто приходится сталкиваться с несамосопряжсппыми задачами, и мы имеем доло с такими матрицами, которью, по существу, далеки от симметрических нли нормальных. Как тогда поступить? Выход из положения (по мнению автора) состоит в том, что нухспв палугчать апасгперивримс ацвпки погрешности, Как зто делать? Ниже на примерах будет частично разъяснЕна техника пвлучЕння апоствриорных оценок. Она основывавтся в значитвльной море на првдварительном исслвдовании гладкости отыскиваемого решения.
3. Апостериорные оценки погрешности. Условимся через дг обозначать собственные значения конечномерной задачи. Ниже приведены примеры задач на собственные значения. Пгимвг 1. Задача (2),(3) на отрезке ,''О. к, с потенциалом о(х) = 2сов2х, р(х) г— в 1, о =- В .. 1, В =- б = О, Это случай уравнения Матье. В табл. 1 приведены расчеты для числа узлов и = 10, 20. В ней же в последней колонке приведены табличные значения Айнса (74). Пгнмкг 2. Периодическая задача для уравнения У1атье на отрозко (О, 2к) с потенциалом у(х) = 2 сов 2х. Число узлов Х = 2п-1-1 =.
21.В табл. 2 в средней колонке приведены собственные значения, полученные в результате расчета, а в поюгедней колонке указаны табличные значения Айнса )74). 645 зб. О региенгги задачи иа собстееннае значения Таблица 1. Собственные значения уравнения Матье Таблица 2. Собственные значения уравнения Матье Задача Табличные значения ййнса )74) периодическая аптипЕриодичвская -0,1102488170 1,8591080725 9,047739261 9,0783688482 25,0208408 25,020854 49,01042 49,01042 81,0 81,0 Пгимкг 3. Антипериодическая задача для уравнения Матье на отрезке 10, я) с потенциалом д(х) =- 2 сов 2х.
Собственные функции этой задачи, как легко видать, являЮтся и сооствснными функциями предыдущсй задачи. Поэтому вычисленные собственные значения расположены в средней колонке табл. 2. Число узлов Х = 21. Пгимкг 4, Рассматривается уравнение Ламе. Напомним некоторые известные факты о собственных значениях краевых задач с периодическим потенциалом. Рассмотрнъг на )О, и) дифференциальный оператор 1 = — с) /с1х -~ 91х) с периодическим потенциалом 91х .~- а) .:- 9)х), Для оператора 1 будем рассматривать зада ги на собственные значения 1р = Лу с граничными условиями 15) либо Сб). Известно )56), что если через Лс 1Л ) О) и Лс ()е ) 1) обозначить собственные значения, отвечающие граничным условиям 15) и 16) соответственно, то Ло < Лг < Лг < Лг ( Лг < Лг ( Л» < ...
1 2 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 — 0,4551386041 — 0,1102488170 1,8591080723 3,9170247733 4,3713009831 9,047739261 9,0783688481 16,0329701 16,0338325 26,0208410 26,020854 36,014286 36,014294 49,01043 49,01040 64,0079 64,0079 81,0 81,0 — 0,4551386 -0,1102488 1 8591081 3,9170248 4,3713010 9,0477393 9.,0783688 16,0329701 16,0338323 26,0208408 25,0208543 36,0142899 646 Глава О.
Числси»юс решение краса»!х задач В пространстве Ез( — ж, оо) на всюду плотном множестве определено дифференциальное выражение 1. Замкнув его, мы придем к некоторому оператору .х.', Спектр этого оператора непрерывный и получается из полуиптервала [Ло, оо) удалением объединения интервалов (Лз! г, Лз!) и (Лз! — », Лз!) (д =- 1, 2, ...). Эти интервалы называются зонами. Потенциал а(х) = т(т — ,' -1- Цэп т, где зпх — эллиптическая функция Якоби, приводит к уравнению з Ламе. Бели ! К=./(1 — 1) ' (1 — Ас) 2 Ж, о то, как известно, зп(х ' 2К) .=.
— впх, и поэтому д(х) имеет период '2К. Ыы будем рассматривать уравнение Ламе на отрезке [О, 2К[. Известно, что имеет место замечательный факт, при т = 1 оператор .Ч', отвечающий этому потенциалу, имеет в качестве спектра поауиптервал [Ла, оо), из которого удален единственный интервал. Это так называемый адиазаинмй потенциал. Таким образом, (Гу) Лз! — ! =Лзз, 7=1,2, ...; Лз! — ! =Лзз, 9=-2,3, Это довольно тонкий факт, и мы предприняли его численную проверку, В табл, 3, 4 представлены результаты расчетов при двух значениях й 2 = 0,1: 0.5. В расчетах принималось п = 10, и, таким образом, число узлов равно Х вЂ”..
2п + 1 = 21. Насколько хорошо выполнены соотношения (17), можсч судить сам чигагель, Несомненно, в столь высоких точностях «!говиниа» аналитичность потснциала, и Здесь мы имеем Экспонвнциально малую величину бз г(рь). Злмкчлннш Собственные значения конечномерной задачи вычислялись по программе ВОЛ [141[ с константой !пасйерз = 4 !О Пгимкг 5. Спектральная задача для уравнения Бесселя (18) с граничными условиями [р(0)[ < оо, у(1) =- О, (19) Формюзызо эта задача не укладывается в рамки описанных, но если действовать в духЕ прЕдлагаомой тоории, то несложно построить нЕнасыщасмый алгоритм. Этот пример Рше интересен тем, что в данном случае один из концов интервала (О, 1) сингулярен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
