Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 133
Текст из файла (страница 133)
Подставим эти многочлены в систему (25) н возьмем ее ограничение на узлы, Отбросив погрешность аппроксимации, получим конечпомерную задачу для векторов 6„! еа, г , !), где 6 = (ба!, ..., б,.а)~, а = и, либо и = В, либо о =- я., э7 —. (Ог, - !1 ) . Вектор 0 — набор приближенных значений компоненты вектора скоростн ю в узлах л .= т! (0 =- 1, 2,, п), Т„(я) = О, а векгор э7 - набор првближенных значений давления. Введем следующие квадратные матрицы размером и х и: Ж = г)1аа ( ) "1' = с1!ай ( ' ) 7У = (и!( ь))ь,,=„д= (1!(ть))ь", ! 71! = ьз 4 Я, .х'= А.— а 7, .!Уьз - )~.Л!, где матрица А определена в п. 1 з 5. Тогда аппроксимация системы (25) будет иметь вид (Л7-~- !1'У)0„— 2"Уба — Л !(,У вЂ” 07 )0„— 21!Д! фа) +Д)1 = О., 276„+ (Л7-.
г).У)ба — Л-'(2И'6, (М - Ха)ба,' 4- аЛ!О = О, (Л1 —, й "У)6„— В М6; — гп!1 —.- О, и!а, тттаа —:!пб. =О. (27) Эту систему можно привести к стандартному виду алгебраической задачи на собственные значения. Положим Вгб„— —. ~; ясно, что где В!ю —. ехр( — г(10 + оя))В(юехр(г(10 + и ))), Ю ю = ехр( — ъ(10— + ая)) У(ю ехр(!(10 — ' пя))), Ж! 0 = ехр( — г(10 ' ая)) йгаг)(аехр(1(10 + !па))). Спектральная задача (25).
(26) не подходит под разряд стандартных задач ввиду того, что спектральный параметр входит своеобразным образом. Однако можно доказать. что исходная задача (23), (24) может быть сведена к стандартной ЗадачЕ для некоторого компактного опоратора (если читатель не Знакам с этой теорией, ему придется принять это утверждение на веру). Поэтому задача (25), (26) будет иметь дискретный спектр. Опишем дискретизацию этой задачи, Можно доказать, что если число Рейнольдса мало, то собственные значения задачи (25), (26) лежат в полуплоскости Ке Л < О. Прн увеличении числа Рейнольдса 11 часть согбсгвенных значений может перейти в правую полуплоскость, н нас прежде всего интересует то значение 77, при котором впервые собствеш!ые значения попадают на мнимую ось плоскости комплексного переменного Л.
Это значение чиста Рейнольдса называется критическим, и численный метод решения спектры!ьной задачи послужит нам для определения кригического числа Рейнольдса. Опишем дискретизацию задачи (25), (26). Чтобы удовлетворять граничным условиям (26), аппроксимяруем вектор ю ннтерполяцнонпым многочленом и(т! ю) =- 2 и!(л!)и!(т), а «давльь 654 Глава О, г7пслеинос решытс красвъ~в задач ИсклЮчая вектор и из первых двух уравнЕнии, липучим стандартнуЮ задачу на собственные значения для вектора э .= [ 76) 129) где и — комплексная 2а х йл-матрица.
Ее удобнее всего представить в блочном виде с блоками размером и хи. Мы не приводим окончательных формул;их без труда выведет сам читатель. Единствегпю нужно учесть, что матрица Д особенная, как это было уже установлено при исследовании задачи Орра — Зоммерфельда. Найдя собственный вектор Зг, затем несложно получить векторы (, и г1 по формулам 128), а с помощью интерполяцнонпых многочлепов можно восстановить приближенно собственный вектор задачи (23), (24). Приведем лишь два примера расчетов. Если и = 2,2, д = 0,05, д = - 2, 1 =- 7, мы получаем критическое число Рейнольдса В, —. 6,70491, причем собственное значение с максимальной вещественной частью равно Л = 8,21 10 — 7 -~- г 2,35208.
Расчет производился при числе узлов и = 16. Если взять то же значЕния парамЕтров, то получим следуЮшие ргзультаты: 20 10 3,7 10 — 1 2,34 — 2,58 10 — 1 2,352075 30 40 — 2, 576 10 — ~ 2, 352 075 Л вЂ” '2,577 10- — в', 2,352075 О величине погрешности и эффективности используемой аппроксимации гиок<но судить с помощью следующего эксперимента.
Рассмотрим задачу, сопряженную к задаче 123), (24), и произведем аналогичную дискретизацию; в результатв получим конечномЕрнуЮ зада ьу, но для матрицы, которая отнЮдь нЕ будет эрмнтово сопряженной к матрице Я. Однако расчет при п, = 20 даст с высокой точностью то же самое критическое число Рейнольдса, если заданы о, 5, д, 1. На рис. 3 для 5 = О, 05, р = — 2 представлено семейство нейтральных кривых при 1 = 0 сс!О. Под нейтральной кривой мы понимаем кривую 77,„=- Д~о). Мы привели довольно болыпое число примеров задач на собственные значения, с тем чтобы читатель хорошо усвоил существо предлагаемого метода и смог им воспользоваться в новой для него ситуации. Во всех без исключения примерах мы ~юлучали хороший результат даже прн сравнительно невысокой размерности конечномерной задачи. Это достигалось благодаря тому, что мы полностью использовали аналитичность решения.
Правда, в случае задачи Орра-Зоммерфельда, где имели дело с большим значением числа Рейнольдса, чтобы эффективно использовать гладкость собственной функпии нам пришлось учесть величину максимума модуля 60-й производной! Ну, а как будет обстоять дело, когда собственная функция имеет малую гладкость7 В 3 5 при решении краевой задачи мы видели. что способ дискретизации, приводящей к ненасыщаемьм алгоритмам, не хуже, чем наилучшие разностные методы.
Для задачи иа собственные значеняя предлагаемый метод„стало быть, будет более эффективным. 3 а д а ч и. Подобно тому как мы свели решение краевой задачи к экстремальной задаче, моэкно н задачу на собственные значения свести к некоторой 655 Е б. О ревзенви ва3ачв на собствотмс значения 0,4 ! Рис. 3. Нейтратьные кривые экстремальной зада ~е.
'Так, задача на собственяые значения — — ( р(к) †' ~ — О(т)р =- Лр(т)р, в Е [ — 1, Ц, р ( — 1) — ор( — 1) = О, в (1) — ',Зу(1) — — О, где р(в) ) б ) О, сводится к вариационной задаче (р, р) — ор( — «рэ( — Ц,— Нр(1)рэ(1) — ~ 1пЕ (30) при условии (31) 1 Доказательство того факта, что минимальное собственное значение даот минимум ф нк~ ионал, п фу г . у, ри приведенном дополивтельпом условии может ыть легко получено на основании результатов Е 4. Если в граничных условиях какая-либо из констант и, 8 (или обе) обрапгается в бесконечность, то 656 Глава Р, гТислсвнос решение красеъ~в задач функционал (30) видоизменяется н к условию (31) присоединяется добавочное (добавочные) граничное условие (условия). Понятно, чго широкий класс самосопряжештых задач на собственные значения совершенно аналогичным образом может быть сведен к экстремальным задачам, причем число независимых переменных не играет роли.
Вариацнонная формулировка задачи на собственные значения дает возможность провести ее дискретизацию, если приближенно свести вариационную задачу к задаче в конечномерном пространстве. Обозначим через У(р) квадратичный функционал, определяемый левой частью формулы (30), и пусть Это отношение называется ошношснисы Рзлсл, Напомним читателю принцип минимакса Пуанкаре — Фишера — Куранта. Пусть В' С 1~чг ' — 1, Ц вЂ” произвольное п-мерное подпространство и о„(В") — -- впр Я(р).
Тогда 'шЕо„(В") = Л,, ь- 2. Докажите принцип миннмакса. Рассмотрите этот принцип в том случае, когда либо о, либо В (либо о п В) равны нулю. 3. Произведите дискретизацию задачи на собственные значения, рассматривая варнациопиуто задачу па подпрострапствс Зг" и записывая произвольный многочлен р б М в виде (1-~ х) Т-(х) (1-- х) т-(х) р(т)=~ (~в~(т) 1бе Т() Ч4 г 21 Звмкчвннн 1. Если конечномерную задачу, получаемую в результате дискрЕтизации, записать в виде (А — ЛВ)б = О, (32) где с = (се, ..., с ~), то при вычислении элементов матриц А и В целесообразно воспользоваться алгоритмом БПФ.
К сожалению, для задачи на собственные значения (2), (3) нет сравнения методов дискретизации, основанных на варнапионпом методе н методе, изложенном в п.2. Зхмкчхнин 2. Если Л~ и Л~(гг) — минимальные собственные значения задач (30), (31) и (32), то всегда Л~(п) ) Ль Это очень цшшое неравенство, и Его слвдуЕт учитывать в практичЕской дЕятсльносги. 4.
Докажите, что Л,(п) ) Лэ (2 = 2, 3, ..., и), где Лз(п) и Л, — собственные значения задач (32) и (30), (31) соответствешю, зануыероввшюые в порядке воЗрастания. 5. Рассмотрим аппроксимацию задачи (30), (31) зада ~ей в подпространстве Н" б И "э'[ — 1, 1], и пусть Л,(п) и р," - собственное значение и соответствующая собственная функция конечномерной задачи.
Дока>ките, что Л (и) — Л <С(Š— у рв — Ч) 1<в где Лз н рз — собственное значение и собственная функция задачи (30). (31). 657 з 7. 0 0оказатпелытг, еичислеиалк О. Рассмотрим плоское течение вязкой несжимаемой жидкости с полем скорости (Асову, 0)', которое может быть реализовано с помощью силового поля вида (Е, Гх), тле Г .=- Всови, Ех — — 0 — компоненты внешней силы в прямоугольных координатах (г, и). Течение считается 2к-периопвческнм по координате ц. Исследование устойчивости этого течения в предположении, что течение пернолвчно по в с периодом 2л/о, приводит к слелу|ощей задаче на собственные значения: Л т + жисову(Л т + Х) — ЛйЬ л = О, у Е ~0, 2х), Х(у — ' 2л) = Х(ц)> где йа = аа0?у — о~.
Разработайте численный алгоритм решения этой спектральной задачи и постройте нейтральную кривую, т, е, зависимость критического чвсла Рейпольлса й„от волнового числа о. 7. При разработке дискретизации нужно принять во внимание, что при о = 0 имеет место вырождение спектральной задачи. 'й 7. О доказательных вычислениях 1. Введение. Казалось бы, вопрос об оценках погрешности, с которой мы находим решение некоторой задачи, вполне будет решен, если теоретическим путем найдем пеулучшаемую оценку погрешности, Однако при более внимательном рассмотрении мы увилим, что теоретические оценки погрешности вопроса цо конца не решают.
Рассмотрим конкретный пример спектральной задачи. Мы уже виделн, что машинное представ, ление матрицы может за собой повлечь изменение собственных значений (н в отдельных случаях очень сильное). Далее, сама процедура отыскания собственных значений является итерационной, и окончание итерационного цикла может быть не связано с достижением нужной точности. И наконец, не последнюк> роль играют погрешности окрутления.
Таким образом, теоретическая оценка погрешности должна быть полправлеиа с учетом всех перечисленных факторов, а это бывает сплошь и рядом практически невыполнимо. Поэтому возникает вопрос о том, как же следует поступать, если нужно получить ответ с некоторой гарантированной погрешностью? На конкретном примере довольно трудной зацачи мы расскажем, как производится апостериорная оценка погрешности, а тем самым указывается и ее верхняя граница. Для того чтобы получить апостериорную оценку погрешностн, требуется выполнить предварительные аналитические изыскания н проделать дополнительные вычисления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
