Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 136
Текст из файла (страница 136)
О численном рс|исяии крассь~х садах говоря, О,. у й ы дй. Поэтому к узлам решетки, лежащим на дй., нужно добавить еще узлы, которые лежат на дй и уже не принадлежат исходной решетке в 1е~. Эти дополнительные узлы получаются при пересечения границы области прямыми, параллельными осям координат и проходящими через внутренние узлы. Узлы такого рода бу.дем обозначать через х~, где мультииндекс й„будет иметь некоторые компоненты й', отмеченные звездочкой, указывающей на то, что соответствукш1ая координата точки ха имеет вид (6' — 1)6 — 6"., где 6' выбирается из условия ха* с дй В случае ! = 2 на рис. 1 приведена конструкция, разъясняющая сказанное. Точка А с координатами (бгбы йо6г) не принадлежит множеству йю хотя и является элементом множества йь; точки В и С имеют соответственно координаты (йг1В - 6*,, агйг) и (а16м йг6г+ 6г).
Таким а1 а2 образом, в данном случае точки В и С это узлы вида х~*, ха*, причем йг = ((бг + 1)*, 6г), 6~ = (12, (йо + 1)*). Введем сеточную границу множества йь., которую обозначим через дйа. По определению дйа — -- (йа '~ йа) О (х~: х~" с дй) 0 (х~: х~ с дй). Отметим, гго в случае задачи Дирихле граничные условия ставятся на подмножестве Га с дйа, состоящем из узлов хм и узлов х~ ~ дй.
В уз- лах границы дйа ~, Га производится аппроксимация уравнения (1), но угке с участием нерегулярных узлов. а' ь' Цепочку х~, ..., х~ узлов множества й"-' йь назовем путем, если ха й Оас ° (и = = 1, 2, ..., у — 1). Если граница дй является достаточно гладкой гиперповерхпостью и ес- о о х о ли 1В 4 ... 4 6а достаточно мало, то любые ' г х два узла й можно соединить путем.
В даль- а охдо нейшем мы будем предполагать, что выпол- Е А 6, няется это свойство. Рассмотрим,как производится аппрок- Е' симация уравнения (1) в узлах х" й дйь~Гь. Для примера рассмотрим аппроксимацию Часть г аниг ы производной дги/дх-,' в точке А (см. рис. 1), считая, что 1 = 2. Из результатов п. 1 Э 2 гл. 9 ми и граничными узлами мы видим, что, поскольку аппроксимация производится по трем неравноотстоящим узлам, погрешность аппроксимации будет, вообще говоря, первого порядка. Используя формулу Тейлора, получим ° г — . [( 1ыэй ги — ь1 ьс)(6г) — (иа, ео — пь,-к ь.)6г,'— дх'-, л 61+6; д 668 Глава 10, Нскопгорые вопросы чпслспного релаени праевггх задач где игй,е ц й, = гс(вгбг + 6~, йз6з).
При другом расположении точки А относительно границы формула (2) принимает вид . ~(и<й,гц*й,— ий,й,)(6;) — (ий,й,— и<й, ц.йг)(6;) ~+ дх'; л 61+6; + -(6, *— 6г) ., +О(6;). (2') дхз л где и~йгхц-йг —.. и(гсзбз —. 6г, 6збз). Аналогичные формулы имеют место и для аппроксимации производной ди~сгдх~~ . Таким образом, ацпроксимируя уравнение (1) в узле А, Л получим 2аы,йг с — 1 „1(и~йг-ц*йг — ий,й,)(6з) — (ий,й, — ий,, йг)6, 6, +6,*" 2азйг йг — й — гг ((ийг гйгз ц ийг йг)(62) (ггйг йг ийг, йг — 1)6а ) + 6 +6.; — , 'йй,й,ий,й, .—.
)й,й, — Яй,й„, (3) где 1 дз д~и ,з (6з 6з)азй й з 2 --. 0(Ьг .-, 6з) ~~ шах . (4) ген дх г В случае произвольяого / изменения, которые нужно сделать в формуле, дающей аппроксимацию уравнения, очевидны, так как зти изменения касаются отдельных слагаемых вида а (х)д~и,сдх~~. Воспользуемся обозначением для второй разности, введенным в и. 2 32 гл. 9.
Тогда уравнение (1) во внутреннем узле запишется в виде (см. (3.7.19)) — ~ а,йдйз ий -' дйий = гй — ггй, или (.Уи)й =- Гй - Вй, (6) где х' —. оператор на множестве сеточных функций, определенных на Йй, действующий по правилу (Уи)й = — ~~ агава йий, и е Йй. (6') 669 Э 1.
0 чиалавваж ра~иааии касаема задач В узлах л~ Е дйй 1, Гй аппроксимирующее уравнение прн ! = 2 имеет вид (3)., а для произвольного ! в указанную формулу нужно ввести очевидные изменения. Окончательную формулу запишем в виде (7) (.2'*м)й =,(й — !ай, где звездочка озпачаот, что по некоторым переменным х, вторая производная аппроксимируется с использованием неравноотстоящих узлов, как зто указано в формулах (2), (2'). В случае задачи Дирихле аппроксимация граничного условия и~а =- р производится весьма просто; ий = рй, л Е Гй. й (8) Обозначая через гй приближенное значение решения в узле яй, получим сеточную функцию в: ж" -э вй (яй с !!й ',' д!!й), удовлетворяющую разностным уравнениям (.Ув)й = Уй, ж~ Йй; (.У"в)й = )й, л~ Е дГ!й '1 Гй (9) и граничным условиям па=эай, л еГй.
й (10) Легко убедиться, что в системе (9), (10) число неизвестных равно числу граничных условий. Злмвчлнин 1. Рассматривая в 3 7 гл. 3 дискретизацию задачи Днрихле в случае, когда область является интервалом 1, мы иначе определили граничные и внутренние узлы. Это было сделано преднамеренно. Теперь читателю ясно, что и в случае интервала нужно изменить сделанное раньше определение и считать, что все узлы т Е д1, за исключением й вершин параллелепипеда 1, являются узлами, принадлежащими множеству Гй. Узлы тй Е 1 ) д1, ближайшие к граням 1, также нужно отнести к граничным узлам.
Так, если 1 = (я е Гь~, а, < т. < 6, у = 1, 2, ..., !), то упомянутые узлы лежат в гиперплогкостях я = а + 6 ., х = 6 — 6; (у —... 1, 2, ..., !). Остальные узлы решетки, лежащие в 1 1 д1, образуют многкество Йй — 1й. Злмичлник 2. Аппроксимация граничных условий для задачи Неймана, .или третьей краевой задачи, в слу чае, когда область Г! -- интервал. производится элементарно, поскольку фактически мы имеем дело с одномерной ситуацией.
А для одного переменного эти вопросы разобраны в гл. 9. Гели же область й произвольна, то процедура аппроксимации становится более громоздкон и неприятной [227, 228). 3. Оценка погрешности приближенного решения. Оцоним погрешность приближенного решения. !1усть ю: и — э ий = ий — вй, ,й 670 Глава 10, Некоторые вопросы числвнного рвливни краввых задач тогда, вычитая из уравнений (6), (7), (8) соответствуюц|ие уравнения (9), (10), получим (.Уш)ь =- -Вю х е йтб (У'и~)ь = --Вю х" е дйь'1Гь; та=О, х ЕГ~,. (У'ш)ь = .-2~ ~и ь 1 оьшю Остальные детали доказательства останзтся без изменений, и позтому мы пе будем их повторять.
Ниже мы воспользуемся обозначениями п. 4 3 7 гл. 3. Предложение 1. Имеет место неравенство ~г ась ( — шах Вь~ -, В ~ ~п, ~ ~ евах ,'Ви1 (11) 2А хвейв ' аведйв~гь ' з=1 где В =- шш а1ь ь к3 Доказатьльство. Разложим сеточную функцию т на сумму двух функций, а именно с: хь — сь и кп х" — ~ ню ш = с т О, шь = сь -~- г1ю подчинив их условиям (.УС)ь = — Вю х 6 йгн (.У'6)ь = О, х с дйа ~Ггб С =О, х с Гсм (.Уц)ь = О. х" е йь; (У'0)ь = — Вы х~ е дйь ~ Гь; В = О. х~ е Гю Тогда в силу предложения 7, 3 7 гл.
3 лз ~ Еь < — п1вх ~ Вь ~. 2А а" ейв (12) На множество узлов (йь 'с1 дйа) 1Гь ограничим функцию пб из уравнений (.Уг1)ь = 0 (хь Е йь) в силу предложения 6 37 гл. 3 следует, что ьв максимум ',Вь~ достигается в некотором узле х~ множества дйь~Гю Прньв мем! = 2 и, не ограничивая общности, будем считать, что узел хь зто Предположим, что шр о(х) > О, шу а (х) > 0 О = 1, 2, ..., 1). Завей кей метим, что предложения 6, 7 3 7 гл.
3 остаются в силе. Единственно, что нужно отметить, зто то, что фигурирующую в доказательстве предложения 7 сеточную функцию ш нужно построить как ограничение функции (х — с )- на множество узлов йь сз дйю Тогда, как легко следует из о=1 формул (2), .(2'), 671 З1. О чиеленггом реогении краевых задач узел А (см. рис. 1). Запишем уравнение (.У*з1)ь = — Еь в узле А. Тогда ' '„~ гзь,ьг( — „— — ) -- Ь,г йь, цьг1-,' '(%гхг(, 1 ) ' гга Чхг,ьг- 1) 1 +Чьгьгг1ьгьг =" Кь ° Поскольку г1ь,~., ~ — максимальное значение функции г1ы то 2аииее 2ахьгь, Чегго) Шглг~ -. ~ Ь г и поэтому, усиливая неравенство, получим 1 1 Б( — + —,)~г1ь,ь, < 77ь!.
йз Следовательно, я — 1 шах~~уь( < В ' ~ ~Ь г~ швх (Еь(, / ххвдйгдго з=1 и тем самым, учитывая (12), получим неравенство (11) при 1 =- 2. Общий случай трактуется аналогично. Б Предложение 2. Если и Е Сг(й), то для ногреганости на сетке приближенного 1геигеггггя задачи Дирихле оъснолняетгя неравенство сР ~ г ди шах,'иь — ов~ < у й шах, игах~аз(х) + 24А;-"' з хей дх, хей з'=з ,— 1 егзи ~ ~ дои,: ео( е',г ~„,: :ч()). хей дх ! хей ,з! 3 Доклзлтильстио.
Используя формулу (3.7.19) и выражения для остаточного члена аппроксимации и замечая, что формула (6) тождественна формуле (3.7.19), получим оценку первого слагаемого в правой части неравенства (11). Второе слагаемое этой правой части оценивается с помощью формулы (4).
сз 672 Глава 10, Неноторнс вопроси численного ренмни краевых задач Злмкчаннщ Анализируя правую часть последнего неравенства, мы видим, что ее главный член обязан своим происхождением погрешности аппроксимации у~звнения во внутренних узлах, поскольку вклад погрепшости в узлах х е дйл '1 Гл является величиной О(пзах 6з). Отсюда немедленно следует, что погрешность аппроксимации на сетке имеет главный член. Проще всего вид главного члена получить, предгюлагая, что 61 .— -- ... =.- 6~ = 6. Предложение 3.
Если и е С'(й) (г > 4), то иь — пь = — ~(х ) + о(6 ), 6г 12 где с,'(х) — решение. краевой задачи аз(х)ге(х)с'~аз(х)ох нй сап О(13) 1=1 Жз о=1 д'3 Доклзлтндьство. Поскольку шь = Сь —, Ню учитывая оценку шах ~ць~, полученную при доказательстве предложения 1, достаточно более подробно исгледовать сеточную функцию с. Принимая во внимание формулу, полученную для остаточного члена Ль в и. 4 3 7 гл. 3, имеем 62 с д' г (.УД)в = — 2 ад(х) л ~ +о(6 ), х е Й~ . д=з В з Таким образом, вводя сеточную функцию р: х" — ъ рь и сь = 6т~,"(хь)/12+ - рь (х Е Йь 0 дйь), получим (.Ур)ь =- о(6 ), х" е Йгп (14) В самом деле, поскольку правая часть уравнения (13) принадлежит пространству С'"~(й),то ( б С' -,и, значит, остаточный член аппроксимации при замене уравнения (13) разностным уравнением будет о(1).
Мги моъкеъс считать, что г =- 6, и тогда последнее утверждение следует из формулы для погрешности аппроксимации в регулярном узле. Ясно., что Ф С)а 1 Ф ч)ь + (-д р)ь и позтому (У Р)ь = О(6а), х~ е Вйь 1 Гь. (15) ьо Пусть в узле х~ достигается максимальное значение шах рв . хседп~дгь ьо Не ограничивая общности, будем считать. что рьо > 0 и что узел х" совпадает с узлом 4 (см. рис, 1). Взяв ограничение сеточной функции рь на З 1.
О численном Решении ираееъ~х аадач множество узлов Йй0(дйй'1Гй) и применяя к системе (14) предлогкение 7 '3' 7 гл. 3, получим еда ~ргй < Рй + — Ь, 2А (16) где е — г О при Ь -.ч О, йъ Рассмотрим уравнение (16) в узле хй . Воспользуемся формулой (3), в которой правую часть заменим на величину 0(Ь-), и будем считать, что й —.. (Ьм Ьт). Тогда, поскольку Рй,— г й,[ ~ ~Рй,йг — д " Рйьйг — г! ~ ~Рй,й. + —" Ь получим соотношение 'Ь,","'Ь': ~" "( Ь' Ь) -" '(Рй "" 2А")1- +, ~ Рй~й~ (, ':" ) Ь (Рй,й~ д " )~ и Ой~й~рй~й~ < СЬ откуда и [Ь (апий, — , 'атй,йг) х ай,й,)рй,й, -- — (апай,, авй,йг) < СИ, и поэтомг 12Ьа Рй" — Рйй < +СЬ и стало быть, из неравенства, (16) следует требуемый результат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
