Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 139
Текст из файла (страница 139)
Для доказательства пашготы полученной системы собственных функций докажите, что (и", ь') = Хгпгб„/4, где ( , .) — скалярное произведение в В,, т.е. н 682 Глава ПЛ Некоторые вопросы шшлениого решения краевых задач Метод Дугласа — Рэкфорда состоит в том, что итерации производятся по формуле (34), но итерапнонный параметр т выбирается зависящим от номера интерации. Исключая нз сне гемы (34) промежуточную величину в'т'12, мы получим уравнение (см.
(8,5.3)) и "' = и — С '(г ) (1 я — 7). Таким образом, этот итерационный метод является итерационным процессом первого порядка, но не скалярным, а матричным. Этим и объясняется тот факт, что наилучший скалярный процесс произвольного порядка уступает по быстроте скодимости итерационному процессу Дугласа- Рэкфорда, 5. Пусть 5 — решение системы (ЗЗ) Покажите, что „. 5=П(1 С- (гь)б)„(ьо и получите отсюда неравенство где пш„"- коэффициенты вектора и — 5 в разложении по собственным века торам оператора Ь. б.
Пусть 1М1 — Х2. Покажите, что можно так выбрать итерационные параметры то, ..., г „1 при ио — 1п1т'„что 'Π— 1 и ~Л„.,(гь)~ < 0 < 1 ь=е для г1 = 1, 2,..., № — 1, 1 2 — -- 1, 2, ..., Жг — 1. 7. Произведем первые ио итераций по формулам (34), взяв итерационные параметры равными то,..., г„„1, затем повторим этот процесс й раз. Покажите, что вь"' — 5'2 < Омно — 5 2, и как следствие докажите, что для того, чтобы ~н" — 5,,:1 < 5, достаточно выполнить — № дуг )о8 12'1 1об(! /55) операций.
8. В задаче 5 51 2 гл. 9 предлагалось построить разностное уравнение, аппроксимирующее на решении уравнение Пуассона — Ьи = г(х) с четвертым порядком аппроксимапии. Вот это уравнение: (35) где И вЂ” Уь- — (5 ., +5 — 2~ 1 2дзу 2дз) у 12 ' дх2 дхз 12=2" полагая ль = лево пь = 0 (х б дй), рассмотрите задачу на собственные зпа геь ния и покажите, что собственные функцгп1 этой задачи те же, что и в задаче 2, а собственные значения определяются по формуле 6'; 4- Ь,' Лг — —. ы1(г1) 4- ыз(гз) — 221(гг)ыз(г ).
12 9. Пусть область П такая же, как и в предыдущей задаче, а решение и задачи Дирикле для уравнения Пуассона принадлежит классу )4ш(М: Й) 683 3 1. О числегтолл решении краевых задач (6 = (6, 6), ЛХ = (31, Лл)). Для ее численного решения восглоллиуелася сеткой и аппроксимацией задачи 2. Покажите, что для решения системы уравнений (35) можно применить оптимальный итерационный процесс второго порядка и что для того, чтобы получить решение с точностью б, достаточно выполнить = Для(Д,' - Л",)"з( "'*)'(п-' операшлй, предполагая, что правая часть Г дана таблицей в узхзх сетки. Докажите, что для того, чтобы получить решение задачи Дирихле с погрешностью не более е, достаточно вьшолннть = ел;е ' 1лл(1/е) (36) операций, если считать, что йл — бз, ал — ал, и не учитывать операпий на вычисление правой части 1.
ЗАмечвнне. Целесообразно сравнить наилучшую оценку (32) при 1 = 2 с нео~пнмалльнойл оценкой (36) в предположения, что правая часть задана на одной и той же сетке н что решение задачи пряна;ллежнт классу Иле,(М: Й). Исследование аснмптотики поперечников и е-энтропии различных функциональных компактов показало> что самый жгучий вопрос прн построении численных алгоритмов — это вопрос правильного учета потелщиальной гладкости решения.
Как мы видим на разобранном примере, число операпий для приближенного решения задачи существенным образом зависит от того, насколько эффективно эта гладкость учитывается, Даже использование самых лучших методов решения систем разностных уравнений может не дать того эффекта, как простой переход на алгоритмы более высокого порядка точности н затем решение полученной системы уравнений каким-либо обычным надежным методом. Имеются важные классы прикладных зада.л, сводящихся к решению уравнения Пуассона с простой правой частью.
Типичным примером является задача о кручении призматического стержня с поперечным сечением Й, математическая формулировка которой следующая: в области Й С Н~ найти решение и уравнения — Ьлл =. 1, постоянное на каждой компоненте границы области Й. Если Й вЂ” односвязная оГ>ластлч то лложно считать, что лл,~ Й = О. Понятно, что если граница обла'~д сти гладкая, то и решение будет гладким. Если же граница имеет особенности — утловые точки, точки возврата, то решение в окрестности таких точек будет иметь особенности. 10. Пусть область Й вЂ” прямоугольник: Й = (х, р: 0 ( х (ь а, 0 ~ (р (ь Ь). Покажите, что в окрестности вершины (О, 0) решение задачи о кручении призматического стержня с сечением Й может быть представлено в виде хл -1- рл х9 2 и(х, у) = — — — !п(х + р ) +, алсек — ' ш(х, р), 2х 2ху где ш(х, р) - регулярная функция в окрестности точки (О, 0).
При построении теории разностных схем такая область, как интервал в хь~ (1) 2), является излюбленным геометрическим объектом, на котором разыгрываются различные сюжеты нз области конструирования разностных схем 684 Глава 10, Некотог»ые вопросы численного решения краеоых задач и методов их решения. В то же вре»яя, как мы сейчас видели, ре»пения самых естественных краевых задач будут иметь особенности в угловых точках, а это приводит к тому, что предположения о гладкости решения, которые делаются в этих теориях, в значительной мере иллюзорны. Построение численных методов решеняя краевых задач в областях, граница которых хотя и состоит из аналитических дуг, но имеет угловые точки, является трудной задачей численного анализа, далекой от своего полного решения. Рассмотрим задачу Дирихле для эллиптического уравнения — (а (х) ) — Х(ог(х)7 ) -" 9(х)»» = — Х(х), * й Й, д д»» д д»» где !и!' аэ > О (1 = 1, 2).
11. Предполагая, что область Й и сетка такие же, как и в зада»е 2, предложите разностную дискретизацию упомянутой задачи Дирихле. Один из возможных Отвотов: — — [а»,ь,,ХгЬ (ог-,, — ог) — а ь, 7»6» (»а — »»ь,,)) -'дьга = Хы г=» х' С Й», дй, »а —. ~ы х" а дй. (37) Попомним, что е1 = (1, О), ег = (О, 1) и а, еэ» гг = аг(х" х 6, е,/2). 12. Предполагая, что Оь > О, докажите принцип максимума для разностной задачи (37). 13. Считая, что коэффипиент о, (х) является слабо меняющейся функпией х„т.е. !Оа,(х)Хдх,( « а,(х) (Х = 1, 2), докажите аналог предложения 7 '3' 7 гл. 3 и как следствие дайте оценку уклонения шах)и(х ) "»а) < С(6г-Ь!»г)ЛХ, предполагая, что и Е !Зг (ЛХ; Й) (4 — —. (4, 4). ЛХ вЂ” — (ЛХ, ЛХ)). Введем на плоскости К правильную треугольную сетку со стороной треугольника, равной Ь (рис.
2), Обозначим через и, значение функции и: »В г — К в узле с номером» = О, 1, ..., 6. 14. Доках»иге, что ХЗ 96» г и, — био = »( —,. !»»Ьи -, '— — »Ь~ит 6 ГЗЗ е 3 » г - 9 г » 27 1 —,! — Р»и -! 15 —,Р,Р и — 15 —,Р,Рги !- —,Рги1 -Ь...1, 6! !16 16 16 16 1 !о' гдо Р, — —. дХдх (Х = 1, 2). Примените эту формулу к аппроксимации уравнения Пуассона на шестиугольной сетке.
7. Аппроксимация н корректность. Мы привели примеры доброкачественных аппроксимаций задачи Дирихле. Мерой доброкачественности служил тот факт, что для решения разностной задачи выполнялось неравенство (3.7.23), являющееся дискретным аналогом неравенства (9,1.'! 9). Эти неравенства, по существу, означают ограниченность обратного оператора. В самом доле, если рассмотреть задачу Дирихле 686 ~ 1. 0 численном решении нраеомв еайач для уравнения Пуассона с однородными граничными условиями, то неравенства (9.1.19) можно записать в виде 21 и для дискретной задачи справедливо аналогичное неравенство также В равномерной нОрме. Дли эллиптических уравнений и систем ограниченность обратного оператора может формулироваться в других нормах; даже для оператора Лапласа естественной формулировкой является неравенство (9.1.20), где используют- 3 2 ся в известном смысле более подходя- 4 ! щие нормы.
Поскольку при произволь- 5 0 б ной непрерывной правой части в уравнении (9.1.18) мы не можем гарантировать существование классического решония уравнения, то ограниченность обратного оператора мы можем обеспечить лишь для правых частей ) е С', где а нецелое, и тогда требуемая формулировка даетс~ Рис. 2. Треугольная сетка неравенством 19.1.20). Стало бьгть, при дискретизации задачи нам нужно было бы обеспечить выполнение дискретного аналога неравенства (9.1.20), Поэтому при таком подходе теорема об ограниченности должна звучать так; если краевая задача для уравнения 11) с нулевыми граничными условиями разрешима при любой правой части 1 Е С", то для дискретной задачи при достаточно малой величине шагов выполняется неравенство , :иь~~„.~в ь < Сь' 1ь~~, ы где иь,,п .
- Решение и правая часть на сотке, а ! ~„,» ь, ~). ((„а -- сеточные аналоги норм ( )(,+з, !) )„и Сь < Со. Однако такой способ действий довольно сложен,и поэтому он в полной мере не РевлизОВан, В этой связи мы рекомендуем возвратиться к п. 4 2 3 гл. 9, где для краевых задач для обыкновенно дифференциального уравнения второго порядка такого рода теоремы установлены. Но осли обратиться к случаю обпгих краевых эллиптических задач и к уравнениям более высокого порядка чем второй, то принцип максимума в такой форме, как он справедлив для эллиптических уравнений второго порядка, уже не верен, Стало быть, правильная форма утверж,чения об ограниченности обратного оператора, вытекает из теоремы Банаха (см.
гл. 2); ееши мы имеем краевую задачу ~38) и два банаховых пространства Вы Вз таких, что В: Ве — Вя — линейный замкнутый оператор., опрсделенный на всем пространстве Вы уравнение (38) разрешимо при любой правой части )' б Во и решение 686 Глава 10. Некоторые вопросы чвнмеппого ррешеррил краевъът вар1ач единственно, то по теоремам Банаха (теоремы 10, 11 З 1 гл. 2) обратный оператор существует и ограничен, т. е.
(39) ()и()р < С))Дэ. При дискретизации задачи (38) мы должны добиваться не только хорошей аппроксимации, но и выполнения дискротяого аналога неравенства (39). Реально при дискретизации можно пойти яа то, чтобы это неравенство выполнялось для конечномерных аналогов более слабых норм. Таким образом., при дискретизации краевой эллиптической задачи на дискретизацию налагается не только условие аппроксимации, но и условие, часто именуемое устойчивостью (или коррекшностпью) и сводящееся, по существу, к требованию ограниченности обратного конечно- мерного оператора.
То, что дискретизация. обладающая требуемой аппроксимацией., не обеспечивает устойчивость, показывают самые простые примеры дискретизации корректных краевых задач. Например, для этого достаточно разностные уравнения., определенные на сетке задачи 2, видоизменить следующим образом: если й — — (йз, йо), то для йр — "- 1, 2, ..., Хр .— 1, й —" 1, 2, ..., Х - 2 оставить стандартную аппроксимацию оператора Лапласа, а вместо уравнений при йя .— "- ргъз - 1, йр = 1, 2,..., Хз — 1 снова записать уравнения, отвечарошие Ь~ = О, но применяя одностороннюю аппроксимацию производной дэррдтз~, т.е, использовать уравнения вида --(арно)гпо — — з(иь,з — 2пь,р -~ пь,е) — - рь,о, кр =- 1, 2, ..., Хз — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
