Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 137
Текст из файла (страница 137)
Следствие. Разностный метод решения задачи Дирихле длл рравненг л (1) насыщаем. В случае частного вида области этот результат отмечался ранее. Рассмотрим вопрос о погрешности (не на сетке) полученного решения. Г(ля этого нам нужно построить оператор восстановления й', который по сетсшной функции о позволит получить некоторую функцию йо(х; о) е С[й], еп о Р(х; и) е СЯ).
Еак мы уже отмечали выше, ггоереъиностъю приближенного решения при заданных шагах Ьм,,., Ьп Ь =.- (Ьм ..., 1н)' назовем величину р(о: Ь) = 1ггГ~ и — х(' ой)', где нижняя грань берется по всем операторам ОО' восстановления. В рассматриваемом случае, ввиду того что погрешность на сетке есть величина порядка 0(Ь~г + ... + Ь;), в качестве функции ф(х; ой) можно взять кусочно-линейный сплайн, принимающий в узлах значения, совпадающие со значеяиями сеточной функции о. Еогда область 11 интервал, такой сплайп построен в гл.
3. Учитывая предложение 2 з 6 гл. 3, при гг =... = г~ = 2 получим (17) 674 Глава Нй Некоторыс вопросы числе»»»»ого реласиил краевъ»х вас!си В случае произвольной области мы не будем приводить соответствуюшую конструкцию, а предоставим в виде упражнения проделать это читателю, считая,что ! = 2. 3 адач а 1. Пусть облас~ь й С К~ имеет гранину из класса С, а и»(х) б И"'(М: й), где г = (2, 2), М = (М, ЛХ). Виедш» в й сетку с шагами 6п 6», приспособленную для решения задачи Дирихле. Обозначим через Цх» ю) кусочно-линейный сплайн, построенный по значениям юе — -- ю(х ) в узлах. Докажите, что ~»е(х) — Б(х; и) ~ <ь СМ (Н, + Н,") (18) Указания.
Сетка в области й позволяет произвести ее триангуляцвю на треугольники с вершинами в узлах. Часть из них будут криволинейными треугольниками. Рассмотрим узлы сетки, изображенные на рис. 1. В каждом из треугольников ЕЛЕ, ЕЛС, ЕВЛ и криволинейном треугольнике ЛВС функция Ь строится как линейная по значениям в вершинах трв»тальников. Поскольку разность и:(х) — Х(х; ю) обращае»ся в пуль в всрппшах треуголы»иков, то на их сторонах найдутся нули производной этой функции. ограниченной на соответствуюшую сторону. Отсюда получается оценка производных и как результат неравенство (18), Несложно подсчитать дефектное число рассматриваемого способа дискретизации задачи Дирихле. Пусть 6, м 6 Ц =.
1, 2, .... 1); ясно, что чис ю узлов п = Ъ'о! й6». Сеточный поперечник класса И" (ЛХ; Й) (э = (4, ..., 4), ЛХ = (ЛХ, ..., ЛХ)), очевидно, имеет порядок убывания ХУ»»(1!'","с(ЛХ:, й)', С(й)) .= п ~е». С другой стороны, для погрешности е приближенного решения в том случае, когда и б И'" (ЛХ: й)» ил»еем оценку е < 6 < п -, и поскольку эта оценка не улучшаема, то дефектное г — Н число равно !(4Д вЂ” 2Д) =. 2. Для того чтобы решить систему (9), (10), потребуется не менее Сп операций (при этом мы пе учитываем сложность вычисления правых частой).
Ввиду того что е = и гД, сложность приближенного решения задачи Дирихле удовлетворяет неравенству. Т(е) > Се" Нз. Эта оценка согласуется с оценкой сни:эу для временной сложности алгоритма решения задачи Дирихле, которая дается теоремой 2 8 2 гл. 5 для случая, когда правая часть уравнения задается таблицей интерполяпионного тина.
Если мы покажем» гго систему (9) с точностью, которая не повлечет нарушения оценок (17), (18), можно решить за = е На операций, то тем самым будет доказана о»гтимальность данного алгоритма (мы игнорируем наличие множителя!и (1»е)). Таким образом, чтобы уменьшить работу» необходимую для получения решения с данной точностью е, нужно переходить на алгоритмы, основанные на разностных аппроксимапиях более высокого порядка точности, а еще лу.чше на алгоритмы без насыщения. В тех случаях, когда задача Дирихле для неоднородного эллиптического уравнения выступает как вспомогательная и в на»пей воле распорядиться таблицей правой части, нужно избегать использования таблиц интерполяционного типа. З 1. 0 численном рглиении краевых задач 4. Дискретизация как метод доказательства существования.
Рассматриваемая дискретизация задачи Дирихле используется не только для построения алгоритмов ее численного решения, но и в теоретических целях для доказательства существования решения задачи Дирихле. Очень кратко остановимся на этом круге вопросов, поскольку имеющиеся результаты дают яркую характеристику силы и универсальности данного способа дискретизации. В (113( опубликован цикл работ, в которых доказательство существования решегпля задачи Дирихле для уравнения Лапласа основывается на предельном переходе от решения алгебраической конечномерной задачи, полученной в результате дискретизации исходной задачи Дирихле. На этом пути получаются результаты болыпой общности, и, чтобы их описать, введем некоторые определения.
Будем рассматривать задачу Дирихле в произвоиьной области й С К, не накладывая никаких ограничений на границу области, считая лишь, что она является ограниченным множеством. Последнее не является ограничением, поскольку преобразование инверсии сводит случай неограниченной области к случаю ограниченной. При таких общих условиях на границу области неясно, что же нужно понимать под решением задачи Дирихле. Будем считать, что на границе дй задана непрерывная функпия эо, продолжим эту функцию на Н с сохранением непрерывности и обозначим продол>кенную функцию снова через э>: х > — > Н(х Н ).
Существует процесс построения фУнкЦии ие гаРмонической в Й и опРеДелЯемой гРаничной фУнкЦией аб эта функция называется обобщенным решением задачи Дирихле. Г1роцесс ее построения сестоит в следующем. Рассматривается последовательность областей (й„), сходящаяся к области й, такая, что >и>в каждой области Й„разре>пима задача Дврнхле с произвольными непрерывными граничными условиями. Пусть и„— решение задачи Дирихле в й„с граничными усоовиями и„)дй = э>~Ой„.
Несложно доказать, что посоедовательность (и ) сходится в Й к функции и, гармонической в й. Оказывается, что предельная функция не зависит ни от вида функции э> вне дй, ни от выбора последовательности (й„). Если при граничных условиях гд на дй существует решение и задачи Дирихле в Й, то и =.:: и . Таким образом, дальнейшее изучение сводится к расгмотреишо поведения функции и. вблизи границы. Если в точке х б дй 1пп и.(х) = эо(х ) ,О * причем предел берется изнутри й, то говорят, что проблема Дирихле с граничными данными >> разрешима о точке хо, Егти проблема Дирихле разрешима в точке хо при произвольных непрерывных граничных данных, то точка хо называе гся регуллр>>ой точкой гроницьс Остальные точки границы называются иррегулярными, Нетрудно привости пример области, граница которой имеет иррегулярные точки (см.
(66, с. 306)). Существуют и простые критерии регулярности точки границы. Считая, чго 6> = ... = 6> = 6, рассмотрим сеточную область йь и в каждом узле хь б йь уравнение (9), в котором положим а (х) ив э 1 (у' = 1, 2, ..., 1), о = — у = О. Граничные условия поставим в узлах х б йь 1йь: гь .—. фх~). Таким образом, мы не используем уравнения вида (.х г)ь = О. Устремим шаг 6 к нулю. початая 6 = 2 ""6о (л> = 1, 2,...). Решение конечномерной задачи обозначим через оо'. Можно произвести кусочно-линейное восполнение функций (и ), т. е. построить кусочно-линейный сплавн по значениям и>™, в узлах хь 6 йь. Полученную функцию обозначим своза через г™(х).
Последовагель- 676 Глава 10. Некоторые вопросы численного рглоспил краевъгя задач ность функций !и 1х) ! в любой области й* С й будет равномерно ограничена и равностепеяно непрерывна. По теореме Арцела нз иее можно выбрал подпогледовательность, сходящуюся к некоторой функции п.(х), и исл И -э Рм в силу произвольности й". Функция и.(х) гармоническая внутри й. и, как доказюэ 11. Г. Петровский 1113). она принимает граничные значения во всякой регулярной точке границы, Имеется классическая теорема, согласно которой две гармони ~еское и ограниченные в области й функции, имеющие одинаковые ггредельиые значения во всех регулярных точках границы, совпадают всюду внутри области. Обобщенное решение задачи Дирихле принимает граничные значения во всех регулярных точках границы, и поэтому решеяие, построенное с помощью дискретизации задачи Дирихле, совпадает с обобщенным (в силу этого гиы н обозначили его через и,).
Этот результат характеризует общность н силу рассматриваемогО метода дискретизации задачи Дирихле. б. Решение системы линейных уравнений (9), 110). С этой целью изучим простейшую спектральную задачу. На множестве узлов (йь сэдйа) 1, Гь будем рассматривать сеточные функции и каждукэ такую функцию отоэкдествикг с точкой пространства Гс'~, где Я .— мощность этого множества. Если в уравнениях (9) мы будем считать, что иа„= 0 для узлов хь' Е Г., то их левые части определякэт линейный оператор в Кьэ, который мы обозначим через Е. Для простоты предположим, что аз(х) .: — 1 О = 1, 2, ..., 1), и в уравнениях вида (.К о)а = уь величины Й*„заменим на Й .
При этих упрощениях оператор А будет симметрическим. Предложение 4. Если выполнены приведеннсме выше условия, то операгггор! симметрический. Злмкчлник. К полученной новой системе можно прийти еще иным способом, если изменить понятие граничного узла. Для этого нужно к узлам из множества Йа 1, йа добавить узлы хь, лежащие вне й и входящие в их элементарную окрестность. Тем самым множество Гь теперь будет состоять из узлов ! хь: хь б дй) и узлов множества 1хь). Ниже именно так будет пониматься множество Гь. Множество дйь, теперь запишелг в виде дйь = (Йь 'уйл) '1х": х" = х") 1х~: х~ б й).
Докязл гиль<:тво. Неизвестные в системе (9), или, что то же самое, координаты пространства ге~, занумерованы с помощью мультииндекса к, причем мультииндекс пробегает некоторое кгножество,Ж'. Разногтное уравнение, записанное в узле х~(Й Н,Ж') мы будем трактовать как уравнение для переменной иы В это уравнение входят переменные оь+е,(иа,,), где е "- мультииндексы, определенные в Э 7 гл.3. Если узел х"а' (х" ' ) не принадлежит Гш то эти переменные входят с коэффициентом — 1г Я в силу сделанных предположений независимо от того, будет д .лн это уравнение вида (..х'о)а = уь либо ( х.'*и)ь = Рь; в противном случае оь+е, — — О (иь е, = О). Уравнение для переменной юь+е, (иь г,) будет содержать переменную вь, и она очевидно войдет с коэффициентом — й 677 й 1.
О чнеленнам рмиении краевых задач Поэтому, если занумеровать узлы в некотором порядке, а стало быть, и переменные хй,то матрица системы (9) будет симметрической. П Докажем, что Е > О; с этой целью установим., что о =.,т ((.хе)й, ей) > О. (19) Учитывая формулы (5), (6), мы видим, что для того, чтобы преобразовать сумму о, пам достаточно преобразовать частные суммьь когда суммирование ведется по одному из индексов Й ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
