Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 142
Текст из файла (страница 142)
— Ьь)«11 = Я ~ й(ага Ч-Ьь). о 1:=1 В работе «О принципе Дирихле» Д. Гильберт иллюстрирует свой метод на конкретных примерах и его конструкции связаны с ограничительными предположениями, которые впоследствии много лет считались существенными. Однако идейная сторона подхода Д. Гильберта четко видна из следующего его высказывания; «Всякая задача вариационного исчисления имеет решение, если только слову «решоние» придать соответствующий смысл» (см. (124)).
Другими словами, для теорем существования важны в первую очередь скрупулезно продуманные опредс пения, а не некоторая изощренная техника. Это мы и наблюдаем в «методе слабых решений» и в теории обобщенных функций, и, в частности., наш предыдущий рассказ является яркой иллюстрацией к высказыванию Д. Гильберта. Конечно, в вопросах теоретического характера подход, снимающий трудность проблемы за счет удачно пргидуманного определения, продуктивен н важен, однако для целей численного анализа он явно недостаточен. Ведь для того, чтобы найти приближенно это слабое решение (а именно так н ставится вопрос в численном анализе), нвм недостаточно знать, что оно является стационарной точкой некоторого функционала. Мы уже видели, что это слабое регпение нужно вклгочить в некоторый компакт, и нвм необходимо знать емкостные и аппроксимационные свойства этого компакта, А это означгшт, что нужно установить дифференциачьные свойства этого слабого решения, т.е. практически мимоходом установить и его классичность, его особенности и т.
и. Одним с.гово»г, характеризовать решение только как слабое с точки зрения численного анализа — это примерно то нсе, что и характеризовать, скажем, картины Эрмитажа их инвентарными номерами. В заключение этого пункта приведем пример классического решения задачи Дирихле в круге, которое не является слабым решением. Пусть й —. (х Е В."; а »1+ х-' < 1) — круг; вводя полярные координаты (г., о), где хг = г сов о, хв = г эш О, произвольную гармоннческуго функцию в круге можно записать в виде 12.
Вариациоиные мегподы реизеи л краевых подач 697 Таким образом, условие В„'и) < оо влечет сходимость ряда ~ й(аз - бг) < оо. ь=:з (18) Если считаггь что и(1, В) определяется лакунарньш рядом и(1, В) = ~~~ а ~соэаар, то очевидно, что условие (18) не выполняется, а вместе с тем функция Е ьо й' тгь сов1е~В а=1 гармонична в открытом круге й и непрерывна в замкнутом круге, и, как легко проверить, ее предельные значения и(1, В) е Ь|р (1/3). Вместе с тем в И'зз(П) нет элемента, для которого его след на ВП совпадал бы с и(1, В). Злмкчлник.
В настоящее время под слабым решением линейной задачи принято понимать решение в смысле теории распределений. Последнее означает, что интегральное тождество (6) выполняется только для функций о, принадлежащих Сы' и имеющих компактный носитель. В этом смысле решение (17) -- слабое. Однако, это решение имеет неограниченный интеграл Дирихле. (Л. Р. Волевич) 4.
Задача Ноймана и третья краевая задача. Чтобы закончить изложоние вопроса о вариационных формулировках теории краевых задач, мы, следуя вьн'казыванию Д. Гильберта и существующему порядку изложения этих вопросов, до конца упростим обстановку. А именно, откажемся от конструкции гильбертова пространства Н с помощью процесса пополнения множества Вь, т.е.
от конструкции, излолеенной в п. 3 34 гл. 9. Мы предположим, что даны полное нормированное пространство Ж и в нем непрерывная симметрическая билинейная форма (ч ): М'хЖ вЂ” з П, т.е. возвратимся к ситуации, описанной в п. 2 3 4 гл.9. Допустим, что форма ( .. ) Уг'-эллиптична, т. е. (и, и) > о,и; зди е,М, где о > О, а ~~ . ~: — норма в дг'. Тогда на М' можно ввести структуру гильбертова пространства, приняв форму (, ) в качестве скалярного произведения. Норма, порожденная этим скалярным произведением, эквивалентна исходной норме. Пусть ~р: .ее' -е й. — непрерывный линейный функционал, Функционал 1(и) = (и, и) — 2ео(и) имеет единственную точку ио о,ее абсолютного минимума, что устанавливается тем же самым рассуждением, что и в п, 3 з 4 гл.
9 па основании теоремы Рисса. Применяя предложение 1 3 4 гл. 9, получаем 698 Глава 10, Некоторые вопросы чнсленногв решения краевььх задач Предложение 1. Если билинейная форма (., ) и функцион л, ьр удовлетворяют поставленным вьиие условиям, то задача 1(и) — ~ ш1 имеет еди)ьстоенное решение.. Элемент, ио и Ж является решением зкстремальной задачи ьиогда и только тогда, когда выполнлеьися вариационное уривнение (ио; и) — )р(ьь) = О гио е гус . Пгиклкг. Пусть ге — пространство Игал(й), а бил)лнейная форма (, ) определяется формулой à — ди до )и )= ) ~~ ., ° )ь ~) г.
Сг) дхь дх)г й ьз=л оп где 0 < шло, о < М < оо (см. (7')). В силу неравенства (13) инте- грал по дй в последней формуле определяет ограниченную симметриче- скую билинейную форму; то, что форма (19) эллиптична, доказано выше. Пусть )Р(и) = з( 1идх, где 1" Е Т,ю Элвас))льт ио й Ига (й), экстремальный для функционала 1(сь), является слабым решением третьей краевой задачи для уравнения (11), т.е. задачи, в которой граничное условие имеет вид ( —, л-ои)( = О. (20) Согласно предложению 1, имеет место вариационное уравнение дио ди — ь = г г, и,')й).
)21) "дхь дх, и аи Если ио б Иьг~(Й) то можно будет применить формулу (4), и тогда /~ Е'("'") "4" ь,г-.:1 ь' сдио 1 — — оио) ибо =- 0 )ги е И'г (й). /(,дн Отсюда следует, что ио удовлетворяет почти всюду в й уравнению (11) и граничным условиям (20). Соотнолпение (21) определяет слабое реше- ние третьей краевой задачи, и предыдушее рассуждение указывас.т на целесообразность такого определения.
12. Вариацаонные методье решен л краевых задач 699 Если шбс(х) ) О, то в предыдущих формулах можно положить о = О, и тогда мы придем к понятию слабого решения задачи Неймана. Отметим, что в рассматриваемых случаях мы нс накладываем никаких грани нных условий ни на ио, ни на элемент и в соотноэаении (21). Поэтому граничное условие (20) (либо ди/др = 0) называется свободным. Отметим, что, доказав существование слабого решения задачи Неймана, или третьей краевой залачи, мы сталкиваемся с трудной задачей о том, в каком же смысле выполняется граничное условие (20). Ведь для фУнкций и б И'зэ(й) след ди,ада на дй смысла не имеет.
Хаким обРазом, нужно устанавливать более высокую гладкость решения ио. Однако рассматриваемая теория эти проблемы оставляет без внимания. Злмпчкнив. На самом деле, в случае 1 б ! г(й) решение и принадлежит 1Гз(й) и ди/дм имеет след, принадлежащий пространству дробного порядка И~ ~ (дй) (см. 1230)). (Л. Р. Волевич) Если с = О, о = О, то в предыдущие рассулсдения нужно внести некоторые коррективы, так как ядро дифференциального оператора, отвечающего задаче Неймана, не пусто. Эта задача будет разрешима лишь при условии ) 1" дх =- О, которое вытекает из формулы (4),. если в ней и положить и = 1, Лио = З'., с = О, (ц = О. Поскольку решение задачи определяется ие однозначно, а с точностью до аддитивной постоянной, то можно считать, что (22) ио е1х = О.
Поэтому рассмотрим подпросгранство И'гз(й), состоящее из тех функций пространства 11;~(й), которые удовлетворяют условию (22). Тогда в предыдущей конструкции в качестве Ж примем Й~з' (й), а билинейную форму определим по формуле (19) (при с = О, о = 0).
В итоге найдем,что она зе'-эллиптична в силу неравенства Пуанкаре, Согласно предложению 1, экстремальный элемент ио функционала Х будет экстремальным тогда и только тогда, когда выполняется соотношение (21) (при с =- О, о =- 0) для любого элемента и б И') (й). 3 а д а ч и. 1. По образпу зала*ш Дирихле определите слабое решение третьей краевой задачи, когда граничное условие неоднородно. Покажите, что в этом случае линейный функционал имеет вид р(и) — — ~ у и дх э'- / мидт, где й — правая часть неоднородного условия (20). 2. Дайте вариационную формулировку неоднородной задачи Неймана в предположении, что с: — О. 3.
Для уравнения (11) рассмотрим смешанную зада зу: гнперповерхность дй разобьем на две части (дй)м (дй)э„прячем (дй), --. измеримые 700 Гаева 10, Некоторые. вопросы численного ресооиао арагоъсх оас)ач подмножества дй со строго положительной мерой Набега, и на них зададим граничное условие ди и .—.О, — =.СС соон др сосна Будем считать, ччо с(х) ) О, с(х) ~ О и ВП удовлетворяет условии Чяпунова, Определите пространство ус' н вид линейного фупкпионала, 5.
Уравнение равновесия пластины. Идеология вариационного подхода к краевым задачам для эллиптических уравнений исключительно ярко проявляется в теории упругости, где вывод уравнений равновесия делается на основании вариационных принципов. За подробностями мы отсылаем читателя к [71], а здесь наметим вывод уравнения равновесия пластины. Считая, что прогиб и пластины мал, найдем, что ее свободная энергия будет равна à —... — Р~(),;асс)г Е 211 — о)~(, ) — з,,]~с)х, 5'к где й — область из К~, получающаяся в результате проекции пластины на плоскость (хм хз), Р— жесткость пластины при изгибе: Р = = ЕбзСС ~1211 — стз)1, где г) -- модуль Юнга, 6 — толщина пластины, о — коэффициент Пуассона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
