Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 146
Текст из файла (страница 146)
Прн организации итерационных процессов целесообразно учитывать, что неизвестные отдельных групп должны определяться с различной точностью. Захгнчаннн 3. Мы ничего не сказали о роли констант Лебега интерполяциопцых многочленов. используемых в методе конечных элементов. Если степень мпогочлена мала, значение константы Лебега будет невелико. Однако для многочленов пятой степени в Вз мы имеем с(пп Рзд = 56, и уже следует ожидать, что константа Лебега может быть значительной. Вопрос о роли констант Лебега в методе конечных элементов не изучен.
3 а д а ч н. Рассмотрим задачу (11), (12) в прямоугольнике 1 = (:сь, хзн О ( хь ( аг, О < х ( аэ). Триангуляцию произведем следующим образом. Разобъем 1 прямыми хь = бг6г (бг = О, 1,, Хг), хэ = (сэ6г (6г = О. 1, ..., 6гь) на М~ 6г конгруэнтиых друг другу прямоугольников со сторонами 6ь, 6г (6э — — аэЛ' ', г' —.. 1, 2). В каждом из полученных прямоугольников проведем диагональ> идущую из левого нижнего угла в правый верхний угол. В результате получим триангуляцию области Е Воспользуемся в каждом нз треугольников линейной интерпачяпней.
Если Й = (бь, йэ), то через хь будем обозначать узел (йгбм 6гбэ)- б. Пусть х" б 1пг 1; покажите, что носитель сь(х) изображен на рис. 4. Полагая 1 = х — х, 1 —.— (гг, Гь), покажите, что еь(х) = где Ь --- трезтольннки, указанныо на рис. 4. 7. Докажите, что система (32) принимает вид ~1ььеь ). ~~г4ь,ььь таьь, 4.4ь.ь —,пь —,, ) — — гь, хь б 1пг П, э=ь пь — О х е д1 (35) где Гь = (1', сь), и — приближенное значение решения в узле х, Коэффисиь ь 1 — 16,', 1 — 126э 1+В6, ь 1+ Гэ6 1 — 116ь + 126* Хбсгы хб Ьж хбГЬэ, хе Ььэ х б Аю 9 2. Вариацгяятыс методы реигснил краевых задач 715 енты уравнения даются формулами Лм = Ь; / амдх+ / (Ь, а» - (11192) 'азг+бр ам)г!х+ 12 Ьр '51-'-Ьг Ьг / агг р / ссгйх, '1 2 т '15 У где использовано обозначение Ь)Ь, Ьг Ь, Аюьэ ..
сееееьр, дх, Аиь 5, —... сеьее ы дх, ссесеа„ дх, Аюь., = сексе — 52 дх, Лцьэр —. — (Ь сееееэрв йс, Лье „.= — (Ьг Свеся-.з йв, "14 Ь5 '14 '- 5 где е1 = (1, 0), ег = (О, 1), ез = (1, 1) -- мультниидексы. 8. Положим ип = агг = — 1, аш — = О, с =- О. Докажите, что уравнение (33) приводится к виду — Ь1Ьг(брг, кь + бьг иь) = Гь, хь Е 1пе й: ие .=. О, х б Вй. 9. Покажите, как видоизменяется система фундаментальных функции еь(х) в случае задачи Неймана. 10.
Оценка погрешности метода конечных элементов. Перейдем к оценке погрепшосги приближенного решения краевой задачи, пачучаемого по методу конечных элементов. Оценка погрешности легко получается с помощью следующей фундаментальной теоремы, 'Теорема 3 (Соботва) )99, 100). Пусть область рб С гь~ свдерзхит некоторый тар, относительно любой точки которого вна звездная, и иусгир 1р Е Игр (рб).
Тогда справедливо интегральное иредставление 'р(х) 5 9(х)+ ~ ~/ Ь (' у)(П" й(у)ду, (36) где 9(х) — мнвгочлен, д Е 591 1, а ядра К (х, у), и = (гы ..., и1) имею а вид ( ) (-1)'" "151 (у-х) ( ) ьП и -х," (37) -Ь г -' 1 Ч -' 5 -Ьг / Ьг / Ь2ЕЬ5 -Ь 2 Ь )-' ~ Ь1~-Ьг Ьг) ' а11 дх -~- / Ь,-1 Ь„ амдх4г / Ьр--Ь4 .„дх+ /' Ь2 —,Ьз Ьр Ьр „дх+ / Ь1-Ь2 аш дх — / 716 Гявов 10.
Некоторые. вопросы численного решения краевых задач врвчем И вЂ” ограниченная функция. При х, и и 'У выгголняюгвся неравенства )йгес( зе(х, р)! < С)х — И ', )игае1, К (х, р)' < С'х — И! ' '. (38) Обозначим через л(х; х) интеграл в формз.ле (36). Если т ) 11р, т.е. (т — 1)р ) — 1, то несложно доказать, что Ь б С(,У') и (39) где В самом деле, чтобы доказать последнее неравенство, заметим, что из формулы (37) следует неравенство ~К„) < Со~к — и ~, и поэтому.
и, применяя неравенство Гельдера (2.1.3), получим неравенство (39). Если т ) 1, то с помощью неравенства (38) легко получить (см. (9)) )й!г <Аг)=(зо, „, (40) шЕ (ие — е) г <()ио — а':( ., ио)!) ехе и (41) правую часть оценивают, используя конкретные свойства сплайна ~'(х; ио), Дпя получения этой оценки выведем вспомогательное неравенство.
В области Ж рассмотрим некоторую процедуру интерполяции и допустим, что интерпаляционный многочлен заведомо является элементом подпространства Зл „, м и если через р(х., х) обозначить интерполяционный многочлен, построенный по функции чо, то р(х; х): — ео при д б фи„, ь Отсюда, считая, что функция р удовлетворяет условиям теоремы Соболева,получите со(х) — р(; ~о) = 1г(х) — р(х; 1г), Неравенство (40) является простым следствием неравенства Гельдера., и его доказательство мы предлагаем читателю как несложное упражнение; оно является следствием более обшего неравенства об интегралах типа потенциала (см. (99, 100)).
Мы указали все вспомогательные факты, требующиеся при оценке погрешности метода конечных элементов. Воспользуемся неравенством (33), в котором норма ~, ,) — это норма пространства И'г(Й), т,е, норма ) ~,м Если относительно решения ио ие сделать никаких допачнительных предположений о его гладкости, то мы не сможем сделать никаких содержательных высказываний о величине правой части неравенства (33).
Обычно яа ио накладывают те или иные дополнительные условия гладкости, что влечет за собой фактически отказ от концепции слабого решения. Лля оценки правой части формулы (ЗЗ) строят по решению по(х) сплайн ф(х; ио) и используют очевидное неравенство 12. Варпацпояпыс мешеды рсшсш л краевых за!)ач 717 и, стало быть, в силу неравенств треугольника и (40) ))у2 — р(; ур)(! < А1 ф „' !), 11!! Учитывая, что !6, ( зо, будем иметь ()р(, 11) !!, < л б! где Л - — соответствуюп1ая константа Лебега.
Поэтому- в силу неравенства (ЗО) ))р( ., й) (! / Д „= л. р < Реир11Я) Таким образом, !!ур -- р(; ур)!1, < (А1-р Л„,р)!Ф (42) Константа Лебега й,р характеризует принятый способ интерполяции, и уже при небольших т она может быть значительной. Неравенство (42) ключевое. Возьмем в качестве области М стандартный симплекс и.; в качестве шара, фигурирующего в формулировке теоремы Соболева., возьмем шар максимального радиуса, вписанный в этот симплекс.
Применим к стандартному симплексу неравенство (41). Тогда наилучшая константа в этом неравенстве будет зависеть лишь от ш, р н выбранных узлов интерпачяцин. Перейдем к общему случаю, когда область Й представлена в виде объединения снмплексов Й1,..., Й22. Любой из симплексов Йр получается из стандартного с помощью аффвнного отображения ур: и. -э Йр, хр(1) = В,1+ с„ где В, = (61„) и су — некоторая 1 х 1-матрица и вектор из Н, а 1 б и., Предположим, что процедура интерполяции аффинно подобна; для лагранжевой интеРполЯЦии это свойство выполнЯетсЯ. Если 22 Е И'р"'(Й ), то Ур с й б Игр (и„), р(ж; ур) = р(ус(1); ура уср), где я б Й . применим к функции ма у неравенство (42) и затем интеграл по снмплексу преобразуем в внтеграл по исходному симплексу Й,.
Поскольку множество С (Й) плотно в И'р'(Й), то без ограннчения общности можно считать, что ~р б С (Й). Введем обозначения др =- д/д1„ д" — — д ' ... д„"', и =- (щ,..., 11), через )У", как обычно. обозначим производную В = 711' ... )У,', где )2 = д/дя . Положим р/2 ~1)г! о, р = /( ~ ~д Ю( ) 111), 1 (р(со; аналогичный интервал по области 112 в переменных т1, ..., х1 обозначим через щ; Й, „,р.
Заметим, что по правилам дифференцирования сложной функции, если г1+... — г, .=. п1 (1 ( гь (1), дш.,,д „,(22 о 211) = ~ (В1„, ... Ор„,ур) о ур!1111„, ...бра„,о„. 12 "" М„=1 Применяя неравенство Ьуняковского — 1Пварца, получим 112 / ° 1 1 112 ~д., д.„,( ° Х,)~<(Е ~()У ) ~,~') ЯЕб~ь..) ( ) р=1 1=1 718 Глава 10. Некоторые вопросы числеппого решения краевых задач Введем норму матрицы В, (см. п. 1 4 1 гл. 8) (В( =(~ Ь',„) Возводя неравенство (43) в квадрат и затем суммируя по гь (1.=1, 2,..., т), получим С,- (а"(„.).
Л,!' < ~В, ('- ~,- )(О Р) ° Л !г ) ыт Отсюда, интегрируя по о„найдем , орг !рагс,;о,! (!Ву,!~" /(~ !(В р)от,!) сМ Шш и, делая в последнем интеграле замену 1 =- В, (х — сд), получим неравенство (р о тз; о,!" (,)В,!. " с3е1 Вз" '(р; йг(" (44) В нашем рассуждении симплексы о, и й» равноправны, и их можно поменять местами.
Обозначая через со функцию, заданную на а.ю получим неравенство )1ооХ, '; 1?,!" < )Вз,. 'г(г1ес Вг~ ')рр, о.(" Полагая затем р = р о у ',найдем требуемое неравенство (р;й,(" < '~В, '( ")аеСВ, '! ')роХВ о,!' . (45) Применим неравенство (42) к стандартному симплексу о, и функции р о т .. Положим с' = р . — р(,:р) и Нг к;о,с =(~г ыс' е~г') Аналогичное обозначение будем применять и для интеграла по симплексу о,. Поскольку !( Х;;-..~'=~~оХ,;-.(', ~~(( Х.,)'41, то по неравенству (42) (~ о З;;: о.!гга+ / (~ о у )где < (Ас —; Л „)г(р о ЛВ о.)г р, и, используя неравенства (44), (45), пачучиьс 1деСВ, ~;1В,~( (С;йг(дг (' С Ж<(А,+Л „) ,,'~Вз ) '"'х х,,с1е111зГ"'~р; й,~' „. 9 2. Варпацпонпые мешадм решеш л краевых задач 719 В интеграле по симплексу а., сделаем замену переменных 4=В ' (х — с ).
Затем учтем, что симплекс йэ имеет малые размеры по сравнению со стандартным симплексом о„и поэтому ~В '~' 3 1. Это неравенство будет в дальнейшем обосновано. Поэтому, загрубляя йевое неравенство, получим )С,'; й,),, < (Ае —,'Л р)з; е1е1В,!' 7г(~В,~(~ '(В ')~21а; й( р. (46) В этом неравенстве колеты~та А,,р — — Ад + Лшр не зависит от симплекса й, а определяется всецело величинами гп, р и видом интерполяцнонного много- члена. Положим в (46) р = 2; тогда получим искомое неравенство ~,ОЙ,~,,<А„-',а~В,~~' ~В ~'~~;й,-', 147) Легко вычислить ! Вэ / и /В '/, когда 1 = 2: в трехмерном случае (1 = 3) выкладки чуть-чуть сложнее. Заметим, что если В = ОСз где О ортогональная матрица, то,(В !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
