Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 150
Текст из файла (страница 150)
После перестановки р получим новую матрипу р(А) и вместо позиции (ю., «) получим позицию (р(з), рО)). Предложение 4. Если р —. произвольн л перестиновка, то 1[(г:«)'(' «о)] =д[(р(1),р(«)) (р(го) р(«о))] ц(А) = ц(р(А)), Доклзлтпльствоь Если транспонировать матрицу .4, то кратчайшее расстояние между парами (П «), (1', «') 0 %(А) будет равно кратчайшему расстоянию между парами (6 «), (г', ~ч) е 01(А'). Поэтому достаточно доказатьч что величины, указанные в формулировке предложения, при перестановке строк матрицы пе изменяются.
12. Вариацььоььььие меьподы решеьп л краеенк ладач 731 Но последнее обстоятельство очевидно, поскольку при перестановке строк минимальная длина пути не меняется. П 3 а д а ч а 10. Докажите, что есзи о(Л) = ж, то матрица Л перестановками строк и столбцов может быть приведена к блочному виду где А» и Лгз -- некоторые квадратные матрицы размером й х й и ! х ! соответственно, й -~- ! = !зь.
При решении систем линейных уравнений, полученных в методе конечных элементов, иногда используют следукььций прием. Перестановками уравнений и перенумерацией неизвестнььх, т. е. перестановками строк и столбцов матрицы, пытаются ее привести к виду ленточной матрицы с льинихьальной шириной ленты.
Заметим, что если у матрицы А размером зььь х зз" ширина ленты 2Й 1 1 и эта лента вся заполнена, то а.(А) = Хьь(2й + 1); если лента заполнена частично, то о.(А) > 1Д25 —, 1). Отсюда счедует важный вывод: если матрица А приводится к ленточному виду, то ширина ленты удовлетворяет неравенству ~63) 21-~!> у а(А) ' где 9 — некоторая константа, не зависящая от зььд Игимкг. Рассмотрим матрипу систельы линейных уравнений !58) при той нумерации неизвестных, которая определена формулами (56), и порядке уравнений, который определяется нумерацией неизвестных, Положим М = ."з'; тогда порядок матрицы п, = .ьз-', а о(А) =. з', поскольку имекзтся две диагонали, отстоящие от главной на расстоянии «1 Таким образом, из неравенства (63) получим 21+1 >3!у, и практически выгоды от перестановок мы не получим.
13. Идея метода конечных элементов имеет четкую физическую интерпретацию. К началу Х1Х в. восходят первые попытки представления сплошной среды как набора дискретных элементов. Еще О.Коши предложил знаменитый вывод уравнений теории упругости, рассматривая упругую среду как набор балок (стержней), деформируемых по известным законам, и затем устремляя длины этих элементов к нулю. Аналогичная идея была использована для вывода уравнения колебаний отру.ны на основании уравнений колебаний п бусинок на нити и на последующем переходе при и — ос.
Однако идея приближения у пругой области в сплошьюй среде при польоши эквивалентных элементов, соприкасающихся во многих точках, принадлежит Дж. Аргирису !125) !1960 г.), М. Тернеру, Р. Клафу, Х. Мартину и 21, Топу !146) (1956 г.); термин «коььечьььье элементык введен Р. Клафом. При попытке обоснования 732 Гласа 10. Нехогпорне оонросы численного решения храеоыя задач этого подхода и вывода жесткостных свойств элементов выяснилось, что один из путей состоит в том, чтобы поле перемещений определялось через перемещения узловых точек элементов лишь при соблюдении условия сплоппюсти, а внутренние усилия определялись из уравнения виртуальных работ.
В результате стала очевидной тождествешюсть этой процедуры приближешюй минимизации полной потенциальной энергии, которая производится в методе Рэлея — Ритца, Заметим, что в обзоре Р. Курапта 1943 г. показано, как получить дискретизацию задачи Дирихле, отправляясь от принципа Дирих,зе и используя треугольные элементы и линейную интерполяцию, т. е. это фактически первый пример использования идеи конечных элементов для дискретизации задачи.
В 60-е годы происходит быстрое развитие метода конечных элементов; он выходит за рамки метода, пригодного лишь для расчета конструкций, и находит применение для численного решения задач из гидродинамики, теплопередачи и т. д. Поскольку в теории упругости возможны самые различные формулировки вариационного принципа, то это придало методу большую дополнительную гибкость. Несомненно, что исключительная популярность и распростраяенпость метода среди инженеров и механиков объясняются не только его физической наглядностью, но и простотой аппроксимации граничных условий и автоматизлюм построения системгя уравнений после того., как сделана триангуляция области (в случае составной области триангулировать можно по отдельности каждую из подобластей).
Рис. 8. Сетка простых треугольных элементов в двумерной з даче об анализе напряжений в плотине (размеры даны в метрах) э 3. Несколько замечанпй о построении плеоритмее без насыщения 733 В заключение параграфа приведем пример сетки треугольных элементов, заимствованный из обзора [149) (рис. 8).
Кстати, из рисунка видно, что сетка треугольников не образует триангуляцию, как мы ее выше определили, потому что имеются треугольники, не примыкающие правильно друг к другу. Таким образом, на основании плотины будут не выполнены условия непрорывности. Это происходит в так называемых несогласованных элементах, которые используются в инженерной практико. 9 3. Несколько замечаний о построении алгоритмов без насыщения 1. Дискретизация задачи Дирихле. Несмотря на всю привлекательность метода конечных разностей и метода конечных элементов, вряд ли можно считать, что мы имеем наиболее совершеъшые методы численного решения краевых задач. О недостатках этих методов довольно подробно говорилось выше.
Мы уже отмечали, что для построения сетки необходямо иметь диффеоморфное отображение области, в которой решается краевая задача, па каноническую область. Практика расчета инженерных задач вынужденно подталкивает вычислителей на использование аппроксимаций все более высокого порядка. Причем в методе конечных элементов приходится это делать не только для достижения высокой точности, но н для решения уравнений высокого (четвертого) порядка. Тенденция к повьпнению порядка интерполяционного многочпена,используемого в конечном элементе,в известном смысле противоречит идее метода.
Ведь если мы хотим использовать многочлены высокой степени, то при чем здесь конечные элементы? Не проще:ш отказаться от расчленения области на элементы, а применить единый иптерполяциопный многочлен во всей области, тем более что при таком подходе можно получить алгоритм без нагыщения и обеспечить приемлемые значения констант У!ебега? Однако такой подход приводит к линейным уравнениям с заполненными матрицами, и это многих сдерживает, так как распространено мнение, что работа с полностью заполненными матрицами вле ~ет за собак значительное увеличение временной сложности алгоритма.
Чтобы понять, так лп это, рассмотрим несколько конкретных краевых задач. Пусть Й С Гъе — одн<квязная область с гладкой границей дй; рассмотрим в области Й задачу Дирихле для уравнения — (аи)(в)+па(л)и(я) — — Ха(л), к С Й, и~ „— —. д, (1) где а — двумерный оператор Лапласа. Нам удобно ввести комплексную переменную (' = т~ -~- (лв и считать, что входящие в уравнение (1) функции являются функциями переменной Ъ (но не аналитическими), принимающими, вообще говоря, вещественные значения. Пусть б =;о( ), с:  — ~ Й, где  — — (л Е С: г~ ( 1), — конформное отображение круга В на область Й. Положим е — -- и с р.
е = ~ул(л)( ее о эа г = ) р'(я) ~ уе о чк тогда вместо краевой задачи (1) получим эквивалентную задачу (2) 734 Глава 10. Некоторые вопросы численного решенил краевых задач где 6 —... Оо (1о~в ), .ех — оператор Лапласа в переменных х, р, х+ гр =. г. Обращая оператор Ь, получим интегральное уравнение, эквивалентное задаче (2), о()-У (' Г(х) = / С(, 1)~(1)г1ое -1- ео(х), в (3) где С(г, 1) — функция Грина задачи Дирихле в круге: С(,, 1) —.. 1п~ ~...1й В, 1 2к )1 — гс ' й~г — мера Лебега в круге В, а функния ьо(г) определяется интегралом х, ио(г) .— ( 6(ехр(1О))йо(х; О)дд, о в котором Ко(х; О) — ядро Пуассона: Ьо(г; О) —,, г = )г(ехр(тд).
1 — (г)г 2 (1 — 2',г~ сов(д — О) +!ху ) ' Вь (х Ю) = ~. ф(х.) 1. (х), =.1 где ии В -о Н. — некоторая функция. Положим д(г)о(г) — -- Рн(х; Оо) ~ Нн(г; ди) и определим отображение у: С[В' -ч Сн по формуле у: )' й С(В) (1(г~), -., У(г ))' б С' . Пусть й =,7о, а = УГ, д = дрн, где рн(.) = ~ С(в. 1) Нн(й о )двь (5) Тогда из уравнения (3) получим соотношение С вЂ” 11ье = а + д, (б) Если о = О, то формула (3) определяет решение зщсачи, и временная сложность вычисиения решения будет определяться сложностью вычисления интегралов в правой части формулы (3).
При этом мы видим огромное различие зада 6 когда У = О и 6 х О и наоборот, когда гг Х 0 и 6 с— а О. Пуз а если о х О, не возрастет ли существенно временная сложность алгоритма вычисления решения су Ведь придется решать интегральное уравнение (3). Произведем дискретизацию уравнения (3) и рассмотрим вопрос о решении полученной системы линейных уравнений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
