Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 156
Текст из файла (страница 156)
Допустив, что неравенство справедливо при и ь 1 — гг, из (21) получим и+ ~ - 1, о ~у~ се1 1 ) т>1 о (~ ~ - К гг~ ~г".И''). т>1 О<я<о 1=О Отсюда ~и !со " ' х' яир 'у" ~ -~- шах )дь' >1 О<Ь<от1 от Следствие. Пусспь и Е Итто(ат1 11~) . (2 В, - '= (х, 1: х > О, 1 > О). Очевидно, что ш = 1, 2,..., п = О, 1, ПРиЧЯЫ!Кт~ < —., Я1Ц1 ии(Х, Й)/ -~- —" Яий Сс(т, й) ЯПР и„(Х, й) !, и ПОЭТПОМР Япги,г11г ~Л" 1 < М(т + 11 яира(х, 1)) 72.
Полагая ш" = и„", — и" и вычитая (17) цз последнего уравнения, полрчим иг„,+ —. (1 — всат)игт -~- гсат'. 1„", 1 т~т (ш =- 1) 4, ..., и = О, 1,...). Если в начальных дагшых и граничных условиях допустить погрешность, не превосходящую б, то ~ '1О < б., ~ огг~ < б (тп, и = О, 1,...),. и, таким образом, в силу неравенства (20); иг"+~~во < 2б+ т(п Ь 1)Ь1(т д 6 яира)~12, п —... О, 1, н г где ш'1 —. (хо~~, ы1 ",...) е 1 . Если п < (1„/т), то шах 'ог"'. < 2б — М1„(т + япр агс)7'2. и<11 1~) н г э4. О решении краевыт задач длл звалюционных уравнений 759 Несложно также выяснить влияние погрешностей округления при вычислении по формуле (14).
Возникает естественный вопрос: насколько существенно условие (18) и возможно ли пользоваться формулой (14) при нарушении этого условия? Легко видеть, что нарушать условие (18) нельзя, поскольку не будет сходимости решений разностной задачи к решению уравнения (12).
Для простоты рассуждений предположим, что а(ец е) = а = сопят, ма > 1. В Э 1 гл. 9 мы отмечали, что для гиперболических у-равнений и систем область зависимости решения от начальных данных и граничных условий всогда конечна. Для исслегдуемой разностной задачи также имеет место конечность области зависимости. Определим ее в точке А(тай, пат). С этой целью проведем из точки А прямые ю = шай и 1 — пат = т(х— — та6)гл. При пересечении с осями координат второй прямой могут представиться два случая, изображенных на рис. 9, где даны два положения точки (гпагг, пат), обозначенные через А и Аг. В первом случае решение в точке А зависит от начальных данных на отрезке ВР и значений правой части в треугольнике АВР; во втором случае значение решения в точке Аг определяется начальными данными на отрезке ОРг, граничными условиями на, отрезке ОВг и значениями правой части в четырехугольнике А г ВгОРг.
Вместе с тем решение уравнения (12) в произвольной точке (я, й) определяется по формуле ге г1 и(зц й) = и(тэ, йа) + / ' ' е1з, 1(ац г) угу-Ь ав (еюгц) где интегрирование ведется по характеристике, выходящей из точки (я, 1) до перес:ечения с границей первого квадранта. На рис. 9 эти Рис. 9 характеристики изображены как отрезки СА и СгАг. Теперь становится ясным, что при измельчении сетки решения разностных уравнений не могут сходиться к решению уравнения (12) при произвольных начальных данных и правой части, поскольку. картина, изображенная на рис.
9, сохранится при подобном измельчении сетки. В рассматриваемом случае 760 Глава 1й. Некачлариг ааираам чиалеинага рашаиил храаамх аа!гач область зависимости решения разностных уравнений неправильно передает влияние начальных данных и граничных условий. Если бы характеристика АС лежала внутри треугольника АВВ, а характеристика А1С1 лежала бы внутри четырехугольника А1В1 ОО1, то сходимость могла бы иметь место и, как показано выше, действительно имеет место. Условие правильной передачи области зависимости разпостными уравнениями известно как условие Кур'тта -Фридрихса — Леви (КФЛ) и устагювлено чтими авторами в работе [67].
При нарушении условия (18), если тем не менее попытаться делать вычисления по формуле (17), в силу зкспоненциального роста погрешностей округлений зто приведет к явлению переполнения порядюч и останову компьютера. Об ятом мы еще будем говорить ниже. 3. Общий вид критерия КФЛ.
Рассуждение, приведенное выше, не связано со спецификой уравнения (12), а имеет общий характер. Оно полезно в том отношении, что позволяет установить пригодность разностной схемы без кропотливых выкладок. Приведем его для общей краевой задачи. Пусть в области П решается краевая задача (22) .у —. у с граничными (начальными) условиями ! и=1рг, у'=1,2, ...,1п.
В частности, искомая функция и, может быть векторнозначной. Допустим, что существуют линейные классы Ф. и класс 3 такие, что задача (22), (23) разрешима при любых р Е Ф, 7" ~ гг. Потребуем, чтобы класс Ф1 обладал следующим свойством. Для любой точки та С дП, входящей в носитель функций класса Ф1, и любой сколь угодно малой ее окрестности О, ~ дй множество функций ча „е Ф1 заких, что вирр уа„, ч О, плотно в С,'0,).
Для удобства обозначим зто множество через !г,,г Пусть х1 -- произвольная внутренняя точка области !1. Точка хе Е дй не принадлежит области зависимости точки х1 по отношениго к граничному условию !1и = 1р1, если либо она не принадлежит носителям функций класса Ф1 либо для е ( еа и для произвольной функции Уг „Е "г'„. РешениЯ и(х) и и г(х) заДачи (22), (23), 1н1РеДелаемые соот- ВЕтетВЕННО ГраНИЧНЫМИ уСЛОВИЯЛ1И Х1, ..., рм И аа1 .~. рам, У:а, ...., Уа УДОВЛЕтВОРЯЮт УСЛОВИК> и(Х1) —..
иг„г(Х1). Множество точек границы дй, не попадающих под предыдущее определение, будем называть абластьнг зависимоспги точки х1 по отношению к граничному условию !1и = р1 и обозначать через Ж1(х1). Поясним на примерах нагие определение. Если.2г -- оператор Лапласа, ш = 1 и 11и = д — граничные условия Дирихле, то 1а11 (х1) = дй для любой внутренней точки х1. Для волнового уравнения (9.1.37) и граничных условий (9,1.40) область заВисимОсти тО 1ки (х, !) для пе!1ВОГО граничного услОВия сОстОит з4. О решении краевых задач длл эоолючиоппмх уравнений 761 из двух точек .. (х — а1, О) и (х — а1, 0) оси х, а область зависимости второго граничного условия - отрезок ,'х — аг, х аг) оси х. Для параболического уравнения (9.1.30) и задачи Коши в полупространстве 1 > 0 область зависимости точки (х, 1) состоит из всего подпространства гь~ х (0).
Читатель может самостоятельно рассмотреть вопрос об области зависимости на примерах, разобранных в настоящем параграфе. Будем решать краеву.ю задачу. (22), (23) методом сеток. Пусть -'~'ь оь — — Ь (24) есть аппроксимация уравнения (22), а (25) 11ьвь = 'Рзь, У' = 1, 2,..., т, зто аппроксимация граничных условий.
Естественно, мы предполагаем, что определены сеточная область Пь и граница сеточной области дйь, ,1ля внутреннего узла х~ (6) определим область зависимости по отношению к граничному у.словию (2ою) 1шгь '— рш а именно предположим, что задача (24) с граничными усвовиямн (25) имеет решение при некоторых рь (у = 2, 3, ..., т) и произвольных ргь 0 Фзь, где Фгь линейный класс правых частей. Мы предположим, что класс Фэь содержит кроме сеточной функции дгь и сеточные функции, отличающиеся от первой в любом узле из ее носителя — епрр уэ~ь па произвольную малую величпяу.
Дальнейгпие определения будут повторением определений, данных для дифференциальных операторов. Пусть ху -- произвольный внутренний узел сеточной области йь, Узел хе е дйь не принадлежит области зависимости узла хэ по отношению к граничному условию (25), если либо узел хо не принадлежит к узлам-носителям функций из Фгь, либо для е < ео и для произвольного Я ( е решения оь, иьг задачи (24), (25), определяемые граничными условиями Зэц„..., р,„ь п рт —, бэ,, г реь, ...,,р ь (где б~» = 1, если узел х = хо и б, =-.
0 в противном случае), удовлетворяют условию иь(х) = иь.(ху). Множество узлов границы дйь, не попадающих под предьпущее определение, будем называть областью завис мости узла ху по отношению к граничному условию (25) и обозначать через Муь(х~). Для того чтобы сформулировать результат Куранта — Фридрихса-Леви введем еще одно определение. Пусть (А„)„г — последовательность множеств некоторого топологического пространства. Точка р принадлежит верхнему топологическому пределу множеств (Ап)'„' ' э если любая ее окрестность пересекается с бесконечным числом множеств последовательности. Множество таких точек называется верт:иим топо- логическим пределом и обозначается через 11 А„.
762 Глава 10. Нгыоторыг вопросы числегтого ретгнил крагвыг задач Теорема. Длл, того чтобы длл некоторых функций грз, ..., Эогь,,(' и пРо звольной фУнкЦии лог Е Фг пРи 6 г О Регагние сеточной задачи в последовагпгльности узлов (хг(6) ): хг(6) --г хг при 6 г О, ппремилось к решения> задачи (22), (23), необходимо. чгпобьг гйг(хг) с й 'бгл(хг(6)). ДОклзлгельстВО. Предположим противное и допустим, что имеется точка хо й гбг(хг), не принадлежащая 11 гбгл(хг(6)). Тогда имел-. о ется окрестность этой точки О„которая не пересекается с множеством гзгг,(хг(6)) при 6 < 6о.
Не ограничивая общности, можем считать, что внутренний узел хг(6) не зависит от 6 при 6 < 6о. Пусть р, „и гг „и пусть и', и решения задачи (22)., (23) с граничными условиями гггг, ...,,оы с правой частью ф и граничньгми условиямгг Лог + —,~ гр „, грг, ..., Эб„с правой частью З' соответственно. Решения разяостг ных задач для этих двух случаев о„, о;, таковы, что о„(хг) — о;,(хг) пРи 6 С 6о, и если ог (хг), олз(хг) схоДЯтсЯ пРи 6 --г О, то иг(хг) = из(хг). Так как чг „, произвольно, то хо й гбг(хг), что противоречит исходному предположению. П 4. Теорема Рябенького — Филиппова. В пп.
1, 2 мы разобрали подробно вопрос о свойствах разностных схелг для уравнения теплопроводности и уравнения (9.1.32). В обоих случаях мы воспользовались принципом максимума. Однако для гиперболических уравнений более высокого порядка или при числе независимых переменных, большем единицы, а также для систем принцип максимума в указанной выше форме не справедлив.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
