Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 157
Текст из файла (страница 157)
В 31 гл. 9 на примерах мы видели, что принцип максимума для гиперболических уравнений облекается в форму энергетических неравенств или интегралов энергии. В теории гиперболических уравнений н систем построение интегралов, энергии является основным моментом при исследовании задачи Коши, а в ряде случаев и смешанной задачи. Вообще для эволюционных задач характерно, что лдро соотвгтслпвутгцего диффгренцилльного опграгпора, когпорый можно коррекгпно определить по уравнгнглт и гранггчным условг лм, пусто.
Тем самым целесообразно и от, днскретизаоии подобных задач требовать пустоты лдра. Но в дискретном случае мы имеем дело с конечномерной линейной задачей и пустота ядра эквивалентна ограниченности нормы обратного оператора. Для того чтобы это утверждение было содержательным, нужно указать еще зависимость от шага 6 констант в неравенстве для нормы обратного оператора. Дадим в общем виде необходимые определения. В области и будем рассматривать дифференциальное уравнение (22),причем в отличие от и. 3 будем предполагать, что в у включены и начальные значения.
Поясним это на примере смешанной задачи для уравнения (12). В данном случае (11 = К а) 2ьа = ф+ а(:г, г) —,и, если (х, г) е Кь~, дх' т > О, 1 > О, и Ыи = и, осли х > О. 1 = О либо т = О, 1 > О. Соответственно з4. О решении краевнх эадач длл эволюционных уравнений 763 Е = Е(х, ~). если (х, 1) Е К ь-', х > О, Е > О, и Е = ср(х), если х > О, 1 = О, либо Е=ч(1),еслих=О,Е>О. Предположим, что существуют два линейных нормированных пространства Е и Ес таких,что уравнение (22') разрешимо и решение единственно для любого элемента д Е Г и .К 'г Е Е ЕС. НОрмы в Этих прОСтранСтвах ОбОЗначим' ,~Ер и ~~ 'П. В области П рассмотрим сетку ЕЕс„зависяшую от параметра 6. Введем отображения дь: Ес — ~ ьсь, дь: и ь иь, Еь: Š— ~ гь, Еь:,Е ~ — ~ )ь, где Ус„Еь конечномерные пространства, и предположим, что Рь содержит все сеточные функции на Пь.
На сеточных функциях введем две нормы; ()сэ, и ,'! ((г„, подчиненные условиям 11пс,;,Уьи ! и„= , 'и , 'и: 1пп $ Еь,(, :ги —" )Л г для произвольных и Е Ьс., 1 Е Г. Пусть (24') есть дискретизация уравнения (22'). Оператор .Кь хорошо обусловлен с порлдком р, если для лнзбой сеточной функции оь (26) ~~оь иь < си16 ~~-'~ьиь~~~ы,. Напомнилс, что оператор .Уь аппроксимируепс оператор .У с порядком ш., если ~ Еь.Ки —.'ХьЯ~,и,.'и, < С(и)6 '. 'Георема 2 (Рябенького — сЕэнлигсссова).
Если оператор.Уь аппрокси сисрует операпюр х с порядком сэ и хорошо обусловлен с порядком р, то для решений задач (22'), (24') меет, местпо оценка ' дьи — ис, 'ш < Сс(и)(с Доклзаткльство. В силу линейности оператора .хь из условия аппроксимации имеем С(и)6 > ~~ Еь(~и) — ~ьЛь ~~г, = Мь( — ~ьдьиЕг, =- = ,'-У'ьиь —.'хьЯли0гь = ~.Хь(иь — Лл),~,, В силу хорошей обусловленности /!оь —,Уьи!/сс„< МЕс с~ Ыь(иь — дьи)~/р < йЕС(и)6 764 Глава 10.
Нег<вторые аанраеи чиеленнага ре<аенил краеаъ<я ладан При ш > р теорема гарантирует сходимость решений дискретной задачи к решению уравнения (22'). Подчеркнем, что важность этих определений состоит вовсе не в том, что в случае выполнения неравенства (26) будет иметь место сходимость. Сам факт сходимости мало что дает в численном анализе, если он не сопровождается детальным анализом емкостнь<х характеристик соответствующих компактов и времешюй сложности алгоритма, построенного па данной дискретизации.
Условие (26) применительно к разностным схемам решения задачи Копти (или смешанной задачи) для эволюционных уравнений равносильно условию послойной устойчивости. А для того, чтобы разногтная схема была пригодна для вычислений, необходимо, чтобы она была устойчивой. Таким образом, по существу, доказанная теорема дает критерий отбраковки разностньп< схем и разбивает этот вопрос на два .— на простой вопрос аппроксимации и трудный вопрос хорошей обусловленности или устойчивости. Злмцчлнцк.
Вместо критерия хорошей обусловленности (26) можно выдвинуть критерий, по форме более близкий к критерию хорошей обутловленности системы линейных уравнений, приведенному в гл. 8. Допуттим, что при вариации бгь правой части уравнения (24') решение получило приращение Бпь. Тогда потребуем, чтобы << ь нь ~ и<, < 111 — р ~< <х еь ~~ р<, В этол< виде это требование инвариантно относительно нормировки опе- ратора .2ь и норм в 11ь п Еь. 5.
Необходимые условия устойчивости. Проверка условия (26) дело далеко пе простое, и поэтому мы нуждаемся в довольно простых, хотя бь< необходимых, усвовиях устойчивости. Рассмотрим задачу Коши и ограничимся линейными дифференциальными уравнениями (системами) с постоянными коэффициентами.
В пространстве Н а —.- Н х Н 1а1 переменных (л, 1) рассмотрим полупростраяство К вЂ”... Н' х Н, К+ = = (1 Е К< 1 ) О) и введем в нем сетку с шагами Ь = (1<1, ..., 1И), г. Пусть узлы сетки (<в™, 1а) имеют вид <ва< = (6<А<, ..., 11<т<), т = (т<,..., <п<), 1" .— — пт. На множестве узлов в Н 1 рассмотрим сеточные Функции и< (ж, 1 ) — < и Множество узлов в гиперплоскостн 1 = пт назовем для удобства слаел< и о величинах ь" с фиксированным индексом п, будем говорить как о величинах на и;м слое. Рассмотрим систему разностных уравнений, связыва<ощих величины на двух слоях п.-м и и, + 1-и: руан'а ' .= ЮЬп«' - т("', и —... О, 1<,,., тп Е Е<.
(27) Операторы агь и ааь определяются соотношениями М1<п =. г аььи +ь< гт ьп =- г 1<ььп ьею ЬЕ<И З4. О решении красина алдан длл эвалюцианиме уравнений 765 где аьь, бьь квадратные матрипы размером г хе, и" — г-мерны вектор, ,)г', ЛХ - некоторые множества мультииндексов. Если 7г' = (0) и матрица ааь диагональная, то схема называется явной; если авь нееднничная, мы будем всегда предполагать, что эта матрица нс особая. и поэтому без ущерба для общности ее можно считать единичной.
Если 67 ф (О), то схема называется неявной. Разностпые схемы вида (27) называются дирхеме)гйнь)лги. Кроме уравнений (27) будем считать, что заданы начальные данные ,о ию .=- )рю. (28) Предположим, что )рю, 7 финитнь)е сеточные функции. Рассмотрим задачу (27), .(28) в гильбертовом пространстве 6е = 1т х... х 1ю где берется произведение г экземпляров пространства последовательностей ~„= (ье ) т Е Х', 2, )ье )а < оо).
Итак, и" —.- (и,", ..., и,") Е 6, и" = тЕЕ' = (и,",„: т с Х'), 7'" = (7)", ...,.,гн) е 6ш,)" = (7"," ) т б Х'). Норма в 6т будет определяться соотношением ))и; =- ~;г )г)э ~, г) = (и), ..., ие) С йя. э=) шее' Введем произволяп)ую функцию для и"., положив Рн(В) = ~ ~и" ехр( — гт. В), (29) тЕЕ' где и' — -- (и,", ..., и)„",)') кроме того, В =- (В), ..., В)) точка 1-мерного тора Т' = о') х ... х о'), а т . В = 2 ' глэ.уэ..
Поскольку и" е 6т, то по теореме Фишера — Рисса Ъ™ Е (Аэ(Т~') . Из уравнений (27) получим уравнение л,ля производя)пнх функпии, Умножим уравнение (27) на ехр( — гт В) н просуммируем по т. Тогда получим с Е -геае е))е"'=(Еьеи ра8 в))Р",. е". )ео) ьеи йел1 где Га = 2,7" ехр( — гт В). тЕЕ' Потребуем. чтобы разностные уравнения (27) определяли оператор послойного перехода, т.
е. чтобы прн г"" =- 0 ))и" е 6а существовал единственный вектор и"+ е 6 . Положим Аь(В) =- ~ атиехр()6 В), Вь(В) =- ~ Ьм,ехр(гй В); йем 766 Тливо 10. Ненотпорые вопросы численного реигенил нроевъет ладон тогда уравнение (30) можно записать в виде А„(0)Ъ'ит' = Вь(0)11" тг' откуда и — 1 Ъ, С (0~)~,0+ т~ Сг,(0)А„~(0)Г". 1=0 (33) На пространстве (Хт(Т ') т-мерных вектор-функпий, каждая из компонент которого является элементом Хэ(Т ), введем норму 0 '01 так, чтобы, согласно равенству Парсеваля, иметь ~1г( )'~, = ) н(), где 11( ) и н связаны соотношением (29). По неравенству треугольника из (33) получим п--1 и <! Си( )1 О( )! -.
Е~ Сг(0)А„'1(0)Вп ! Отсюда, если оператор перехода удовлетворяет условию ~Сь"(.)(,<ЛХ, п=1,2,..., '4,(т), (34) то явр !!н", ,< ЛХ н'~1+ тЛХ1 ~. ~!П, и . '1,~'г! 0<1<и где ЛХ1 —. ЛХ япр А01(0)'„, и, —. )й Хт . в Таким образом, ЯвР они ', <, гн ~ -- ЯпР,'Хг'~, шах(ЛХ, ЛХ1). о<и<и 0<1<и А это неравенство не что иное, как неравенство (26), примененное в дан- ной ситуации. Для этого следует считать,что (~и!Ш = явр оаип 0<и<и (35) 1"-' = А„-'(0)В,(0)1" -'А„-1(0)р". (31) Учитывая произвольность вектора 1т", нужно потребовать, чтобы матрица А„1(0) Вь(0) была ограничена; но поскольку мы будем решать неоднородные уравнения, то в силу произвольности вектора Гп' наложим условие япр~Аь~(0)(, < сю.
(32) в Положим Сь(0) = А, 1(0) В1,(0); эта матрица и определяет оператор послойного перехода Т в фурье-представлении сеточных функций. Из уравнения (31) получаем 04. О решении куагоыт эаь1ач для эволюиььоььаых уравнений 767 а норму правой части определить сььедуюььььььь образом: Хп у„= )/ьр)( + епр (36) Окг<п полагая, что !'п = (ьр, Х,, У ') Такььль образом, неравенство (34) при условии, что выполнено неравенство (32), влечет хорошую обусловленность уравнений (27). Наоборот, если предположить, что система (27) хорошо обусловлена в нормах (35), (36) и выполнено неравенство (32), то, приняв Х"ь =- О, в силу произвольности вектора ьэ = (ьр : т 6 Х ) получим.что оператор послойного ь перехода существует и удовлетворяет неравенству (34).
В самом деле, поскольку (37) 0<п<п то в силу того, что Аь(о)Ь" = Вь(й)Ф(й). где Ф(о) = 2 ьр,„х юехь х ехр( — ьт й), ввиду произвольности функции Ф получаем, что матрица Аь, ь(о) Вь(о) = Сь(о) неособая, и ее норма не превосходит М. А тогда, учитывая неравенство (37), получим неравенство (34). Таким образом, мы приходим к следующему важному результату. Предложение 3. Двухсаойььая раьпьостная схема в случае, если выполнено неравенство (32), является хорошо обугловленььой тогда и тполько тогда, когда матрица послойного перехода удовлггпворяет неравгнгпьаом (34).
ЕЕиже, говоря о разностных схемах, для которых матрица послойного перехода существует и удовлетворяет неравенствам (34), будем их называть устойчивыми. Если не существует матрицы послойного перехода либо не выполнены условия (34), то такую схему будем называть неустойчивой. Для определенности подчеркнем, что константа й! не зависит от шага т и, по существу, речь идет о семействе матриц Сь(й). Но, чтобы окончательно упростить ситуацию, мы предположим, что матрицы Аь и Вь однородныотносительновеличин тй ' (ь' =- 1, 2, ..., 1), гче о > Π— некоторые характерные для данной задачи числа, н мы будем считать, что ей ' = сопвь (! = 1, 2, ..., 6) при т -- О, Ь, — О. Но тогда выполнимость условия (34) нужно потребовать для и = 1, 2,...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
