Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 162
Текст из файла (страница 162)
У. ° У») = —" (Е Ь л Х елгэ, У ) откуда (Е,„Уои Уы) ч ((Реиб„,лщза лил~', он Уг„)! —, ((1'.ыЬ, Пэ( елГэ 1м)( 786 Гласе 10. Ист!Оп!орые вопросы численного решения краееыт заЛач (11„1..„У )"' < (Е,„Х, Х„)" +(Е У... г„)"", (75) Гдс Х = Ь,'„11. О Е172У, 1, 1е = Ь ', !' .1Г2. ПОСкОЛьку (Е ° Х . Х ) = (У.Х У. Х-) = ~ ~ог Иг ) ~(гб' У.,—;1)~ ь.=- 61 <(1 — с„)' г»чть Я21ь, У -!)) =-(1 — е ) (е К -! У т1) Ь= Е1 то, делая подстановку в неравенство (75),получим (Е У.,1„,)'"<(1 — е )(Е У,„-„У „)и"2 — (Е„,г„„г )"'. (7б) ЗаМЕтИМ, Чте В СИЛУ СдЕЛаННОГО ПрЕднспсжЕНяя ) ЕО! — Ем, 1~; ( СЗ(М ' + 6), и поэтому (Е У т1, Ум) ~ < (Етт!У т1, У э!)Н вЂ” Сз(М '+6) )У т1,~. Следовательно, (Е 1'„„У~)' < (1 — е )(Е 11'„,.1, У„ыз) Л (Е Х, У ) + -> Се(ЛЛ вЂ”,6):~У ч! ~ Полагая гп — -- О, 1, ..., Лà — 2 н складывая неравенства пря этих т, а затем добавляя неравенство (76) при го = М вЂ” 1, получим Лг — ! (Е,„1', 1;„)'! < !О=О ) (1 )(Е 1, 1, )Нз+ О=О Лг — 1 )(Еьг 1Ум, 1;и)'"+ ,'! (Е,„г„„г )"'- О=О и-! + Сз(ЛТ ' + 6) ~~ + (1 — слг — ! Ото!ода 21-1 (ЕОЛО, УО) ~ -!- ~ ~.
-!(Е 1', У ) ~ < (1 — ем-1)(Ем-!Ум, Ум) ~ + =1 М вЂ” 1 и — 1 (Е Я . Я )~!~ -г Сз(М 1+6) ~ ~~;!У,/. (77) К обоим слагаемым в правой части применим неравенство Шварца (Е,Х, У)' ( (Е Х, ХЯЕ, г; У). Тогда после деления на (Е У, У ) Н, если эта величина отлична от нуля, получим неравенство 84. О решении краевых эадач длл эволюционных уравнений 7В7 Выберем теперь числа а™, подчинив их условиям: 1) В Ъ 1 О = 1, 2, ..., 1)! 2) оэ = О О = г - 1, г+ 2,..., 1): 3) [о, ~' - ах'( < СэЛХ О = 1, 2, ..., 1, хп = О, 1,..., И вЂ” 1).
По этим числам и векторам 11"' построим матрицу У так же, как и выше, а затем положим Е .=- 1х*У . Поменяем МЕСтаМИ В ПрИВЕдЕННОМ раНЕЕ дОКаэатЕЛЬСтас МатрИцЫ ают171 И Ь хсХЭ И будем двигаться по индексу т, от М до О. В результате получим неравенство, аналогичное неравенству (77): ЛХ вЂ” 1 ~ е (Е 19ю у.) Х -, '(Ем -Хум, 1м) Х ~ ((1.-ео)(Еоуо, уо)' -1- .1 М-1 ЛХ вЂ” 1 — С (Е„2,2 )"а Сэ(М '+ь) ~ ~' ~ъ >~, (78) =о — 1 где 2 =а Положнлх -' =. шш(е 1, е ) (т = 1, '2, ..., Л1 — 1) ео '— — сох!2 ем —" м — 1(2, Е =.
Е„, -~- Г„, (т .— — О, 1, ..., ЛХ вЂ” 1), Елх =- ем — 1, Заметнм, что — 1 2, =- (ь,, а .117э) е, и поэтому (Е„,2,2 ) <(1 — „,) (Я,„2,2,„). (79) Учитывая неравенство (79) и элементарное неравенство лха+ сххЬ ( с,х2(а+ Ь), получим М вЂ” 1 с (е г„, г„,)'"- ~ (ь'„,2„,2 )"' < и =0 ю=е ЛХ вЂ” 1 ЛХ вЂ” 1 < ~ [(Е 2,2 )'"+(Е г„, Е„,)'7'] <лх2 ~ ~(а,„г, г )'". Складывая (77) и (78) и принимая во внимание неравенство треугольника и по- следнее неравенство,получим ЛХ-1 (Ео1о, Уо)ХХ -~ 2 "(Е„,Х, Х )~х~ — '(Ем-1Ум, Улх)~х~ ( =о (~ (1 — ео)(Еоуо, Уо) -'.
(! — ем — 1)(Ем — ХУм, Улх) ) И вЂ” 1 М. 1 Ц-лх2 С (а.,2, г )"'+2Сэ(Лхх., +Л) ~;:~~ ~. (ВО) Обратимся тепс рь к граничным условиям. Обозначим через Ьх Ьню строку матрицы В, (у = О, 1). Разложив вектор Ьол по элементам базиса 11о„..., 111'., получим Ь„= 2 хвл,х1„и стало быть, первое граничное условие (7Ц равное, о 1 сально системе уравнении 2 13ь,(х1~, Уо) — — дол (Ь = 1, 2,..., г), Потребуем, =1 788 Глава 10. ХХелоторые вопросы числшхвого решения краевых зах)ач чтобы эту систему можно было разрешить относительно неизвестных (х1„Уо) о (е = 1, 2, ..., х ) и чтобы выполнялось соотношение где константа С.
не зависит от ЛХ. Подчиним нормирующие множители услошшм хлох ... ело 1, ехо ... о~~~ 2С . Говда последнее неравенство можно записать в виде л хХг (ЕоУо, Уо)'х < — (ЕоУо, 1а) +С.Д' Мол| ) (81) л — л Налагая на матрицу Вл, и нормирующие множители о, о '' аналолх — 1 лх-1 гичные условия, получим ; хХз (Ем- Ум, Ум) ~ < — (Ем- Ум, Улх) ~'+С.~ ~~1 'дхл~ ) .
(82) 2 л= ел Из двух последних неравенств и (80) следует неравенство 1 + ео,, лХз . хха 1 — елх — х 2 (ЕоУо, Уо) + ~~л е'„,(4' У, У,) - (Елх хУм, Ум) < 2 лх — х и— < лх2 ~ (Ж,И,, И ) Х -'". 2Сз(ЛХ рд) ~ !1'*!', 1 С (~до~ 1 ~дх~), , =о где смысл величин ~'де~, и '~дл ) ясен из предыдущих формул. Вторично используя неравенства (81), (82), неравенство треугольника и загрубляя оценки, получим лх — л ~=*„(Е 1,1 )" < лх2 ~ (Е К, И )"'- =а »=о и — 1 +2Сл(ЛХ '+д) ~ !)У ~! — . '2С (здр!)+ (дхо). т=л Из неравенств для определителя Грама следует, что С ~~ ~<(ЕУ,У.
)Ма<1"Х"1У ~;, где Сл — константа, зависящая только от 1 и Со. Позгому и м — л е, !,'1',,' < Сл(лХ21 ~ )Ь, ~лХгХ лХг~'-~- ы=о е =О и-л — 2Сз(ЛХ х+д) ~' ~У ~' -~ 2С*((~до ~+ ~дл,'~)). 34. 0 решеиигг краевых эодач длл эоолюциоижых рраоиеиий 789 Если 2СгСг(М + о) ( (— ийпе„„ 1 2 (83) то лг " !г17о ! ~(2ъ 2)Сл,) ~ Ь 'гг7гՄ— глг ~+ 4СС4(~ да~, '+ (дге) (84) =о Дадим применение неравенства (84) к вопросу об устойчивости разностных уравнений. Относительно граничных условий (71) будем требовать, чтобы выполнялись неравенства (81), (82).
Также предположим, что матрнпа А не зависит от К г.е. система (68) имеет вид дХ дХ вЂ” -1 .4(х) — =- Г(х, 1). дг дх (68') Возвратимся к разностным уравнениям (72), (73), но теперь величины на и-м слое не будем присоединять к правой части. Отыскивая спектр ко- нечномерпого оператора перехода, который существует в силу (84), пола- гая У„",~' = ЛУ„", и опуская верхний индекс п, получим однородную систему (см.
(61)) (Л вЂ” 1)(У„,э~ г- У„.) + 2гг~(хл+1 — х)А э,л~(»;+~ — 1' ) =-О, гп = О, 1,..., и однородные граничные условия (71). Таким образом, а,эглг = (Л вЂ” 1)1+ 2мг(ХЛ+ 1 — Х)Аюэггг, Ь,эг7г -— — (Л вЂ” 1)Е+ 2гег(хЛ+ 1 — Х)А„,эгле. Собственные значения пучка аю Нг — дЬюэглг в данном случае равны Л--1 2мг(ХЛ+1--Х)Лг .
1 Рг = = Л вЂ” 1-2 (хЛ+1 — х)л,' 1=1,2, ...,1. (85) Несложно проверить, что уравнение Л вЂ” 1+ 2мг(хЛ вЂ” 1— Х)ю х) Л окружность Л вЂ” 1 — 2. (ЛЛ, 1— при вешественном определяет в плоскости дК вЂ” —. (Л: Л— которая при Х > 1/2 лежит в круге (Л: )Л! ( Неравенство (83) заведомо выполняется, если величины еы отграничены ог нуля. Считая, что матрица А(х, г) удовлетворяет условию Лишпица, можем взять б м Ы '.
В этом случае условие (83) равносильно условию "„, > СЬ4 где С -- некоторая константа, и, стало быть, допускается, чтобы пппе убывал до нуля при М - со. В газовой динамике в задаче оотекання реализуется случай, когда на обтекаемом теле некоторые из собственных значений пучка матриц а эг7г -- д1г,„эг7г равны 1 69 Замкчлник. В процессе доказательства мы не пользовались вещественностью входящих в задачу величия. Коэффициенты разностного уравнения могут быть и комплексными, и тем не менее энергетическое неравенство (84) остается в силе.
790 Глава 10. Некоторые сопрасм числснпага решения красава задач Дробно-линейное преобразование Л и д, вид которого получается из соотношения (85) заменой Лг на аг н дг на д, отображает внепшость окружности дуб либо в круг (рм Зг~ ( 1), либо в его внешность в зависимости от того, будет ли больше яли меньше 1 величина ~(1+ 2тгггы)(1 — 2укчш) ' ~.
Поэтому, если ~Л вЂ” 1 —, 1/(2у)~ ) 1/(2Ц. то неравенства (74) будут выполнены с некоторой константой г,. Для гого чтобы можно было взять г = ЛХ ', достаточно потребовать, чтобы ~Л вЂ” 1 + 1/(2т)~ ) 1/(2г) -' Сгйу ' Следовательно, спектр оператора перехода лежит внутри круга 1~ 1 Л-1+ —,~ < — +С,М-, и необходимое условие устойчивости выполнено. Предлогкенный интеграл энергии построен автором в работе Я, где им же исследована устойчивость прогонки, с полющью которой можно решать систему (73) с граничными условиями (71) (см. о ленточной прогонке з 2 гл.
9). 3 а д а ч а 8. Считая, что решения уравнений (61) периоднчны по 1 с произвольным периодом Тп исследуйге устойчивость этих разносгных уравнений в шб чае граничных значений (62). Указания. Воспользуйтесь ннтогралом энергии (84) и сделанным выше замечанием. ,паг,п и г,п п п ст " пт + Атэг)Я(пп г ьт — г) тГи-че" 2 т=...— 1,0,1,..., п=0,1,..., (86) неустойчива. Желая подправить зту разностную схему, не привлекая новых узлов, прибегают к приему с так вазываемой искусственной вязкостью. Разностная схема (86) после деления на т аппроксимнрует систему (68) с остаточным членом О(т+Ь); поэтому мы можем уравнения (86) изменить на произвольную велцчину порядка О(тг + тЬ). Рассмотрим уравнения и,"„" — с" + — Ап,+гуппи„, — пи„г) — пм(нт„г — 2ет+ и.", г) = 2 тГ' ~72 ш = ..., 1, О, 1,..., и -.
О, 1,... (87) Мы изучали краевую задачу (68). (70) в предположении, что выполнены неравенства (69), хотя и допускалн, что на границе какие-либо пз собственных значений Л,(к, 1) могут обращаться в нуль. А как же быть в том случае, когда неравенства (69) нарушаются7 Если назвать индексом смешанной задачи пару (г, г), где и+г — — 1, то мы рассматривали случай постоянного индекса. Ну а если он изменяетсяу Такие ситуации встречаются в газовой динамике. Этот вопрос применительно к лгпзеаризированггым уравнениям газовой динамики изучался Ю. Б. Радвогиным в работе (10), где установлено, что конструкцию интеграла энергви (84) можно перенести и на этот случай, и показано., как модифицировать разностные уравнения при изменении индекса краевой задачи О 1. 11. Искусственнан вязкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
