Бабенко - Основы численного анализа (947491), страница 164
Текст из файла (страница 164)
Из неравенства св < т"' следует неравенство Таким образом, общее число операций необходимых для решения сме- шанной задачи в цилиндре «е' при ! .= 3, составит (97) у=! Для того чтобы получить схему второго порядка точности, в силу оценки (95) достаточно взять а = 1,с2,ш .=. 2, т .=- 6, Тогда дь и~и огег-- — ин,'о < Сот-, и необходимое число операции (98) Если ограничиться схемами первого порядка точности, то можно взять а =- 1сг2, го =.- 2, т — -- 6, н тогда необходимое число операций 172 (99) о=1 Этп оценки полезно сравнить с оценкой (90). 797 Э Гл Метод установления Злмкчлник.
В общем случае уравнения (96) в оценках (97), (98) вместо величины 2 аз будет фигурировать ее эквивалент, определяеэ=1 мылу конкретной конструкцией разностной схемы. О.В.Локуциевский первым показал, что отправляясь от разностной схемы (4') и организуя итерационный процесс с выбором итерационных параметров по Чебьппеву, мы приходим к устойчивой схеме первого порядка точности с оценкой временной сложности (98). См. также [245; 241; 232, гл, 3, 3 3, 4]. 3 5. Метод установления 1. Введение. Этот заключительный небольшой параграф мы посвятим очень популярному замечательному методу нахождения простейших аттракторов, возникающих в бесконечномерных динамических системах. Под просвгейшими аттраьторами мы понимаем стационарные решения либо периодические решения (циклы).
В п. 1 3 4 мы выяснили, что у.равненпя (4.4) при условии, что функции и, г1, 7 не зависят от 1, в точности совпадают с уравнениями, которые получаются при решении разностной задачи Дироле методом простой итерации, и тем самым величины 1пп иь дакгт решение этой задачи для эллиптического уравнеа се ния (1.1). Этот факт легко обосновать в случае смешанной задачи лля параболического уравнения — (а, (х), ) — гд(х)и+ 1(х).
гт,=1 ди ди ди — — 'ои = Ог ди (2) и=О, где д,~ди произволная по конормалн (см. п. 2 3 2). Рассмотрим в Ля(11) полупоток Г,г определяемый решением смешанной задачи для уравнения (1) с граничными условиями (2) и начальными данными ф е Еэ(й). Обозначим через А„, ео„(п = 1, 2,...) собственные значения и соответствующие нормированные собственные функции опе- ратора .У вЂ”.... — у ~ом(х) ) + д(х) ьэ= 1 с каким-либо граничным условием (2). Кроме того, предположим, что коэффициенты а,.;, 4 достаточно гладкие, и будем считать, что г7(х) > О, Для простоты будам считать, что на боковых стенках цилиндра дй х х (Ог сг, 'решение удовлетворяет какому-либо из граничных условий вида 798 Глава 10. Нсногаорыв вопросы чвслснного решения нраввыо ладан 9(х) и О.
Известно, что Л„) ж, а функции (ы и) образуют в Ав(й) ортонормированный базис. Пусть 'ив(т) решение стационарной задачи .Уив = д с каким-либо граничным условием (2). Тогда решение и(я, 1) смешанной задачи с начальными данными и „= ф(л) (х Е й х (О)) можно представить в виде и(т, с) =- ив(л) — ~ехр(-.Л„1)(ср — ив, Зо„)со„(л), (3) где (, .) .— скалярное произведение в Ая(й). Ряд (3) при 1 > О равномерно и абсолютно сходится, а также сходятся ряды, получаемые из ряда (3), если его почленно продифференцировать по переменным я (~ = = 1, 2, ..., 1) и 1 конечное число раз. Если аг Е Ссс(й), 9 Е С"'(й).
то р„(я) ~ С~(й) (п = 1, 2,...) и 2Э'го„! < СЛ)о где р зависит только от ш Отсюда вытекает сходимость ряда (3) и ряда из производных. Полупоток Гг задается соотношением Гг ., ьу(л) г и(л, г). Легко проверить, что Гплг, = Гг, оГем для 1г, 1в > О. Будем считать, что Гв тождественное отображение, поскольку в Тчмгорме 1пп и(х, 1) —.. 1о(т), Ясно, г — -о что в Бв(й) точка ив единственная стационарная точка полупотока Гм так как если при 1 > О имеем Г~за = зо, то л = ив (докажите), точка ив абсолютно притягивающая, поскольку из (3) следует, что 1цп и(л, 1) = г ос = ив(л), каковы бы ни были начальные данные дд(л), Поэтому, чтобы найти стационарное решение ив(л).
можно регпить смешанную задачу с произвольными начальными данными и затем вычислить предел при 1 — г оо, Заметим, что стремление к пределу будет происходить с зкспоненциальной скоростью и(л, г) + 0(ехр( — ЛП)). Это и есть лгсшод установления в его простейшей форме. Сказанное объясняет упомянутые выше факты о решении дискретной задачи Дирихле методом простой итерации. В настоящее время мы имеем много примеров применения метода установления, но, к сожалению, ситуация не всегда столь благоприятна, как для рассмотренного полупотока.
В общем случае поток или полу- поток может иметь инвариантные множества сложной структуры, его устойчивые неподвижные точки могут иметь малые области притяжения, и поэтому, чтобы попасть в такую область, нужно применять специальныс, меры. Очень часто задача зависит от параметра, и поэтому при числонной реализации метода установлония используют метод продолжения по параметру. Отправляясь от значения параметра, при котором стационарное ропюние известно либо имеет большую область притяжения, решают задачу о вычислении стационарного решения, переходя от данного значения параметра к близкому.
При этом не обязательно при промежуточных значениях параметра получать с высокой точностью стационарные решения; нужно лишь находиться в малой их окрестности. В качестве примера приведем задачу об определении конических течений. Поместив начало координат в вершину обтекаемого конуса и па- 799 З 5. Метод уогпавооловил в [10]. 2. Пример применения метода установления для отыскания периодических решений уравнений Навье — Стокса на примере плоского течения в канале й = 1х, у: — оо < х < оо, — 1 < у < 1).
Если зафиксировать расход жидкости через поперечное сечение канала, то для определения функции тока 4, с помощью которой описывается течение, получится следующая начально-краевая задача: Д'~у ~ )  — 1ллв о д1 д(х, у) о.'(,= д -, — "( =0, 2 буз — 3 ду о==1 ч: о=о (б) правив ось х по его оси, можно при сверхзвуковом обтекании искать стационарные решения уравнений газовой динамики ~см. задачу 10 з 1 гл.
9) в виде Г(х, у, -) = 1'(х,'х, у/х), р(х, у, х) = р(х~х, у/х), р1х, у, -) = фх(х, у/в), где Г = (и. г, ш) — вектор скорости. Это так называемые конические течения, и если выполняются некоторые условия, то такие решения реализуются. Чтобы их найти, ищут решония стационарных уравнений газовой динамики (в уравнениях задачи 10 З 1 нужно отбросить производные д/дэ)., которое в даяном случае будут х-гиперболичньа ми, рассматривая задачу Коши при х > хп и ставя некоторые начальные условия при х .= гп, а затем ищут предел решения при х — ~ ао.
Обычно в качестве начальных усповий берется ноле течений вокруг близкого конуса. В действительности эта задача как вычислительная весьма нетривиальна, так как стремление к пределу неравномерно и на поверхности конуса имеются точки, в которых происходит разрыв энтропийной функции. Положение этих точек во многих случаях заранее не известно, что делает ситуацию крайне сложной. Этот метод расчета и обширные таблицы обтекания круглых конусов под углами атаки обстоятельно изложены в работе ~9). В качестве второго примера приведем задачу об обтекании головной части затупленного тела сверхзвуковым потоком газа. В этом случае перед телом образуется отогпедшая ударная волна и за ней область течения с местными дозвуковыми скоростями.
При постановке краевой задачи о стационарном обтекании мы испьпываем значительные трудности, поскольку часть границы области, где отыскивается течение, свободна от постановки граничных усчовий. Это типичная ситуация для уравнений и систем смешанного типа. Если искать стационарное решение как предел нестационарного, то этн трудности снимаются. Нам нужно выбрать поверхность, свободную от постановки граничных условий (рис. 10: АВ, С Р ее следы), так, чтсюы для системы уравнений газовой динамики характеристические конусы с вершинами на этой поверхности ее не пересекали и лежали впе области, где отыскивается решение, Алгоритм решения этой задачи, предложенной автором, подробно описан 800 Глава 10. Неготорые.
вопросы численного решения краев»ар задач Здесь гз — оператор Лапласа, 1 -- время, Л -- число Рейнольдса. Будем предполагатги как обычно,. что течение периоднчно по переменной л с периодом 2х/оъ т1итателям, которым пе известна фнзичоская сторона этой задачи, мы рекомендуем отправляться от начально-краевой задачи (4)— (6). Эта задача имеет известное стапионаряое решение й,(л, у) =.
у -узг~30 Функция иг„ описывает течение с параболическим профилем скорости П вЂ”. дъъ./ду —.—. 1 — »д~, так называемое течение Пуазейля. В з б гл. 4 мы уже разбирали задачу об устойчивости течения Пуазейля . спектральную задачу Орра — Зоммерфельда. 1ъак результат этих вычислений, а также многочисленных аналитических исследований многих ученых мы имеем так называемую нейтральную кривую кривуго в плоскости Л, о, отделяющую область значений параметров. прн которых течение Пуазейля устойчиво, от области, где оно неустойчиво (рис. 11). Отметим, что координаты то ~кн А имеют значения Л = ое672,..., о = 1,02...
Рассмотрим фундаментальную область йа = (л, у: 0 < л < 2л~'о, — 1 < у < Ц н пространство "р~,'(Йе) функций, перяодических с периодом 2х(о. Пространство гяяо(11в) выступает как фазовое пространство, а задача (4)-(6) определяет в нем полупоток 7е., что следует из теорея сме|паняой задачи. Рис. 10. Сечение меридианальной плоскостью конфигурации «тело н головная ударная верша» (АЕН7д— след волны, ВГСС вЂ” след тела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
