ИродовЗадачник (947483), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Найти ик период. В н. е. пролив 4.29. Представим себе шахту, пронизывающую Землю по ее оси вращения. Считая Землю за однородный шар и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) закон движения тела, упавшего в шахту; б) сколько времени понадобится этому телу, чтобы достигнуть противоположного конца шахты; в) скорость тела в центре Земли. 4.30. Найти период малых колебаний математического маятника длины 1, если его точка подвеса О движется относительно поверхности Земли в произвольном направлении с постоянным.ускорением м (рис. 4.7). Вычислить этот период, если 1 = 2! см, ш = д/2 и угол между векторамн м и д 1) = 120'.
Рис. 4.8. Рис. 4.7. 4.31. В установке (рис. 48) муфта 34 массы и = 0,20 кг закреплена между двумя одинаковыми пружинками, общая жесткость которых к = 20 Н/м. Муфта без трения может скользить по горизонтальному стержяю АВ. Установка вращается с постоянной угловой скоростью а = 4,4 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержни.
Найти период малых колебаний муфты. При каком значении а колебаний муфты не будет? 4.32. Доска с лежащим на ней бруском совершает горизонтальные гармонические колебания с амплитудой а = 10 см. Найти коэффициент трения между доской и бруском, если последний начинает скользить по доске, когда ее период колебания меньше Т =1,0 с. 4.33. Найти зависимость от времени угла отклонения математического маятяика длины 80 см, если в начальный момент маятник: а) отклонили на угол 3,0' и без толчка от- А пустили; б) находился в состоянии равновесия и его нижнему концу сообщили горизонтальную скорость 0,22 м/с; й в) отклонили на 3,0 и его нижнему концу сообщили скорость 0,22 м/с, направленную к положению равновесия. Рис.
43Х 4.34. Тело А массы т, = 1,00 кг и тело В массы т, = 4,10 кг соединены между собой пружиной, как показано на рис. 4.9. Тело А совершает свободные вертикальные гармонические колебания с амплитудой а = 1,6 см и частотой в = 25 рад/с. Пренебрегая массой пружины, найти 442 наибольшее и наименьшее значения силы давлении этой системы на опорную плоскость.
4.35. Доска, на которой лежит тело массы е, начинает двигаться вертикально вверх по закону у = а (1 — соз в1), где у — смещение из начального положения, в = 11 рад/с. Найти: а) силу давления тела на доску в зависимости от времени, если а = 4,0 см; изобразить график этой зависимости; б) минимальную амплитуду колебания доски, при которой тело начнет отставать от нее; н) амплитуду колебания доски, при которой тело подскочит на высоту й = 50 см относительно начального положения (в момент 1 = 0).
4.36. К нерастянутой пружине, верхний конец которой закреплен, подвесили и без толчка отпустили тело массы т. Жесткость пружины х. Пренебрегая ее массой, найти: а) закон движении тела у (1), где у — его смещение из начального положения; б) максимальное и минимальное натяжения пружины в процессе движения. 4.37. Частица массы т движется под действием силы г = хшг, где сс — положительная постоянная, г — радиус-вектор частицы относительно начала координат, Найти траекторию ее движения, если в начальный момент г = г,1 и скорость ч = оД, где 1 и )— орты осей х и у. 4.38. Тело массы т висит на пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта. Жесткость пружины к.
В момент 1 = 0 кабина начала подниматься с ускорением ш. Пренебрегая массой пружины, найти закон движения груза у (1) относительно кабины лифта, если у (0) = 0 и у (0) = О, Рас- л смотреть два случая: а) в = сопз(; б) ш =. а1, где а — постоянная. Ь 4.39. Тело массы и = 0,50 кг висит на резиновом шнуре с коэффициентом упругости й = 50 Н/м. Найти максимальное расстояние, на которое можно оттянуть вниз тело, чтобы его колебания еще носили гармонический характер.
Какова при этом энергия колебаний тела? 4.40. Тело массы т упало с высоты Й на чашку пружинных весов (рис. 4.10). Массы чашки н пружины преяебрежимо малы, жесткость послед- и"' 4 нь ней х. Прилипнув к чашке, тело начинает совершать гармонические колебания в вертикальном направлении. Найти амплитуду колебаний и нх энергию. 4.41. В условиях предыдущей задачи масса чашки равна л4. Найти амплитуду колебаний в этом случае. 4,42. Частица массы т движется в плоскости ху под действием силы, зависящей от скорости по закону г = а (у1 — х)), где а— положительная постоянная, 1 и 1 — орты осей х и у.
В начальный момент 1 = 0 частица находилась в точке х = д = 0 и имела скорость та в направлении орта ). Найти закон движения частицы х (1), у (1), а также уравнение ее траектории. 4.43, Маятник представляет собой легкий тонкостенный сферический сосуд радиуса )с, который целиком заполнен водой. Сосуд укреплен на легком жестком стержне (рис. 4.11).
Расстояние между точкой подвеса О и центром сосуда равно 1. Во сколько раз изменится период малых колебаний такого маятника после того, как вода замерзнет? Вязкостью воды и изменением ее объема при замерзании пренебречь. 4.44. Найти частоту малых колебаний тонкого Рнс 4л1. однородного вертикального стержня массы и и длины 1, который шарнирно укреплен в точке О (рис. 4.1з1. Суммарная жесткость пружин х. Массы пружин пренебрежимо малы. 4.45. Однородный стержень массы и =- 1,5 кг, висящий на двух одинаковых нитях длины 1 = 90 см (рис.
4.13), повернули на малый угол вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину С. При этом нити отклонились на угол а = 5,0'. Затем стержень отпустили, и он яачал совершать малые колебания. Найти: а) период колебаний; б) энергию колебаний стержня. Рнс. 4.!4. Рнс.
4.13. Рнс. 4.12. 4.46. Система (рис. 4.14) состоит из горизонтального однородного диска 0 массы т и радиуса )? и тонкога стержня АО, коэффициент кручения которого й. Найти амплитуду малых крутильных колебаний и нх энергию, если в начальный момент диск отклонили на угол ~р из положения равновесия и сообщили ему угловую скорость Ф,.
4.47. Однородный стержень массы т и длины 1 совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти среднюю за период колебания кинетическую энергию стержня, если в начальный момент его отклонили от вертикали на угол Фс и сообщили ему угловую скорость 04. 4.4бк Физический маятник установили так, что его центр тяжести оказался над точкой подвеса. Из этого положении маятник начал двигаться к положению устойчивого равновесии', которое он прошел с угловой скоростью сэ. Пренебрегая трением, найти период малых колебаний этого маятника. 4;49.
ФизическИй маятник совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси с частотой сэ, = 15,0 рад/с. Если к нему прикрепить небольшое тело массы лт = 50 г на расстоянии 1 = 20 см ниже оси, то частота колебаний становится сэ, = !0,0 рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси качания. 4.50. Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизоятальной оси с,частотами сэ, и с»,. Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно /, и /,. Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. Какова будет частота малых колебаний составного маятника? 4.51.
Однородный стержень длины 1 совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси 00', перпендикуляряой к стержню и проходящей через одну из его точек. Найти расстояние между центром инерции стержня и осью 00', при котором период колебаний будет наименьшим. Чему он равен? 4.52. Тонкая однородная пластинка в форме равностороннего треугольника с высотой Й совершает малые колебания вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из его сторон. Найти период колебаний и приведенную длину данного маятника. 4.53.
Гладкий горизонтальный диск вращают вокруг вертикальной оси О (рис. 4.15) с постоянной угловой скоростью сэ. На нем находится тонкий однородный стержень АВ длины 1, который совершает малые колебания вокруг вертикальной оси А, укрепленной на диске на расстоииии а от оси О. Найти частоту сзс этих колебаний.
Рис. 4Л5. Рис. 4Л6. 4.54. Найти частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4.16. Известны радиус блока Й, его момент инерции ! относительно оси вращения, масса тела т и жесткость пружины х. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит, трения в оси блока нег. 145 4.55. Однородный цилиндрический блок массы !И и радиуса (с может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной аси О (рис. 4.17). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А. Этот груз уравновешивает точечное тело массы и, укрепленное на ободе блока, при определенном значении угла сс. Найти частоту малых колебаний системы.
4.56. Сплошной однородный цилиндр радиуса г катается без скольжения по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса )с, совершая малые колебания. Найти их период. Рис. 4.!7. Рмс. 4.! а. 4.57. Сплошной однородный цилиндр массы и совершает малые колебания под действием двух пружин, общая жесткость которых х (рис. 4.18). Найти период этих колебаний в отсутствие скольжения. 4.58.
Два кубика, массы которых равны и, и и„соединили невесомой пружинкой жесткости х и положили на гладкую горизонтальную плоскость. Затем кубики не- /П! много сблизили и одновременно отпустили. Найти собственную частоту ;4 ',с! колебаний системы. 4.59. Два шара с массами и, = Рис. 4Л9, = 1,0 кг н и, — — 2,0 кг насажены на тонкий гладкий горизонтальный стержень (рис. 4.19). Шары связаны между собой легкой пружинкой с жесткостью х = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость а, = 12 см/с. Найти: а) частоту колебаний системы в процессе движения; б) энергию и амплитуду колебаний. 4.60. Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения й.
Моменты инерции дисков относительно аси стержня равны 1, и !,. 4.61. Модель молекулы СО, — три шарика, соединенные одинаковыми легкими пружинками и расположенные в положении равновесия вдаль одной прямой. Такая система может совершать продольные колебания двух типов, как показано стрелками на рис. 4.20. Зная массы атомов, найти отношение частот этих колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
