ИродовЗадачник (947483), страница 38
Текст из файла (страница 38)
4.62. В закрытом с обоих концов цилиндре, заполненном идеальным газом, находится поршень массы и и площадью 5 (рис. 4.21), В состоянии равновесия поршень делит цилиндр на две равные части, каждая объемом $'. Давление газа рс.
Поршень немного сместили из положения равновесия н отпустили. Найти частоту его колебаний, считая процессы в газе адиабатическими, а трение ничтожно малым. о с о 2) ЕОССЯ Е <У а Вягяа О С 0 ф 4Р мРЯЧУЯс а Е Рис. 420. Рис. 4.2Ь 4.63. Небольшой шарик массы т = 21 г, подвешенный на изолирующей нити на высоте й = 12 см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания (рис. 4,22). После того как ему сообщили некоторый заряд д, период колебаний изменился в и = 2,0 раза. Найти д. 4.64.
Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг осн, перпендикулярной к вектору индукции магнитного поля. При изменении индукции поля период колебаний стрелки уменьшился в и = 5,0 раза, Во сколько раз и как изменилась нцдукция поля? Затухание колебаний пренебрежимо мало. Рис. 4.22.
Рис. 423. 4.65. Контур (рис. 4.23) образован двумя параллельными проводниками, замыкающим их соленоидом с индуктивностью Е и проводящим стержнем массы т, который может свободно (без трения) скользить по проводникам. Проводники находятся в горизонтальной плоскости в однородном вертикальном магнитном поле с индукцией В. Расстояние между проводниками Е В момент 1 = 0 стержню сообщили вправо начальную скорость п,. Найти закон его движсния х (2), если сопротивление контура пренебрежимо мало, 4.66. Катушка индуктивностн Е соединяет верхние концы двух вертикальных медных шин, отстоящих друг от друга на расстояние Е Вдоль шин падает без начальной скорости горизонтальный проводник-перемычка массы т — без нарушения контакта с шинами.
Вся система находитси в однородном магнитном'поле а индукцией В, перпендикулярном плоскости шнн. Найти закон движения проводника х (1). 4.67. Затухающие колебания точки происходят по закову х = = а, е — а' з!п ай Найти: а) амплитуду колебаний и скорость точки в момент 1 — О; б) моменты времени, когда точка достигает крайних положений. 4.68. Тело совершает крутнльные колебания по закону ~р = = <р, е — ~' соз Ы. Найти: а) угловую скорость ~р и угловое ускорение ф тела в момент 1= 0; б) моменты времени, когда угловая скорость становится максимальной.
4.69. Точка совершает затухающие колебания с частотой в н коэффициентом затухания (1 по закону (4.1б). Найти начальную амплитуду а, и начальную фазу а, если в момент Г = 0 смещение точки и проекция ее скорости равны: а) л (0) — — 0 и п„(0) = х,; б) х (0) = х, и о (0) = О. 4.70. Некоторая точка совершает затухающие колебания с частотой ы = 25 рад/с. Найти коэффициент затухания (1, если в начальный момент скорость точки равна нулю, а ее смещение из положения равновесия в т1 = 1,020 раза меньше амплитуды в этот момент.
4.71. Точка совершает затухающие колебания с частотой в и коэффициентом затухания р. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени 1, если в момент г = 0: а) амплитуда ее смещения равна а„; б) смещение точки х (0) = 0 и проекция ее скорости и (0) = х„. 4.72. Имеются два затухающих колебания с известными периодами Т и коэффициентами затухания р: Т, = 0,10 мс, ~, = 100 с-' и Т, = 10 мс, ~, = 10 с г. Какое из них затухает быстрее? 4.73. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания Х~ = 1,50. Каким будет логарифмический декремент затухания, если сопротивление среды увеличить в и = 2,00 раза? Во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны? 4.74.
К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она растянулась на Ьх = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания Х = 3,1. 4.75. Найти добротность осциллятора, у которого амплитуда смещения уменьшается в и = 2,0 раза через каждые а = 110 колебаний. 4.76.
Частицу сместили из положения равновесия на расстояние 1 = 1,0 см н предоставили самой себе. Какой путь пройдет, колеблясь, эта частица до полной остановки, если логарифмический декремент затухания Х = 0,020? иа 4.77. Найти добротность математического маятника длины 1 = = 50 ем, если за.промежуток времени т = 5,2 мни его полная механическая энергия уменьшилась в Ч = 4,0 104 раз. 4.78.
Однородный диск радиуса Я = 13 см может вращаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей через край диска. Найти, период малых колебаний этого диска, если логарифмический декремент затухания Х = 1,00. 4.79. Тонкий однородный диск массы и и радиуса Р, подвеШенный в горизонтальном положении к упругой нити, совершает крутильные колебании в жидкости.
Момент упругих сил со стороны нити У =а<р, где а — постоянная, ~р — угол поворота из положения равновесия. Сила сопротивления, действующая на единицу поверхности диска, ~Р Х, = Чп, где Ч вЂ” постоянная, о — скорость данного элемента диска относительно жидкости. Найти частоту малых колебаний. 4.Ю. Д «А рш у И. щ в 'Маыыаы~жс на упругой нити между двумя неподвижными плоскостями (рис. 4.24), совершает д крутильные колебания вокруг своей оси 00'. Момент инерции диска относительно ни~ 474 этой осн !, зазор между диском и каждой из плоскостей (т, причем л ч.,", й. Найти вязкость газа, окружающего диск А, если период колебаний диска Т и логарифмический декремент затухания Х. 4.8!.
Проводник в форме квадратной рамки со стороной а, подвешенный на упругой нити, находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцней В. В положении равновесия плоскость рамки параллельна вектору В (рис. 4.25). Будучи выведена нз положения равновесия, рамка совершает малые колебания вокруг вертикальной оси, проходящей.
через ее центр. Момент инерции рамки относительно этой осн У, ее электрическое сопротивление )т. Пренебрегая индуктивностью рамки, найти время, через которое амплитуда ее углового поворота уменьшится в е раз. 4.82. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения й = 0,10 лежит брусок массы янс. 4.~д и = 0,50 кг, соединенный горизонтальной недеформироианной пружинкой со стенкой Жесткость пружинки х = 2,45 Н/см, а ее масса пренебрежимо мала.
Брусок сместили так, что пружинка растянулась на хо = 3,0 см, а затем отпустили. Найти: а) период колебаний бруска; б) число колебаний, которые совершит брусок до остановки. 4.83. Шарик массы т может совершать незатухающие гармонические колебания около точки к = 0 с собственной частотой а,. В момент 1 = О, когда шарик находился в состоянии равновесии„ к нему приложили вынуждающую силу Р = Ро сов аг, совпадающую по направлению с осью х.
Найти уравнение вынужденных колебаний шарика х (1). 4.84. Частица массы т может совершать незатухающие гармонические колебания под действием упругой силы с коэффициентом Й. Когда частица находилась в состоянии равновесия, к ней приложили постоянную силу Р, которая действовала в течение т секунд. Найти амплитуду колебаний частицы после окончания действия этой силы. Изобразить примерный график колебаний х (Г). Исследовать возможные случаи. 4.85. Шарик массы т, подвешенный к пружинке, удлиняет последнюю на величину 61.
Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по гармоническому закону с амплитудой Р„ шарик совершает вынужденные колебания. Логарифмический декремент затухания равен Х. Пренебрегая массой пружинки, найти круговую частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда смещения шарика максимальна. Каково значение этой амплитуды? 4.86. Амплитуды смешений вынужденных гармонических колебаний при частотах а, = 400 рад/с и а, = 600 рад/с равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна. 4.87. При частотах вынуждающей гармонической силы а, и а, амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти: а) частоту, соответствующую резонансу скорости; б) коэффициент затухания р и частоту затухающих колебаний в частицы.
4.88. Некоторая резонансная кривая соответствует механической колебательной системе с логарифмическим декрементом затухания Х = 1,60. Найти для этой кривой отношение максимальной амплитуды смещения к амплитуде смещения при очень малой частоте. 4.89. Под действием внешней вертикальной силы Р = Рч соз в1 тело, подвешенное на пружинке, совершает установившиеся вынужденные колебания по закону х = а соз (вг — ~).
Найти работу силы Р за период колебания. 4.90. Шарик массы т = 50,0 г подвешен на невесомой пружинке жесткости х = 20,0 Н/м. Под действием вынуждающей вертикальной гармонической силы с частотой ы = 25,0 рад/с шарик совершает установившиеся колебания с амплитудой а = 1,3 см. При этом смещение шарика отстает по фазе от вынуждающей силы на <р = '/4п. Найти: а) добротность данного осциллятора; б) работу вынуждающей силы за период колебания.
4.91. Шарик массы т, подвешенный на невесомой пружинке, может совершать вертикальные колебания с коэффициентом затухания р. Собственная частота колебаний равна в,. Под действием внешней вертикальной силы, меняющейся по закону Р = Рэ соз в1, шарик совершает установившиеся гармонические колебания. Найти пе 4.2. Электрические колебания 49 Затухающие колебания контура а=еже ргсоз(ют+а), где 1 Я ю — згюз ()з У з УСС т2 (4.2а) ° логарифмический декремент затухания х и добротность г? контура определяются формулами (4.1г). При слабом затухании: Х=н)с ~l —, г?= — 1р/ 1 / ( =)? р' с' (4.26) ° Установившиеся вынужденные колебания прн последовательном включении в контур напряжения и=ижсозюГ: г'= г'„, соз (гзт — е), (4.2в) 4ФЬ и где иж уж= у' ) +( ~ юС) ЙЪ мнИ (4.2г) гг 1 ыг.— еС (ЯФ= о ггпупгь Соответствуккпая векторная диаграмма на- Рис.
426. пряженнй показана на рис. 4.26. ° Мощность, выделяемая в пепи переменного тока: Р=ит р, где и и г' — действующие (аффективные) значения напряжения и тока: и=и Д'2. 1=1 Лгй. (4.2д) (4.2е) зтз а) среднюю за период колебания мощность (Р) силы Р; б) частоту ш силы Р, при которой (Р) максимальна; чему равна (Р)„„,? 4.92. Вынужденная гармоническая сила Р, частоту которой можно менять, не изменяя ее амплитуды„ действует в вертикальном направлеяии на шарик, висящий на невесомой пружине.
Коэффициент затухания в Ч раз меньше собственной частоты шз колебаний шарика. На сколько процентов отличается средняя за период колебания мощность (Р) силы Р при частоте, соответствующей резонансу смещения, от максимальной средней мощности (Р)„,„, этой силы? 4.93. Однородный горизонтальный диск, укрепленный в центре на упругом вертикальном стержне, совершает вынужденные крутильные колебания под действием момента сил Ж = г1г' созшй Колебания происходит по закону гр = ~р соз (ш( — а). Найти: а) работу сил трения, действующих на диск, за период колебания; б) добротность данного осциллятора, если момент инерции диска относительно его оси равен ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
