Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Пространства с дискретными координатами можно обобщить следующим образом. Пусть (Ви) — последовательность банаховых пространств (/г=1, 2, ...); определим пространство Р(Ви), каждый элемент $ которого является последовательностью (ив), где и„Е В„, такой, что ряд ~е ( и„$," сходится (в й-м члене сумма Ц.'1 означает норму в пространстве В„), т. е. 1 l дн* 1(В„)= Ь=(.,): Х(.,(*< ), (и=( Х(,(~1 . Пространства Фока, появляющиеся в теории вторичного квантования, являются именно такими пространствами: для них в качестве каждого пространства Ви берется гильбертово пространство; см.
гл. 1. Все пространства распределений Ср(йл), Тр(й), Ц(Щ (1«-' < р <оо), введенные в гл. 5, являются банаховыми пространствами со следующей нормой: п=( 1 ие - (~л м("'. )Илнаи и Для любого банахова пространства В множество В(В) ограниченных линейных операторов, определенных на всем В, является другим банаховым пространством (фактически банаховой алгеброй, потому что в нем определено умножение); нормой элемента АЕВ(В) служит его операторная норма (А(. В каждом из описанных выше пространств точка представляет одну функцию. Во многих задачах для описания состояния физической системы требуется несколько функций (например, в гидродинамике нужно знать давление р(х), плотность р(х) и три компоненты скорости ч(х).
Эти функции можно записать как компоненты г; (х) векторнозначной функции 1(х) (которая не обязательно имеет столько же компонент, что н х). Тогда все при- 882 Г*. 15. Эволюционные видана. Ба»алова нроеюраненма веденные выше пространства можно обобщить, например: С (й» вЂ” й'") = (Г: 1(х) — ограниченное непрерывное отображение ~» в й»), $1)~=зпрЦ~~(х)1: х~ й», 1=1, 2, ..., еп); если функции комплекснозначны, пространство обозначается как С(м» С'"), Аналогично в пространствах 1р(ес» к») и Е (к»вЂ” Сы) каждая компонента )у(х) является вещественным или комплексным распределением йз вещественного или комплексного пространства 1У (И») и т ыо 11'1 = ~ ~ ~ ) ~~ (х) )Р йх 1=! и» Для любого банахова пространства В можно построить другое банахово пространство следующим образом.
Однопараметрическое семейство и(Т) элементов В (кривоя в В) называется непрерывной, если 1и (1+ 6) — и (Т)1- О при 6 — О для всех Тогда банахово пространство В,(а, Ь) определяется так: В,(а, Ь)=(и(Т) — непрерывная кривая в В: а(Т(Ь); для и~В,(а, Ь) 1и)= шах (и(Т)(1 о< г<о Пространства такого рода используются в 8 16.6 о неоднородных задачах с начальными данными.
15.В. НЕЗНВИВАЛЕНТНОСТЬ РАЗЛИЧНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ Напоминаем, что все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны, т.е. эквивалентны как абстрактные гильбертовы пространства. Для банаховых пространств это неверно. Например, легко убедиться в том, что пространства Ь' и 1.» (скажем, на к) неэквивалентны.
Так как С' — гильбертово пространство, для него справедливо правило параллелограмма (1.3.6), тогда как для Е' оно не выполняется, согласно 8 1.3. Поскольку правило параллелограмма касается только внутренних свойств (т.е. свойств абстрактных банаховых поостранств), то Л' и Ье не могут быть изоморфными. Кроме того, неэквйвалентны и 1,' и Ьр для любого р > 1, потому что пространство О' рефлексивно, а С' нет (см. 8 6.7), а рефлексивность также относится к внутренним свойствам. Можно доказать, что вообще при рчьг пространства Ее и Л' неэквивалентны, Выбор нормы в функциональном пространстве является делом главным образом физиков, поскольку этот выбор накладывает 1».9.
Линейные оператора ограничения на класс допустимых функций. Если функция ер(х) должна иметь конечное значение максимум-нормы, то она должна быть ограниченной; если она должна иметь конечную 1.»-норму, то она должна быть квадратично интегрируемой и т. д.
Неэквивалентность различных норм важна также и для сходимости, чего нет в случае конечномерных пространств, в которых все обычные нормы топологическн эквивалентны. Например, если ч— вектор с компонентами о„, ..., о„, то обе нормы ~', ч ~()„,„=- шах () о, (, ..., ( о „!) (',ч')»=((о,)'+... +)о„(')'1» определяют один и тот же тип сходимости, а именно ч — че тогда и только тогда, когда каждая компонента вектора ч сходится к соответствующей компоненте»«. Однако в функциональных пространствах разные нормы в общем случае неэквивалентны .и задача может оказаться корректно поставленной относительно одной нормы и некорректно поставленной относительно другой.
В задачах о волновом процессе и подобных ему процессах часто удобны нормы типа 1,»-норм, потому что в этих задачах энергия выражается через интеграл от квадрата некоторой полевой величины (или суммы таких квадратов); следовательно, для физически допустимых функций такие нормы конечны и остаются ограниченными в течение эволюции системы. 1$.Ф.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Многие понятия, связанные с линейными операторами, для банаховых пространств оказываются теми же самыми, что н для гильбертова пространства. Следующие понятия определяются так же, как и в гл. 7: линейный оператор А; область определения В(А); область значений е«(А); расширение; норма (А); произведение операторов; обратный оператор; собственное значение; собственный вектор; точечный, непрерывный и остаточный спектры; резольвентное множество; резольвента; график Г (А); замкнутый оператор; компактный оператор (но не оператор Гильберта— Шмидта или ядерный оператор). Понятий «симметрический», «самосопряженный», «унитарный», «нормальный» в банаховых пространствах нет. Нет и общей теории спектрального разложения, подобной той, что изложена в гл. 9. Выполняется теорема о расширении (ограниченный оператор имеет единственное расширение на все замыкание своей области определения без увеличения нормы); ее доказательство в Е 7А справедливо для любого банахова пространства, 384 Ги Уб.
Эволюционные задачи. Балахоны лросглранства Прнмвн ~ Пусть  — пространство СР(К, 2л) непрерывных периодических функций на К с периодом 2п, в котором в качестве нормы Я взята максимум-норма. Пусть Т вЂ” оператор, областью определенна которого Р(Т) является множество таких функций нз В, которые имеют абсолютно сходяшнйся ряд Фурье.
Если 1(х)= ~ Савел», то по определенню (Т1) (х) = ~ " вглх ) +лз л Здесь Т вЂ” ограннченный оператор с плотной в В областью определения; следовательно, нмеегся едннственное его расширение Т' с Р(Т')=В. В действнтельностн Т' можно представить как ннтегральный оператор вида (Т7) (х)= $ К(х — у) У(у)ду.
УпРАжнвнив К Найдите выражение для ядра К(х — у) в приведенном выше примере (оно не единственно). Порождает ли данная операция, скажем дифференцирование, ограниченный нли неограниченный оператор, зависит от выбора банахова пространства. Пусть  — пространство бесконечно днф- ференцируемых функций на К, таких, что величина .!)1()=зцрзпр Я,—,„) ~(х) ~: хЕК, у=О, 1, 2, конечна.
Несколько измененное доказательство полноты С(Кл), приведенное в ч 15.7, показывает„что В является банаховым пространством. В этом пространстве оператор дифференцирова- ния Т, заданный равенствами О (Т) = В, (77) (х) = (4г(х) ~ (х), является ограниченным линейным оператором. Заметим, кстати, что это банахово пространство, вероятно, не очень полезно, так как, например, оно содержит функцию з1пх, но не содержит функцию з)п(1+е) х при любом в > О. 1$.16.
линейные ФункциОнАлы. сОпРяженнОе ЛРОстРАнстВО Как и в гильбертовом пространстве, линейный функционал 1(и) на В ограничен, если конечна величина вег ))1)) зцр ((1(и) Ди))). и и*о 15.12. Скалярное процзаедение. Гильбертоеы пространства 38Б Множество всех ограниченных линейных функционалов на В с указанной нормой является другим банаховым пространством; оно называется сопряженным (к В) пространством и обозначается через В'. Согласно й 5.7, сопряженным к пространству типа 1,р является соответствующее пространство И, где (!(р)+(1/д)=1, а в соответствии с теоремой Рисса — Фреше о представлении нз 9 1.8 гильбертово пространство можно рассматривать как сопряженное самому себе. Упражнении 1.
Пусть  — пространство С(К) ограниченных непрерывных вещественных функций на К с максимум-нормой. Доказать изометричность сопряженного пространства В' пространству всех вещественных функций о(х) с ограниченной вариацией, определенных на К и таких, что о(0) =О, а а (х+О) =о(х); в качестве нормы функции а(х) из В' берется ее полная вариация на К. (Указание. Воспользуйтесь теоремой Рисса о представлении из 1 13,9.) 15.11. СХОДИМОСТЬ ВЕКТОРОВ И ОПЕРАТОРОВ Типы сходимости, определенные для гильбертовых пространств в й 1.9 и 9.9„все еще можно использовать, за исключением того, что для слабой сходимости выражения (о, ), являющиеся линейными функционалами в случае гильбертовых пространств, нужно заменить линейными функционалами 1( ) из В'.
Последовательность (нн) сходится к го сально, если ~)и„— го(- О, и слабо, если 1(ин)- 1(ги) для каждого 1 из В'. Последовательность (А„) ограниченных операторов сходится к А равномерно, если (~ А„— А (— О, сильно, если ((Ано — Ао(! — О для любого о~В, и слабо, если 1(А„) — 1(Ао) для любого оЕ В и любого 1Е В'. Слабая сходимость вам почти не потребуется. ° 5.12. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Напоминаем, что матрица А в задаче 9 15.1 симметрична для консервативных систем (т.е.
А,» — — А у для всех 1, й). Эта симметрия лучше всего описывается при помощи скалярного произведения х.у векторов, а именно матрица А симметрична тогда и только тогда, когда (Ах).у=х (Ау) для всех векторов х, у, потому что если это равенство расписать покоординатно, то оно примет вид „""., Арах,Уу —— ~ Ааухаду. А а ь а Иногда (но не для всех банаховых пространств) можно ввести аналогичные обозначения для В через скалярное произведение двух элементов из В, записываемое как (и, о), аналогичное ска- 386 Ге.
18. Эволюционные вадача. Банахоеы пространства лярному произведению векторов и обладающее теми же свойствами. Если скалярное произведение определяется в В так, что [и1=(и, и)н' (как и для векторов), то В является гильбертовым пространством (см. гл, 1). Среди симметрических операторов в гильбертовом пространстве важнее всего самосопряженные операторы, которые рассматривались в гл.
7 — 9. 15ЛЗ. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ В специальной теории относительности Эйнштейна нет однозначно определенной переменной времени 1. Однако теории относительности по форме инвариантны относительно преобразований Лоренца; следовательно, если задача корректно поставлена в одной системе координат Лоренца, то она оказывается корректно поставленной и во всех системах координат Лоренца. В качестве примеров можно указать уравнение Дирака и уравнения Максвелла (о них пойдет речь в следующей главе). Иногда нелегко выяснить, какое решение задачи с начальными данными в некоторой системе координат описывает ту же самую эволюцию физической системы, что и данное решение в другой системе координат. 15дв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
