Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

Нормой элемента А является его операторная норма ) А!!. 3. Определено ассоциативное умножение: если А, В, С принадлежат А, то А принадлежат также АВ и т. д.; (АВ)С= = А(ВС); /~~АВ/!(/! А~! //В//; (аА) (ЬВ)=(аЬ)(АВ). 2. Умножение дистрибутивно: А (В+ С) = АВ+ АС, (А+ В) С= = АС+ВС. 4. Инволюция А- А*определена так, что(А')'= А, (А+В)* = = А*+В', (АВ)*= В'А', (аА') =аА*. 5. )! А*А(=) А 1' (откуда следует, что )~А') =))А'1). 6.

В алгебре содержится единица 1, так что Ае'=!А=А. (Комплексная) В'-алгебра определяется как абстрактная алгебра, обладаюгцая свойствами 1 — 5. В данном кратком изложении мы допустим для нее также свойство 6 (существование единицы). Замечания. Иногда рассматривают соответствующие вещественные алгебры. Например, алгебра коммутирующих самосопряжеииых ограниченных операторов является одной из таких алгебр, если скаляры а, Ь ограничиваются вещественным полем !к. В случае некоммутирующих операторов нельзя избежать несамосопряженных элементов, ибо, допустив А*=А и В'= В, получим, что 360 Гл. 14. Вероятность и операторы э квантовой меканаке (АВ)'=АВ тогда и только тогда, когда АВ=ВА.

Известное равенство рд — бр=411 показывает, что в этом случае нельзя также избежать невещественных скаляров. Некоторые авторы, например Рикарт (но ие все), рассматривают В'-алгебру как абстрактную, а С'-алгебру как алгебру ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.

Основная теорема утверждает, что любую В'-алгебру можно представлять себе как С*-алгебру, т. е. что В*-алгебра изометрически изоморфна некоторой алгебре ограниченных линейных операторов в некотором гильбертовом пространстве (это соответствие неоднозначно). Эти алгебры являются частными случаями более общих банахоаых алгебр, возможно, не обладающих некоторыми из свойств 4, 5 и 6 (или всеми этими свойствами). Упплжн пни я Проверьте, что для ограниченных операторов 1АВ))чй))А( )~В(, и 'аАьА ~)=()А ))з 2.

Для В*-алгебры с единицей покажите, что 1ь=1, (~1))=1. Покажите, что (А-з)' (А')-з, если элемент А имеет обратный А-'. (Элемент В называется обратным А и обозначается через А — ', если АВ=1 и ВА =1) 3, Допустим, что Е( ) — некоторый вещественный линейный функционал, определенный для самосопряженнык элементов Вь-алгебры А.

(Например, в качестве Е( ) можно взять математическое ожиданяе Е( ), рассмотренное в предыдущем параграфе.] Для любого Аб-А, положив В=(А+А*)12, С= (А — А')1(21), определите Е,(А)=Г(В)+гг (С) и покажите, что Е,( )— линейное расширение (уже невещественное) на все элементы А. [В частности, покажите, что Р, (аА)=оЕ, (А) для любого комплексного числа а.) Теперь приведем без доказательства несколько основных фактов относительно В'-алгебр.

В любой банаховой алгебре А с единицей спектр элемента А, а(А), представляет собой множество всех комплексных чисел л, таких, что элемент И вЂ” А не имеет обратного в А. [Это согласуется с определением, данным в гл. 7, если А †алгеб всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве.| С нашей точки зрения, теория общих банаховых алгебр имеет следующий недостаток: если А — подалгебра банаховой алгебры В, то спектры данного элемента А относительно этих двух алгебр могут не совпадать, поскольку д7 — А может иметь обратный в В, но не иметь обратного в А. Поэтому надо различать ал (А) и ои(А). Однако в частном случае В'-алгебр с единицей и А~В в том смысле, что А †подмножест В и само является В'-алгеброй с той же единицей, той же нормой, теми же умножением и сопряжением, как и в В, спектры ол(А) и ап(А) совпадают для любых А в А.

Важность этого случая для квантовой механики очевидна, поскольку спектр А представляет собой возможные измеримые значения А, которые не должны зависеть от того, рассматривается ли А как элемент, принадлежащий А или принадлежащий В. 14.б. Алгебры ограниченных оагрлтороа 361 Если А — самосопряженный элемент (т. е. А'=А), то спектр А лежит на вещественной оси в плоскости )с.

Линейная функция Р на А называется ограниченной, если существует число [!Р![, такое, что (Р(А) [(()Р[[[!А(! для всех А. Элемент А называется положительно определенным„если его можно представить в виде В'В для некоторого ВЕА. Линейный функционал Р на А называется положительным, если для любого положительно определенного элемента А Р (А) †вещественн неотрицательное число, т. е. Р(В'В)) О для любого В. Можно доказать, что Р— положительный функционал тогда и только тогда, когда [!Р![=Р(г). Вспомним, что математическое ожидание Е( ) для наблюдаемых в квантовомеханическом статистическом ансамбле представляет собой положительный линейный функционал, причем Е(г')=1.

В абстрактной алгебраической формулировке квантовой статистической механики динамическая система описывается при помощи В'-алгебры А. Самосопряженные элементы А представляют собой наблюдаемые этой системы, и на них наложены различные (вообще говоря, нелинейные) связи, характеризующие данную систему: эти связи могут описывать, например, соотношения коммутации, зависимость гамильтониана от различных координат и импульсов и т. п. В свою очередь эти соотношения определяют алгебраическую структуру А. Ансамбль таких однг иаковых и невзаимодействующих систем тогда описывается положительно определенным функционалом Е ( ) на А, причем Е(г)=1.

Возможные измеримые значения наблюдаемой сб представляют собой точки спектра А, а ожидаемым значением А в данном ансамбле является Е (А). Упрлхсненне 4. Пусть д и р — координата и соответствующий ей импульс, как в упражнении 6 !4.4. В силу своей еамосопряженности унитарные операторы У(а)=ем" и )г([1) есчс вполне определены (см. $ 9АО) и ограничены и, следовательно, принадлежат С'.алгебре всех ограниченных операторов в Н. Покажите, что соотношение коммутации (14.4.9) можно записать следующим образом: ц (а) )г([)) ц ( — а) )г( — р) =е'йаз.

(14.6.!) Для атой цели допустите, что существует множество 5 векторов ф плотноа в Н, для которого вполне определены такие выражения, как ро У(сс) ф ит. п, (обратите внимание на упражнение 6 ниже.) Сначала покажите, что для таких ф — [Ц (сс) д — д У (сс)! ф = !р [У (а) 4 — 4Ц (аВ ф+ й У (сс) ф. бм Затем покажите, что вектор ф(а)=[У(сс)4 — чц(а)[ср удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению и тем же начальным условиям, что и вектор бац(а) ф. далее установите, что [У (а) д — д ц (а)1 ф =Ьац [а) ф 362 Гт )4. Вероятность и операторы а квантовой механика Наконец, покажите, что результат применения обеих частей равенства (14.6.!) кф удовлетворяет одному н тому же дифференциальному уравнению относительно переменной () н одним и тем же начальным условиям.

Классические соотношения коммутации для р и г) впервые были приведены к виду (14.6.1) Германом Вейлем. Затем фон Нейман [19311 в соответствии с предложением М. Стоуна доказал, что любые операторы р и г), удовлетворяющие соотношениям коммутации в форме Вейля, эквивалентны соответственно оператору (и)!) (г(уг(х) и оператору умножения на х, которые применяются к функциям от х. Точнее говоря, фон Нейман доказал, что если р и д — операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве Н и если полученные при их помощи у (сс) и )г((з) удовлетворяют (14.6.1), то Н можно представить в виде конечной нли счетной прямой суммы гильбертовых пространств Н„, и = = 1, 2, ..., каждое из которых инвариантно относительно р н д н может быть отображено на Ьз(зс) с помощью унитарного преобразования )в', такого, что И'рЖ' '=(Ь)!)(г(!г(х) и )Рг)(Р' '=-х (оператор умножения на х).

В этом смысле (й)!)(г()г(х) и х— единственно возможные представления таких операторов р и д с точностью до унитарного преобразования. Упплжнвния 5. Найдите явные выражения для У(а) и г'()3), когда Н=(.з(й), р = =(Д!!) (~Ь(х), 4 =х (области определения выбрать подходящим образом), и проверьте (14.6.!) непосредственно. В этом случаев качестве множества 3 можно взять иласс Шварца,К=а)е(к) пробных функций для распределений медленного роста; каждое фЕ,.т" принадлежит области определения любого конечного произведения операторов, взятых из множества (рт, 4", У(а), г'(р): все положительные целые т,п, все вещественные и,Я.

6. Покажите, что нельзя полностью избавиться от сделанного в упражнении 4 допущения о существовании множества В векторов ф путем рассмотрения следующего примера (Б. Мисра, частное сообщение). Пусть гильбертово пространство Н=(.а(0, 1), а р и 4 — самосопряженные операторы, определяемые уравнениими Р(р)=()Е)-'. !'Е)е, )(0)=)(1)); для )ЕР(р) р)=-(!г!' (производную !' следует понимать в смысле теории распределеняй), Р(ч)=Н, (л!)(х)=х)(х). покажите, что (рй — чр) ф=(вф для всех ф, принадлежащих некоторому плотному в Н множеству, тогда как (14.6.1) остается верным лишь для некоторых значений (). Заметим, что если фЕР(р), то чф и (г(())ф, вообще говоря, ке принадлежат Р (р).

Характеристики

Список файлов книги