Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Так как сумма вероятностей равна 1, мы имеем .~~ ~(ф,, ф)~е=1Ч!!!е для любого срЕН. (14,2,7) В силу теоремы 1 из э 1.6 отсюда следует, что векторы ф„..., ф„ образуют полную ортонормированную систему в Н. В этой модели Н представляет собой п-мерное комплексное векторное пространство )сн, причем каждый вектор ср имеет вид (14.2.1), Приведем теперь для п-мерного случая данную аксиому к такому виду, который допускал бы простое обобщение на случай бесконечного числа (быть может, непрерывно распределенных) измеряемых возможных значений Х наблюдаемой А. Впредь будем предполагать, что начальное состояние представляется нормированным вектором, т.
е. что 1ср1=-1. Пусть сх — конечный или бесконечный интервал в Р, и пусть й4 ф) =Линейная оболочка множества (фхс! )э = Ь), (14.2.8) 14.8, Вероятности; общий случай (11 беснонечнонерно) 351 т.е. М(съ) — подпространство п-мерного пространства, состоящее из линейных комбинаций тех собственных состояний, для которых соответствующие собственные значения лежат в Ь. Обозна'чим через Р (Ь) ортогональный проектор Н на М(ез); иначе говоря, если ер задан в виде (14.2.1), то Р (сл) ~р = н с1ф1. (14.2.9) Х еь В силу ортонормированности ф и нормировки ч из(14.2.6) следует, что распределение вероятйости определяется как Р(йбй) =1Р(Л) ~1, (14.2.10) что и является искомым видом аксиомы вероятности. Более того, если измеренное значение лежит в сз, то последующее состояние системы представляется вектором в области значений проектора Р(Ь), т. е. в М(Ь).
Пусть теперь съ и съ' — два любых непересекающихся интер. вала (елПсл' пусто). Из ортогональности ф следует, что М (й) ( М (Ь'), (14.2.11) или Р (Ь) Р (й') = Р (Л') Р (й) = О. (14.2.12) Наконец, соотношение полноты (14.2.7) эквивалентно следующему требованию: Р (Ь) = е', если ел=( — оо, оо), (14.2,13) так что М(к) =Н. Четыре последних соотношения (14,2.10)— (14.2.13) непосредственно переносятся на бесконечномерный случай. 14.3. ВеРОятнОсти: ОБщий случАЙ 111 БесиОнечнОмеРнО1 Для того чтобы обосновать аксиомы, рассмотрим следующую пару физических операций, повторяемых бесконечное число раз: 1) физическая система приводится в состояние ~р; 2) измеряется наблюдаемая 4.
Пусть )Р— измеренное значение Е (вещественное число), полученное прн 1-м повторении, а фю — конечное состояние системы. Для любого интервала съ на й определим М (Ь) = Подпространство пространства Н, порожденное векторами (4ге'. все 1, такие, что Хю~б). (14.3.1) Как и в конечной модели, мы допускаем, что )сп> однозначно определяется конечным состоянием Хг'", так что никакие два различных Х не могут соответствовать одному и тому же ф. Э52 Гл. л4.
Веранеинаееиь и ааератары а кеантаеаа механике Поэтому если Л, и Л,— непересекающиеся интервалы, то М(Л,) и М(Л,) — непересекаюшиеся многообразия, иначе говоря, они имеют в качестве 'обшего элемента лишь нулевой вектор. По дальнейшей аналогии с конечной моделью допустим, что любой вектор $ нз Н является возможным результатом измерения, так что все эти многообразия в совокупности порождают Н. Это делает возможным следуюшее определение проекторов Р (Л): пусть Л,, Л, и Ле†непересекающиеся интервалы, объединение которых совпадает с Й, например ( — оо, а], (а, Ь], (Ь, оь); тогда М(Л,), М (Л,) и М(Л,) — непересекаюшнеся многообразия, которые порождают Н.
Если произвольный х Е Н представлен в виде х,+х,+х„где х,~М(Л,), мы полагаем х,=Р(Л,)х (1= 1, 2, 3) и таким образом определяем проектор Р(Л) для произвольного интервала Л. Вскоре мы увидим, что Р(Л) являются пртпгпнальньеми проекторами. Итак, мы приходим к следующим аксиомам относительно распределения значенпй (Х) наблюдаемой А. 1. Для любого интервала Л на ес существует проектор Р(Л) (завнсяший от А), такой, что если начальное состояние есть ер((ер(=1), то Р(л чЛ) =(Р (Л) ер1" (14.3.2) 2.
Если в результате измерения А получается значение, лежащее в Л, то конечное состояние системы принадлежит многообразию М (Л) = А'(Р (Л)). Из этих аксиом следует, что если Л,, Л,— непересекающиеся интервалы, то Р(Л,)Р(Л,)=9=~ (Л,)Р(Л,), а если Л,~=Л„то Р(Л,) Р (Л ) =Р(Л)=Р(Л) Р(Л,). Следовательно, достаточно рассмотреть проекторы де! Ен,=-РИ вЂ” оо, Ае]) ( — оо <)о < оо), (14.3,3) поскольку тогда, например, Р((а, Ь])=Еь Е ° Покажем теперь, что эти проекторы ортогональны, т. е. являются самосопряженными операторами, так что, например, для непересекаюшихся интервалов Л, и Л, многообразия М(Л,) и М(Л,) ортогональны (см.
З 9,2). Пусть ер н ~р — произвольные элементы этих многообразий, соответствующих интервалам ( — оо, Л,] и (Л„оо), т. е. ер Е М И оо )~а]) Ф Е М И)~о оо)). (14.3.4) 74.4. Митемигииоеские ооиидинил. Область онределенин А 353 Если система первоначально находится в состоянии агр+1)ор (а и р — произвольные числа), то Р(Д(~)ьо)=уи +р рР, Р( ) о)=1 +рФР, (1435) )сир Р 1! Рой р откуда следует, что ~агр По+ ПРф ~Г = '1аер+Ртр 1о = (агр+$)тр, агр-(-ртр). Раскрывая скалярное произведение, получаем 2 Беар(йг, тр) О. Так как а и Р произвольны, мы имеем (гр, ф)=О, и поэтому многообразия (14.3.4) ортогональны. Следовательно, Ем, определенный в (14.3.3), является ортогональным проектором (см.
упражнение ниже). Видно, что семейство проекторов Ех( — оо < Х < оо) имеет все свойства разложения единицы (см. э 9.6). В частности, соотношения ЕА- 0 (снльно) при А — оо, Ех ! (сильно) при Х +с получаются из допущения, что и( всегда может быть измерена (или наблюдена), когда система находится в произвольном состоянии грр-'лт, и что полученное значение Х всегда является вещественным числом. Тогда формула А= ~ 41ЕА (14.3.6) определяет самосопряженный оператор А, который можно рассматривать как математическое представление наблюдаемой ий.
Возможные измеряемые значения Е составляют спектр оператора А. Из (14.3.2) видно, что если система находится в состоянии гр(1гр1=1), то функция распределения Х имеет вид ле1 Р()о) =Р(Л < ~о) =/!Ег гр)о=(гр Ех.гр) (14 3 7) В этом определении отражается основной физический смысл семейства проекторов ЕА.
УПРАЖНЕНИЕ 1. Покажите, что если области значений проекторов Р и 1 — Р ортогональны, то Р саиосоприжен. Темь мАтемАтические Ожидания. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ А В этом параграфе мы покажем, что область определения само- сопряженного оператора А, который соответствует наблюдаемой А, допускает следующую интерпретацию: данный элемент гр из Н 12 Риктиааер 354 Ге.
е4, Вероятность и операторы в квантовой механике принадлежит области определения А тогда и только тогда, когда распределение вероятности значений А имеет конечную дисперсию, если система находится в состоянии Ч). Функцией распределения измеряемых значений А, когда система находится в состоянии ер, является функция Р (.), определенная в (14.3.7). Поэтому математические ожидания получаются следующим образом: математическое ожидание или среднее самой величины А, обозначаемое через Е(А; )р), есть во) Е(А' Ч))= ~ Ы(Ч) Ех)р)=йо (14 4 1) дисперсия есть Е((А — Ло)' ф)= ~ (Л вЂ” Ло)од(Ч), Ехор), (14.4.2) н если 7( ) — любая непрерывная функция, то Е(! (А); р) = ~ 7(Л)е((р, Е р), (14.4.3) причем во всех случаях мы исходим из допущения, что интегралы сходятся при Л= ~ оо.
Согласно 3 9.10, если А — самосопряженный оператор, Ех— соответствующее ему разложение единицы, а 7(Л) — любая непрерывная функция, определенная для вещественных значений Л, то оператор 7(А) определяется следующим образом: во-первых, о о )А)) !о: 1 /) о)) е)о, е о) < ~ ))4.4 4) (эта область является плотной в Н); во-вторых, для любого ее А ф Е (! ( )) )(А)ер = ) 1(Л) е(Ео)р. (14.4.5) Поэтому интеграл в (14.4.3) сходится, в частности, если Ч)Е Е,Р(~(А)). Для таких Ч) интеграл в (14.4.5) сходится сильно, т. е.
представляет собой сильный предел в Н последовательности л интегралов ~ )(Л)е(Екер при и- оо. Следовательно, из(14.4.1)— — л (14.4.3) следует, что Е (А; )р) = ()р, Аср) для Ч) Е,Р(А), (14,4,6) Е ((А — Ло)" ер) =(ер (А — Ло)' ер) для ер Е В (А'), (14.4.7) Е (~(А);)р) = (ор, ~(А) ер) для Ч) Е.0(7(А)). (14,4.8) (Поскольку А может быть любой наблюдаемой, последние два равенства являются всего лишь частными случаями (14.4,6) для 14.4. Математическая ожидания. Область определения А Збб наблюдаемых (иг — )ьэ)' и у(ч) соответственно.) Вообще говоря, эти формулы могут быть взяты за основу аксноматической трактовки квантовой теории, но в некоторых отношениях предпочтительней трактовка, предложенная в предыдущем параграфе, потому что в ней существование самосопряженного оператора А, соответствующего наблюдаемой иу, следует из вероятностной интерпретации квантовой механики.
Более того, распределение вероятности, заданное формулой (14.3.7) для измеряемых значений А в состоянии р, вполне определено для любого ьр, а не только для ьр, принадлежащих области 1)(А). В силу формулы (8.8.5) гр принадлежит ая(А) тогда и только тогда, когда второй момент этого распределения конечен, т. е, когда дисперсия (14,4.2) конечна, как утверждалось в начале данного параграфа. В этом случае дисперсия равна)(А — й,) гр)Цгр))з, где 3.ь — среднее значение А, заданное посредством (14.4.1). Неопределенность А (или А) в состоянии гр есть квадратный корень иэ дисперсии (называемый в статистике стандартным отклонением). Неопределенность равна 1(А — Х,) гр)1 если гр нормирован н принадлежит Р(А), и бесконечна, если гр(1я(А). УПРАЖНЕНИЕ 1. В соотношении коммутации ре — др= — Й координата д н соответствуюшнй импульс р являются неограннченнымн операторами, н значит, это равенство не имеет смысла как соотношение для операторов.
Здесь имеется в виду, что для любого яР, прннздлежашего как области определения рв, так н области определения вр, т. е. для яРЕР(рв) ПР(вр), справедливо уравнение (ро — Вр) р= — )яяр (14А.9) Далее, чтобы придать этому соотношению достаточную силу, естественно допустить, что Р(рд) ПР (Вр) плотва в Н. Покажите, что если др н до — неопределенностя р н В в состоянии яр, то Арды мь Гя/2. (14.4.10) В качестве другой предельной снгузцнн рассмотркм случай, когда зр не принадлежат даже Р(р) ПР(д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
