Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 68
Текст из файла (страница 68)
И. Вероятность. Мера ~р'", ... на множествах 3„5м ... в данной алгебре. Тогда мы определяем Е ((р (х)) = ~ Фозр (Яг) (13.10Л) / =! при условии, что сумма сходится абсолютно; в противном' случае математическое ожидание не определено. Любая случайная переменная Ч~(х) является равномерным пределом последовательности (ть(х)) простых функций, и мы полагаем Е (<р (х)) = 1пп Е (<рь (х)). Это следует понимать так: может быть доказано, что или все величины Е(~рь(х)) существуют для достаточно больших й и их предел существует, или все они не определены. Кроме того, если этот предел существует, то оп одинаков для всех последовательностей (Ч~ь), сходящихся к р. На этом мы заканчиваем описание абстрактной концептуальной основы математической теории вероятностей; дальнейшее ее развитие см.
в томе 2 книги Феллера [!966). Теперь вернемся к конечномерному случаю и кратко рассмотрим вопрос о том, когда две различные меры определяют одинаковые измеримые множества. Такое равенство приводит к понятию абсолютно непрерывных функций и мер и к теореме Радона †Никоди. Мы обсудим в основном одномерный случай.
Как было указано выше, борелевы множества на [Е (или на [к") не зависят от выбора функции Р(х) (или Р(х)), использованной в определении меры р, но множества меры нуль, которые используются в пополнении меры, зависят от г. Поэтому интересующий нас вопрос можно поставить так: когда множества и-меры нуль совпадают с множествами лебеговой меры нуль и когда при двух заданных мерах р, и р„полученных при помощи функций г", и р„множества р,-меры нуль совпадают с множествами р,-меры нульр Теорема 1. Каждое множество на Е лебеговой меры нуль имеет и-меру нуль тогда и только тогда, когда 4ункцию Р(х) можно записать в виде интеграла Лебега к Р (х) = ) 1(х') дх .
(13.10,9) Тогда производная Р' (х) существует почти всюду и совпадает по апи всюду с 1 (х) . Феллер [1966) определяет Р(х) как абсолютно непрерывную функцию, если она может быть выражена в указанной форме, а данную теорему в несколько более общей формулировке он тЗ.Ю. Меры как функции множеств называет теоремой Радона — Никодима. Следуя этой точке зрения, мы назвали распределение вероятности Р абсолютно непрерывным 8 13.!), если ее функция распределения может быть выражена в виде (13.10.9). Для такого распределения данная теорема показывает, что если 5 — множество лебеговой меры нуль, то вероятность Р(х Е о) = О.
Утверждение приведенной выше теоремы применимо, однако, и к любой вещественной или комплексной функции Р(х) локально ограниченной вариации. Другое и чаще используемое определение абсолютной непрерывности формулируется следующим образом. Определение 1. Функция Р(х) называется абсомоглно непрерывной на И, если для любого е > 0 существует такое 6) О, что каждый раз, когда объединение конечного числа непересекающихся интервалов (а, Ь„) имеет лебегову меру, меньшую 6, т.
с. когда ~~~(Ьн — ан) < 6, выполняется неравенство ~и ~ Р(Ь„) — Е(а„) ( < а. (13.10.10) (13.10.11) Абсолютная непрерывность в интервале (а, ()) на К определяется аналогично. Эти два определения абсолютной непрерывности эквивалентны для конечного интервала, но не для всего к. Например, функция Ь'(х)=-х' может быть записана в виде (13.10.9), но не является абсолютно непрерывной в смысле определения 1, поскольку для любого 6) 0 мы можем найти такой интервал (а, а+6), что величина (а+6)' — а' произвольно велика, просто положив а достаточно большим.
Однако если дополнительно допустить, что полная вариация Р на В конечна, то из (13.10.9) следует абсолютная непрерывность. Обратно, если Р (х) абсолютно непрерывна на й согласно приведенному определению, то, вопервых, легко доказать, что Е(х) имеет ограниченную вариацию на Е, а во-вторых, из теоремы Радона — Никодима (которая будет сформулирована ниже) следует, что Р(х) можно представить в виде (13.10.9). Наконец, теорема Банаха — Зарецкого (см. книгу Натансона [1950)) утверждает, что если Р(х) имеет ограниченную вариацию иа к и р(5) =0 для любого множества Я лебеговой меры нуль, то Р(х) абсолютно непрерывна в смысле определения !. (Если Е(х) не имеет ограниченной вариации, то мера (с, разумеется, не определена.) В случае когда Р(х) является функцией Кантора, описанной в примере 6 Ч 13.! и изображенной на рис.
13.7, было показано, что для любого 6 > 0 можно найти конечную совокупность открытых интервалов на И с общей длиной, меньшей 6, но та- Гл. »З. ' Вероятность. Моро кую, что Р(х) возрастает только в этих интервалах. В этом случае сумма в (13.10.11) равна 1 и поэтому Р(х) не является абсолютно непрерывной.
Было также указано, что Р' (х) = 0 почти всюду. Таким образом, правая часть равенства (13.10.9), рассматриваемая как интеграл Лебега (а это единственно возможная интерпретация), является константой и, следовательно, не равна функции Р(х). В теореме Радона — Никодима лебегова мера заменяется произвольной положительной мерой р» на»». Определение 2. Мера р, на й называется абсолютно непрерывной относительно положительной меры рь если для любого е ) 0 найдется такое 6 ) О, что каждый раз, когда объединение конечного числа непересекающихся интервалов бя имеет меру рп меньшую 6, т.
е. когда ~~(к»(Ля) =~",Р»(Ьь) (6, выполняется неравенство 2», ( !ьь (йь) ! = ~ ( Р, (Ьь) ( < е. (Заметим, что ~р» (Ль) можно было бы записать как ~(р»(6 )( в силу положительности меры р».) Теорема (Радон — Никодим). Если р, абсолютно непрерьина относительно р», то Р, можно записать в виде к Р, (х) = ~ ~ (х')»(Р» (х'). В й 14.8 мы встретимся с применением этой теоремы к одному из представлений некоторой физической системы, в которой данная наблюдаемая диагональна.
В многомерном случае имеет место все то же самое, за исключением того, что»1я представляет собой прямоугольный параллелепипед (также называемый интервалом в ь»к), Р(Л ) опреде. ляется так же, как в э 13.3, а равенство в теореме Радона— Никодима имеет вид к~ ко Р,(х) = ) ... ) ) (х')боР,(х'). Вариант этой теоремы для абстрактных пространств см. в книге Халмоша (1950) или в книге Данфорда и Шварца [19бб), Теперь мы можем ответить на вопрос, с которого мы начали данное рассмотрение: достаточное условие того, что две меры р, и р, определяют одинаковые множества меры нуль, состоит в их положительности и абсолютной непрерывности одной относительно другой. /З,Ы.
Вероятяоапь в еиаьбертовом пространстве Упрджывння 1. Пусть /(х) и Р(у) — абсолютно непрерывные функции. Покажите, что г(/(х)) абсолютно непрерывна, если /(х) монотонна или если г (у) непре- рывна по Липшнцу. 2. Покажите, что если ((х а!п (!/х))а при х ~ О, О при х=о, г" (у) =ут/а (вешественный корень), то /(х) и Р(у) абсолютно непрерывны в ( — 1, 1), тогда как Р(/(х)) таковой не является. Почему ато не вступает в противоречие с упражнением 1? Заметьте, что интегралы ! к, — Г(/(х)) бх, ) — Р(/(х)) бх Г ке -! расходятся при хе=о как интегралы Римана, причем ве спасает положение и рассмотрение их в смысле Лгбега. 1ЗЛ!. ВЕРОЯТНОСТЬ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА.
ГАУССОВЫ МЕРЫ Мы представим здесь некоторые простейшие соображения относительно мер в топологических векторных пространствах для того, чтобы проиллюстрировать идеи, высказанные в предшествующем параграфе, н чтобы показать нечто из того, что может происходить в бесконечномериом случае. Дальнейшие подробности см, в книге Гельфанда и Виленкина [1961]. В коиечномерном пространстве Е" лебегова мера т обладает тем свойством, что она одинакова для конгруэнтных множеств: если 5 измеримо, а 5' получено из 5 сдвигом и вращением в Е", то т(5')=т(5).
Если ьс — открытое множество, то т((е) представляет его объем; поэтому если ье также ограничено и непусто, то О < т (ьс) < оо. (13.11.1) В бескоиечномерном случае нельзя найти меры, обладающей этими свойствами. Пусть (!р )",— полная ортонормированная система в сепарабельном вещественном гильбертовом пространстве Н. Для любого хЕН мы записываем х= ~~ х,|р„ »=1 и называем х» координатами х. Рассмотрим ограниченные открытые множества ьс! = ) х: О < х, < 1//г, /г = 1, 2, йт/а=(х: О < х„< 1/(2й), й=1, 2, ...).
310 Рм 1З. Вероятность. Мера При помощи сдвигов множества ь),1ь в различных направлениях мы можем породить бесконеяное число непересекающихся копий этого множества в Яо Поэтому если т(0,1,) ) О, то т(ь1,)= ьь, а, с другой стороны, если т(11,) ( оь, то т(11,1ь)=0, и, таким образом, условие (13.11,1) нарушается. Отсюда следует, что в Н нет понятия объема н понятия плотности вероятности. Однако существуют распределения вероятности, включая непрерывные, основанные на так называемых цилиндрических множествах, которые, согласно Гельфанду и Виленкину, были введены Колмогоровым в 1936 г. Если М вЂ” любое конечномерное подпространство Н, а 5— любое борелево множество в М, то множество г=5+М-, т.
е. множество всех точек х+у из Н, где хЕ5, а уЕ Мз-, называется цилиндрическим множеством, 5 — его основанием, а Мх — вбразуюи1им подпространством. (Если бы М было двумерным, а Мх — одномерным, то с представляло бы собой обычный трехмерный цилиндр, но в приведенном выше определении М.~, конечно, обязательно является бесконечномерным подпространством.) Говоря, что 5 — борелево множество в М, мы имеем в виду обычную топологию М, которое изоморфно Р" для некоторого т. Борелевы множества порождаются операциями дополнения (относительно М) и счетного объединения, исходя из открытых множеств пространства М, Основание 5 и образующее подпространство Мх цилиндрического множества Л неоднозначно определяются этим множеством, Например, мы всегда можем заменить подпространство М на большее подпространство М' (т.
е, подпространство большей размерности), которое содержит М, а затем заменить множество 5 на множество 5' в М', задав это множество в виде 5+(М'ЯМ), где М ЯМ' означает ортогональное дополнение М в М'. Ясно, что 5'+М'х совпадает с 5+Мх. Из этого следует, что любые два цилиндрических множества Л, и Л, (или любое конечное число таких множеств) могут быть описаны как имеющие основания в общем конечномерном подпространстве М и имеющие общее образующее подпространство Мх. А именно, если М, н М, являются подпространствами для Яг и Л„то мы принимаем за подпространство М линейную оболочку М, и М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
