Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 67
Текст из файла (страница 67)
(х) Р (х) ! щ К Р ! ф (х) й откуда (<А ф>)~К анр ! ф (х) !, что и требовалось доказать. Если <), ср> рассматривается как значение интеграла ) 1(х)ср(х)с(х я обобщенном смысле, то расширение области определения функционала <), ° > сводится к расширению понятия интеграла вида й ) г'(х) д (х) с(х. м Если у — произвольное распределение Шварца, то этот интеграл Определяется только для НАЕС,"; если г — распределение медленного роста, то интеграл определяется для всех дЕеУ; если мера, то интеграл определяется для всех дЕСе; если у — ограниченная мера, то интеграл определяется для всех ограниченных непрерывных функций д; если ~~(.е, то интеграл определяется для всех дат.я.
Аналогичные замечания можно сделать для распределений на Р'. 13.10. МЕРЫ КАК ФУНКЦИИ МНОЖЕСТВ )((атематическая теория вероятностей обычно трактуется как ветвь теории меры. Хотя это и не обязательно для большинства приложений, включая рассматриваемые в этой книге (где выборочное пространство конечномерно), в этом параграфе предлагается краткое введение в классическое представление с точки зрения теории меры.
Это делается из-за того, что, во-первых, читатель может встретиться с таким подходом в литературе, а во-вторых, .это единственно возможный подход к некоторым бескоиечномерным задачам, например когда каждое событие является некоторой траекторией в пространстве-времени и совокупность всех таких траекторий представляет собой бесконечномерное пространство. Гя. /З, Вероятность. /нера где Р(х~-О) означает предел Р(х ~ е) прн е(0. Замечание 1.
На самом деле необходимо лишь определить (ь(Л) для открытых интервалов, поскольку меры дополнений измеримых множеств определяются ниже. Замечание 2. Мера вырожденного интервала [а, а), содержащего одну точку, вполне определена и может быть положительной. Если полное изменение функции Р равно единице, так что Р можно рассматривать как функцию распределения некоторой случайной переменной $, то р(б) представляет собой вероятность того, что $ лежит в Л.
Мы хотим расширить это понятие так, чтобы р(5) представляло вероятность того, что $ лежит в 5, где 5 — более общее множество. Если Л, и Л,— любые непересекающиеся интервалы, то ясно, что р(Л,(1бе) должна быть определена как р(Л;)+р(Л,). Так как объединение любых двух интервалов всегда можно записать в виде объединения двух непересекающихся интервалов, то мера р(б, 0 Л,) определена для любых /ьг и бе, а именно не превышает р(Л,)+р(бь).
Отсюда следует, что р(5) определена в случае, когда 5 — любое конечное объединение интервалов. Если 5 — счетное объединение Й Ь/, /=) / я то р~ 0 Л/) является неубывающей функцией п и определяется ,.1 как р (5) = 11ш р ~ 0 Ь/) . ль ~/ ь (13.10.2) Замечание. Если полное изменение Р на ьс бесконечно, а 5— неограниченное 'множество, то р(5) может быть бесконечной. Тогда предположим, что множество 5= (1 5/ содержится в ни~=1 тервале Л, и обозначим через 5' дополнение 5 относительно Л, т. е. множество всех точек, которые принадлежат Ь, но не при- Напомним, что неубывающая функция Р(х) на ьс определяет некоторую (положительную) меру на к, Классически мера опре- деляется следующим образом: каждому множеству 5 из некото- рого класса точечных множеств на Й ставится в соответствие неотрицательное число р(5), и р(5) является мерой множества 5.
Мера интервала определяется так: )ь(/ь)=Р(Ь вЂ” О) — Р(а+О), если Л=(а, Ь), р(Ь)=Р(Ь+О) — Р(а — О), если А=[а, Ь"), р (Л) = Р (Ь+ О) — Р (а+ О), если Л = (а, Ь), (1 3.10.1) р(Л)=Р(Ь вЂ” О) — Р(а — О), если А=[а, Ь), 1а.10. Мира кан функции множеснм надлежат 5. Вероятностное представление показывает, что должно быть р(5')=р(б) — р(5), даже если само 5' не является счетным объединением интервалов. Например, 5 может быть плотным в гз (так что 5' не содержит никаких невырожденных интервалов), хотя 5' все еще несчетное множество. Описанная процедура, повторенная бесконечное число раз, определяет р(5) для всех множеств 5, принадлежащих борелеву классу (или полю) В множеств на Е.
Этот класс представляет собой наименьший класс множеств, таких, что 1) каждый интервал содержится в В, 2) счетное объединение множеств из В принадлежит В, 3) дополнение множества из В также содержится в В. Мера р является функцией множеств, определенной для всех 5 из В, причем р(5)) 0 для всех 5 из В и р ( 0 51) ~ '«~ р (5 ), 1 — ! (13.
10.3) р( () 51Д)= ~ч~~р(51), если 51 попарно не пересекаются. ~с1 1 / (-~ Множество 5 имеет меру нуль, если для любого е> 0 5 может быть вложено в борелево множество 5' меры, меньшей нли равной а, или, что эквивалентно, в открытое множество 5' меры, меньшей или равной е, как это утверждалось в $ 13.1. Если 5 — любое множество, отличающееся от борелева множества 5, на множество меры нуль (т. е. если множество 5 может быть получено из 5, выбрасыванием точек множества 5, и добавлением точек множества 5„причем 5, и 5, имеют меру нуль), то р(5) определяется как р(5,). Этот последний шаг известен как пополнение меры, а множества 5, получаемые таким образом, называются измеримыми или р-измеримыми множествами.
Заметим, что класс борелевых множеств не зависит от выбора функции г, тогда как класс множеств, имеющих меру нулю зависит от выбора Р. Если г" постоянна в интервале съ, то р (б) = О, даже если длина интервала отлична от нуля. С другой стороны, если Р имеет скачок при х = $ и если через ($) обозначить множество, состоящее из единственной точки $, то р((Ц)) О. Если Р(х) =х (в этом случае мера любого интервала совпадает с его длиной), то мера р называется лабеговой мерой и часто обозначается через и.
Известно, что существуют множества 5, которые неизмеримы в смысле Лебега. Если такое 5 лежит в интервале, в котором функция Р, определяющая меру (г, постоянна, то 5 является р-измеримым и р(5) =О. Следовательно, класс измеримых множеств зависит от р (т. е. от г), а класс борелевых множеств не зависит. Гл. 13. Вероятность. Мера Если Р— вещественная функция локально ограниченной вариации, причем не обязательно неубывающая, то р — вещественная (не обязательно положительная) мера на и. Если Р— комплексная функция локально ограниченной вариации, то р — комплексная мера на Е. Общий п мерный случай мы опишем для и = 2.
Пусть Р=Р(х, у)— неубывающая функция на плоскости Е» (см. э" 13.3). Сначала при помощи Р определим меру р для открытых множеств. Пусть Й вЂ” любое открытое множество на плоскости, н пусть А(11)— множество допусгпилсых функций для ьт а именно вещественных функций ср(х, у), таких, что 1) ч~(х, у) непрерывна на всей 2) ср (х, у) = 0 для (х, у) $2, 3) ~р (х, у) (1 на всей Е». Тогда р((1) определяется как р (ь«) = зцр ~ ~ ф (х, у) й»Р (х, у). о«А(И1 аь [Такой двойной интеграл Стилтьеса непрерывной функции ср относительно неубывающей функции Р мы обсуждали в Э 13.3.1 Функция ч может быть сколь угодно «близкой» в некотором смысле к характеристической функции множества Й, т. е. к функции, равной 1 на й и равной нулю вне Я. Это подсказывает, что (13.10.4) следовало бы записать в виде в (11) 1 1 й»Р(х у) (13.10.5) Легко проверить, что это верно, если й — такая область (прямоугольник, круг, эллипс, треугольник, кольцо и т.
п.), для которой известно, как определить данный интеграл. В противном случае (13.10.4) можно рассматривать в качестве определения для (13.10.5). Если Р(х, у) =х+у, то р является лебеговой мерой на Е», а р(Й) представляет собой площадь области Й и может быть записана как )) йхйу. Если Р†функц распределения случайных переменных $, ть то р (Й) — вероятность того, что точка ($, «1) лежит в й. Начиная с этого места, рассуждения совпадают с проведенными для Е, за исключением того, что «интервал» всюду заменяется «открытым множеством». Борелевы множества в Е«суть множества, которые могут быть получены из открытых множеств операциями дополнения н счетного объединения (а следовательно, также и счетного пересечения).
Функция множества р(5), определенная, как описано выше, для борелевых множеств, обладает свойствами (13.10.3) и называется положи«лелькой мерой на Е». В абстрактной теории начинают с абстрактного выборочного пространства Ю (множества иначе неопределяемых точек х, кото- И.«0. Меры как функции множеств Ззз Е(ф(х)) = ~ ф (х)йР(х). (13.10.6) Для того чтобы определить такой интеграл в абстрактном ве- роятностном пространстве, мы ограничимся следующим классом функций ф: Определение. Функция ф (х) называется случайной переменной на вероятностном пространстве (Я, А, Р), если для любого вещественного 1 множество всех х, для которых ф(х) (г, принадлежит о-алгебре А, Замечание.
х обозначает неопределяемую точку в абстрактном пространстве Я, но если в Я введена какая-либо разумная система координат (конечномерная или бесконечномерная), то каждая координата точки х является случайной переменной в полном соответствии с предыдущими параграфами. Поскольку Р— положительная мера, в данном контексте нет необходимости использовать полную теорию интеграла Стилтьеса в абстрактных пространствах с мерой для того, чтобы интерпретировать (13.10.6). Вместо этого мы поступим следующим образом (см. книгу Феллера 11966, Э 1НА)): прежде всего «р(х) — простая функция, если она принимает значения рые называются собьипиями илн выборками и мыслятся как возможные исходы пробы нли эксперимента) и с так называемой о-алгебры А подмножеств 8; это такая совокупность подмножеств, что дополнение любого Я в А также принадлежит А и что если (5„) — любая счетная совокупность множеств в А, то объединение и пересечение этих множеств (Б„) принадлежат А. Тогда на Л задается некоторая неотрицательная функция множества Р, для которо Р(о) =! и которая является счетно аддитивной; это означает, что если (5„1 — счетная совокупность непересекающихся множеств в А, то Р(113„) = ч~~ Р(5„).
(Если опустить слово «непересекающиеся», то «=» следует заменить на «(».) Тройка (Я, А, Р) называется вероятностным пространством (см. книгу Феллера 11966]). Функция Р (5) рассматривается как вероятность того, что исход пробы является одной из точек множества 5. Если 5— топологическое пространство, а А — наименьшая о-алгебра, содержащая открытые множества из Я, то этн множества в совокупности А называются бврелевыми множествами пространства Я. Иногда используют иную терминологию и называют о-алгебру «борелевой алгеброй», или «о-полем», или «борелевым полем». Если ф(х) — вещественнозначная функция, определенная на Я, то ее математическое ожидание хотелось бы определить как интеграл Стилтьеса Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
