Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Например, распределение )(х) =6(х — х,) можно рассматривать как функционал, определяемый в виде <Г, «р>=«р(х,) для всех непрерывных ф; в этом случае поточечная сходимость ф~ к «9 гарантирует сходиыость <~, «рт> к <), ф>. В последующих рассуждениях тип сходимости пробных функций в К" будет ослаблен так, чтобы выделить класс распределений, называемых мерами, и окажется, что любое распределение этого класса может быть представлено в виде (13.3.18), где Р(х) — произвольная функция локально ограниченной вариации. Тогда область определения функционала будет расширена, чтобы включить все непрерывные функции ф(х) с ограниченным носи.телем.
с, Определение 1. Запись «рт — ф означает, что, во-первых, функции (ф~(хЦ имеют носители в некоторой общей ограниченной области в Р' и, во-вторых, «ру(х)- «р(х) равномерно в «к". Замечание. Это определение совпадает с определением схо- Ж димости ф — «р, за исключением того, что не требуется сходимость производных «ру(х). Далее это определение будет применено вообще к пробным функциям из пространства С„которые непрерывны, но не обязательно дифференцируемы. Определение 2, Мерой на й" называется распределение на й», такое, что функционал <Г, > непрерывен по отношению к только что определенному типу сходимости, т.
е. такое расс, аределеиие, что из ф~- ф следует <~, «ру>- <1, ф>. Гл. /3. Вероятносшь. Мера 328 В частности, вероятностная мера /, определенная с помощью (13.3.18), является мерой, поскольку если последовательность ~р/(х) сходится равномерно к ф(х), то ! </, езу) — </, ф) ! (ьпр ) гру (х) — ф(х) ( ') </ьр (х), (13.9.1) з и" но правая часть неравенства стремится к нулю при / — со, так как ~ с(зР(х)=1. Таким образом, / есть мера. Распределение / на й", такое, что / ".О на всем Рь, назы- вается положительным.
Теорема. Положительное распределение / на й» есть мера (следовательно, б(х) — мера, тогда как б'(х), б" (х) и т. д. не являются мерами). Доказательство. Допустим, что (тэ) н ф прннадлежат ""'Сэ н такоСь вы, что ~ра — ~ ф. Нужно показать, что </, ма) — ь </, ф); тогда то же будет справедливо н для последовательностей в 'э"Сэ.
Пусть у — неотрнцательная функция в Сэ, причем у (х) =1 в области, содержащей носители всех ф» н ф„ Эададнм произвольное з > О. Для достаточно большого Ь вЂ” ед (х) < ~ра (х! — ф (х) < ед(х!, откуда следует, что обе функции зу -ь (фз — ф) неотрнцательны н а </, х> ~ 1</, еь> — </, ф>! ~ о, так как / — положительное распределение; поэтому </, $а> — ь </, ф>.
Более того, распределеняе /, определенное через интеграл Стнлтьеса (13.3,18), является мерой, дажа если Р не удовлетворяат требованиям (13.3,15) н (13,3.16) зля функции распределения, а лишь предстааляетсобой любую(вообще говоря, комплексную) функцню локально ограниченной варнапня. Согласно пряложенню к этой главе, Р можно записать как Р,— Рз+!Рз — !Рм где каждая Ра (х) — неубывающая функция.
Тогда любое нз </, <рт>, </, ф> можно разложнть на четыре члена, для каждого яз которых выполн яется (13 9. 1) после замены ) на ~, С! где (з — параллелепипед, содержащий носители всех шр Таким образом, / является мерой. Согласно теореме Рисса о представлении, которую мы сейчас сформулируем без доказательства, любая мера может быть приведена к виду (13.3.!8) путем надлежащего выбора функции Р(х). Поэтому в одном измерении любая мера / на В является производной Р' (в смысле теории распределений) функции Р(х) локально ограниченной вариации. В и измерениях / = д"Р/дх,...дх„.
Теорема (Рисс). Если / — мера на Р.", т. е. если функционал св </, ) непрерывен относительно типа сходимости —, то суще- 1зль меры ствует функция о(х) локально ограниченной вариации, такал, что <1, ор> = ~ ор (х) йез (х) оо р 6 С, (й"). (13.9.2) Более того, если о нормирована условиями о(0)=0, о(х)=1цпо(х-1-в) е-оо о)о (или каким-либо другим способом), то о — единственная для за- данной меры Г (е > 0 означает, что ег ) 0 для 1= 1, ..., и). Первоначальная формулировка теоремы Рисса, относящаяся к 1909 г. (см. книгу Рисса и Секефальви-Надя(1953, з 501), охва- тывала случай конечного интервала (а, о) в одном измерении. Приведенная здесь теорема рассматривается, например, в книге Лорана Шварца (1950, 9 1.11 (см.
также книгу Рисса и Секе- фальви-Надя (1953, з 59]). Соответствующая теорема для меры на абстрактном компактном хаусдорфовом пространстве приве- дена в книге Даифорда и Шварца (1966, 9 1У.6.31. Теперь покажем, что если 1 — мера, то область определения функционала <1', > может быть расширена от С," до класса С, всех непрерывных функций с ограниченным носителем на ке, причем функционал остается непрерывным относительно опредес, ленного выше типа сходимости Сначала доказываем, что 1 локально ограничена. Затем вспо- минаем, что линейный функционал в банаховом нли гильберто- вом пространстве непрерывен (относительно сходимости по нор- ме этого пространства) тогда и только тогда, когда этот функ- ционал ограничен.
Здесь мы имеем несколько более слабое утверждение: Лемма. Если линейный функционал <1, ° > на ос" непрерывен в смысле определения 2, т. е. если г является мерой, и если 1)в ограниченн я область в ос", то найдется такая постоянная к=к(а), ( <1, ор> ( «= К (й) зц р ! ор (х) ( к для всех пробных функций ор с носителем в 11. Доказательство от противного предоставляется читателю в ка- честве упражнения. Теорема о расширении, Если 1 — мера, то область определе- ния функционала <г', ° > может быть расширена, чтобы вклкгиипь все функции ор из класса С,: расширенный функционал, скажем <)о ° >, остается непрерывным в том смысле, что если д„(х) и с, д(х) принадлежат С, и д„(х) — й(х), то <)ьйе>- <1ь д>. Это расширение единственно.
Гж 18. Верояшносшь. Мера Доказательство 1члстичноиь нужно для любой заданной функцию в=в(х)цС определить <рь а>. Пусть (ф»(х)) — последовательность функций из С" с носителями в ограниченной области Я (которая содержит носитель л). Зта последовательность такова, что т»(х) -ьд(х) равномерно для всех х, ю построена, например, при помощи применения операторов сглаживания к у (см. й 2.6). Тогда по лемме ) <Е фа> — <Е чч> ) ~(< (И) зпр ) фа (х) — фг(х) ), откуда следует, что (<Г", чг»>) — числовая последовательность Коши.
Определиьз <)ь л>= 1пп <Е ю»>. Упрлжнинии 1. Завершите доказательство, установив, что: 1) если (ф»(х)) — любая другая такая последовательность, тоже сходящаяся рнвномерно к л (х), то последовательность (<К ф„>) имеет тот же предел, что н (<Е ф»>); 2) определенйый вами функционал <)г, > линеен; 3) если я (х) цС», то <ГЬ д> = <Е а>; с, 4) если д»(х) н д(х) пРинадлежат се и и» вЂ” д, то <Рь л»> — </1, д>; 5) если <йь > — любой другой функционал на Ср, обладающий теми жю свойствами, что и фУнкцнонал <)1, >, то )1=ге.
Индекс у 11 обычно опускается, кроме тех случаев, когда необходимо отличать функционал <1, > от его расширения. Для данного класса распределений имеется естественное про:- странство пробных функций. Для класса распределений Шварца этим пространством является Ср =Ю, для распределений медленного роста †пространст г, для мер †пространст С„ для распределений в Ьз (гл. 5) †са Ьз.
В каждом из этих примеров мы имеем некоторое пространство Х пробных функций с х типом сходимости —, причем С," является всюду плотным вложением в Х. Это означает следующее: 1) для функций иъ и х С," ~р,,— ф влечет <р — Чг; 2) для любой $ункцин < из Х существуют функции фу~Се", такие, что зру-')(. Непрерывный линейный функционал йа Х определяет ограничение на С," и, с другой стороны, полностью определяется своим ограничением, которое является распределением в смысле гл. 2. Мы называем Х естественным пространством пробных функций для таких распределений.
Мера 1 называется ограниченной, если существует такая постоянная К, что 1<), гр>~(Кзцр)гр(х) ! для всех ф~С,. (Согласись лемме, каждая мера локально ограничена.] Следствие теоремы о расширении. Если ~ — ограниченная мера, то область определения функционала <1', ° > может быть раси<ирена на все С (пространство ограниченных непрерывных функ ций), причем норма функционала <1, ° > сохраняется.
И.10. Меры кня функции множеств Доклзлтвльство для одного измврниня. Дано ф~С, нужно опреде. лить <А ф>. Пусть хи(х) — непрерывная функция, равная 1 при ! х!~н, равная нулю при )х!)н+1, линейная при — и — 1<х< — и и при н<х<н+1. Тогда для любого н Т (х)ф(х)~С . Распределение 1 и функция ф могут быть представлены яаи 1=11 У,+1(,— 1У„ф= Рт — фа+(фа — 1Ра, тде 11 и фс нептрицательНЫ. ДЛя ЛЮбых с, 1 <сс, тифс> Является ограниченной йеубывающей функцией н, и, следовательно, существуат предет <А Тиф>, который мы н примем в качестве <А ф>. далее, !<Е, Кнф>! = К Р ! Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
