Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 61
Текст из файла (страница 61)
13. Взрншвлосаь. Мера чение фр юп Π— с вероятностью и — аа, ...„значение ф в!п пΠ— е вероятностью ека(1 — а) н т. д. Функции распределеяня Р(х)=Р(фч х) имеет вид г" (х)= ~~~ ~и" (1 — а) фраз)пей~к)! а=в здесь суммирование проводится по всем таким и, что фаин ай ж;х.
Если 0- иррациональное кратное ц, то Г(х) имеет бесконечно много скачков, плотно распределеннык в интервале [ — фе, ф ), Ппиыцп в (фуннцня Кантора» Предположим, что цифровая вычислительная машина имеет приспособление (использующее радиоактивный распад, тепловой шум или что-либо подобное), которое бесконечно генерирует по требованию последовательность независимых случайных чисел хы хы ..., равномерно распределенных иа отрезке Рнс. !3.?. Функция Кантора. (О, 1); этп числа бгр!тся з качестве значений случайной переменной с, Допустим, что каждое число х выражено з виде бесконечного двоичного разложения х=О. абсз..., (13.
1,9) где каждая ць',ра а. Ь, с, Н, ... имеет значение 0 или 1, х(опустим также, что в вы ~ислительной машине кмеется подпрограмма, преабразующзд. каждое такое х в число д =О. ааЬЬсоЫ... (1 3.1,10) путем дублнрования каждой цифры; числа д принимаем в качестее значений другой случайной псрсменной т). Легко зайти функцию распределения г для переменкой т), Любое число у вида (13.1.!0) обязательно либо меньше 0.01 = э?о либо больше (пли равно) О,! ! =з?е в зависимости от того, меньше х 0.!=э?з 13.!.
Одномерлма распределения аерояшяосшеб 303 либо больше этой величины (нли равно ей). Поэтому г"(у) имеет постоянное значение л/з при л/л~ ды э/л. Аналогично г"(у) имеет анзчение '/, при ~/гав д~ /по значение '/, при м/лл~д~м/!в и т. д. Если у имеет вид (13.1.!0), где цифры попарно равны в бесконечном 'двоичном разложении, та для такого у Р (у) = О.аЬс..., т. е. Р (Ч < у=О.ааЬЬсс...) =О.аЬс.... (!3.!л О Если у не представляется в виде (!3.1.!0), то это значение лекит в одном из интервалов постоянства р, описанных ныше, Сумл|з длин всех интервалов постоянства г" равна ! 1 1 — +2 ° — +4 ° — +...
+,— +... =1, 2 8 32 '' 2" т. е, эти ннтервзлы заполняют интервал 10, 1], а то, что отбролпено, имеет меру нуль. С другой стороны, г" непрерывна, поскольку: (1) если дэ владеет гид (13.!.!0), то утверждснне у де с очеьиднастью влечет зз собой х х„ в соответствии с (13.1.11), (2) любое другое ув принадлежит интервалу постоянства, а следовательно, тем более интервалу непрерывности функцви г". Графин фувкцнн г" (у) изображен на рнс. 13.7.
Отступление по поводу множеств меры нуль Множество Я на й имеет леру нуль, если оио может быть покрыто совокупностью интервалов, сумма длин которых произвольно мала. Например, пусть 5 состоит из рациональных чисел в (О, 1). Они могут быть записаны в виде последовательности а„а„сс„..., например, так: '/ы "/„'/„'/,, '/4, '/„з/„'/„.... Лля любого заданного е > О сз, может быть заключено в интервал длины е/2, ссэ — в интервал длины е/4, ..., а„— в интервал длины е/2" и т, д.
Эти интервалы покрывают 8, а сумма их длин равна е. Следовательно, рациональные числа образуют множество меры нуль. Если в примере 6 отбросить первые 1+2+4+... +2" ' интервалов постоянства функции Р(у) (взятых в описанном выше порядке), то остаток интервала 10, 1] будет состоять из интервалов с суммарной длиной, равной !/2", что может быть сделано произвольно малым при достаточно большом и. Таким образом, множество значений у, в которых г' не является постоянной, имеет меру нуль. Иначе говоря, производная г'(у) существует и равна нулю везде, исключая множество меры нуль, Если некоторое соотношение справедливо на всем ас, исключая, возможно, множество меры нуль, то говорят, что это соотношение справедливо по«гпи всюду (нли пои!пи везде).
При этом предполагается, что интервалы, о которых шла речь выше, не являются вырожденными (интервалами (а, а1, состоящими из единственной точки); поэтому можно допустить, что все интервалы явля!отея открытыми. В гсч множество меры нуль определяется как множество, которое может быть заключено в открытое множество произвольно малого объема. Гл.
13. Веровпносюь. АТера 304 Рассмотренная функция Р(у) представляет собой известный пример Кантора непрерывной отличной от постоянной функции, производная которой 1(у) = с' (у) равна нулю почти всюду. Если функция распределения Р (х) независимо от того, является лн она непрерывной, имеет производную, равную нулю почти везде, то распределение вероятности называется сингулярным.
Распределение в последнем примере является как непрерывным, так и сингулярным. Используя две теоремы о декомпозиции, одна из которых принадлежит Х(орлану, а другая — Лебегу (см. книгу Феллера [!96б1), любую неубывающую функцию г" (х) можно записать в виде суммы трех нсубываюцгих функций: г" (х) =- Г, (х) + р, (х) + рь (х) . Здесь с,(х) — чисто ступенчатая функция со скачками р,, р, в точках х„х„...
(не обязательно упорядоченных), т. е, имеюгцая внд Г,(х) = ~, рг (ьерь > 0). к ° К ь Далее, Р,(х) непрерывна и является интегралом от своей производной ) (х))~0 (в смысле Лебега): с, (х) --= ~ ~ (у) с(у, ~ (х) = г",' (х). Наконец, гь(х) сингулярна и непрерывна. Если г (х) — чисто ступенчатая функция, как в рассмотренных выше примерах 1, 4 н 5, то распределение вероятности называется агпанньия; в примерах 1 и 4 распределения называют также дискрегпными.(скачки происходят в изолированных точках), Функция Р,(х) принадлежит к классу функций, называемых абсолюгпна непрерывными; см.
ф 13.10. 43.2, СРЕДНИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ Допустим, что г'(х) — функция распределения случайной переменной Е и что желательно найти среднее значение с для некоторой продолжительной последовательности измерений. Сначала рассмотрим случай, в котором 5 — ограниченная случайная переменная, т. е. предположим, что г" (х) = 0 прн х < а и г (х) =! при х > Ь. Таким образом, все измеренные значения 5 находятся в интервале [а, Ь). Чтобы получить приближенно среднее значение, разобьем интервал [а, Ь) на У подынтервалов точками х; (1 от 0 до М) так, что а=х, ( х, <... (хм=Ь, !З.2.
Средние и маамиатачрскае ажааанаа Обозначим через х,' произвольную точку в подынтервале [х, и х;] (!'=1, 2, ..., Л!'). Доля измерений, в которых $ находится между х,, н х;, составляет г (х!) — г (хр,). Поэтому приближенно сред- нее значение равно ~;хс[г (х;) — р(х! !)). р=1 В пределе, когда разбиение бесконечно измельчается (У- аа), эта сумма стремится к интегралу Стилтьеса ) хиг (х). а (13.2,!) Теория интеграла Стплтьеса от непрерывной функции почти совпадает с соответствующей теорией интеграла Римана (см. книгу Натансона [1950, гл.
8)). Интеграл Стилтьеса широко используется в физике. В частности, в рассмотренном выше примере 3 такое использование позволяет включить в один член суммирование по дискретным состояниям и интегрирование по непрерывным состояниям. Для сумм Римана — Стилтьеса обь!чно используются следующие обозначения: интервал х,, < х( х; обозначается через ср!, а р(х!) — р (х! !) — через г (ст!).
Тогда рассматриваемая сумл!а записывается как х,'х,'г" (Ь!), а соответствующая сумма Римана— Стилтьеса для непрерывной функции ср(х) — как ~ч,'ср(х;) г (Л,). Обозначения такого вида особенно удобны в многомерном случае, который будет обсуждаться в следующем параграфе. Интеграл (13.2.!) называется средним значение.и или ожидаемыл! значением или мател!пгпическим ожиданием величины $ и обозначается через Е (~) или р. В общем случае неограниченной случайной переменной математическое ожидание имеет вид )р=Е(в)= ) хдР(х)= !нп ) хс(г"(х) (13.2.2) а — р ь + Е (Ч! (Б)) = ) ср (х) дР (х) (13,2.3) при услееии, чпю зтоп! предел суи(есп!вует, Если предел не суще. ствует, то среднее значение измерений величины не стремится к какому-либо фиксированному предельному значению при неограниченном росте числа повторений эксперимента, Пусть теперь Ч! — непрерывная функция. Каждому измеренному значеншо х величины $ соответствует некоторое число !р(х), н эти числа являются значениями случайной переменной, обозначаемой через Ч! ($).
Ожидаемое значение Ч! (в) представляет собой Гл. И. Вероятность, Мера снова при условии, что интеграл существует. Отметим иекоторыв важные случаи. Случай 1. ср(х) — степень х. Величины Е($л), й=1, 2, ..., если они существуют, называются моментами данного распределения. Первый из них есть Е($) =1с. Важной комбинацией первых двух моментов является дисперсия о'=Е (($ — р)'). Так как Е(1).= 1 и Е Д) =р, дисперсию о' можно записать также в виде и' = Е (~2) — 29Е (1) + роЕ (1) = Е (Р) — р', селищева о называется стандартным отклонением $.
Если 5— ограниченная случайная переменная, то моменты всех порядков существуют и конечны. Важнейшей классической задачей является проблема люментое, состоявшая в вычислении Р, когда все моменты известны (см. книгу Феллера, т. 2), Случай 2. Ч~ — ограниченная непрерывная функция. Тогда Е (~о Д)) всегда существует.
Наиболее важный пример дает ~р (х) = е-"' (Х вещественно). Комплекснозначная функция Х(Л) = 1 е- .ДР(х) (13.2.4) вещественного параметра Х называется характеристической функцией распределения вероятности или случайной переменной $. Эта функция играет важную роль в доказательстве центральной предельной теоремы в 3 1З.б. Случай 3. ~р — пробная функция (~р Е С„"). Тогда распределение ~ (в смысле Шварца) можно определить как линейный функционал <1, гр>=Е(~р(5))= 1 ср(х)йр(х) У~рЕС,",.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
