Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Результат зависит от целого числа й = ~ 1,4- 2 ... и безразмерного параметра (1 !.6.14) 27з Гж !Е Некоенорые оемраторы в кваномвой меканоке т, е. будем допускать .лишь такие состоявия фв для которых конечно математическое ожидание потенциальной энергии.
(Тогда, разумеется, кинетическая энергия также имеет конечное математическое ожидание з стационаряом состоянии, поскольку полная энергия Е имеет определенное значение.) Интеграл (11.6.15) сходится при у > — 1 и расходится при у< — 1. Следовательно, это условие как раз относится к условиям того рода, которые слу. жат для отбора одного из решений (11,6,12) в случае предельной окружности и не должны оказывать никакого влияния в случаа предельной точки.
По-видимому, естественно предположить, что хотя теория Штурма — Лиувилля и не применима, оператор в (11.6.12) всегда самосопряжен для 0<се <! на максимальной области определения с единственным ограничением (11.6.15). В нерелятнвистском случае лишние решения радиального уравнения, которые появлялись, когда концевая точка е = 0 имела тип предельной окружности, исключались при рассмотрении полного гамильтониакз, поскольку такие решения не принадлежали области определения лапласнана.
Подобное происходит н здесь, но, к сожалению, возникают некоторые затруднения. Спросим себя: при каких значениях и (т. е. е) решения ф найденные выше, принадлежат области определения иевозмушеиного гаиильтоннана Н„заданной в (11.6.4)? Вблизи начала координат е = 0 каждая компонента ф согласно (11.6,10), представляет собой ет, умноженное на тессеральную гармонику. Мы должны применять оператор Н, с производными, рассматриваемыми в смысле теории распределений. Легко видеть, что для у > — 2 дифференцирование не дает какого-либо вклада типа дельта-функции, как в (!!.3.5).
Поэтому компоненты Н ф представляют собой просто функции типа гт ', умноженного на угловые множители, вблизи начала координат. Отсюда требование, чтобы Ноф принадлежало пространству Е', состоит в том, что интеграл (11.6.16) г'т '«ее(г должен сходиться при к=О, т. е. что у> — '/,. К сожалению, при а =У 3/4 (т. е. 2 > 118) это требование исключает оба решения радиальных уравнений (11.6.12), полученные методом Фробениусз,. Отсюда следует что при 3 > 118 оператор Н,+У не может быть сзмосопряжеиным на области определения Н„а тре. бует большей области, удовлетворяюшей, однако, ус товию (1! .6.15). Теперь мы суммируем информацию о полном гамнльтониане (П.6.5), данную в работах Като [19661, Вайдмана [!9711, Рейто [19711, Густафсона и Рейто [!9731, после предварительного заме.
чаиия об области определения оператора потенциальной энергии У, !! д. Гамплвжаннплж дирака Из того, что ф принадлежит области определения В (Н,) гамильтониана свободной частицы, следует, что для каждой компоненты ф! ! утру)в интегрируема в ж'. Тогда известное неравен- ство ') ') 1(1/гв) ) и !в сРх 4 ) ) ~ ) у и )в сГ х, (1 1.6.! 7) справедливое всегда, когда интеграл, стоящий в правой час~и, сходится, показывает, что тр/г принадлежит /,в. Поэтому операчор )г, представляющий собой умножение на — Епв/г, определен на области Н,. Като показал, что при а < 1/2 оператор У является Н;ограниченным оператором с Н;гранью, меньшей единицы.
Из теоремы 1 ~ 11.4 следует, что при а < 1/2 (Е-'68) оператор Н=Н,+)г самосопряжен и его область определения совпадает с Р(Н,). Далее было показано сначала, что при а<)г'3!4 (Як.-118) минимальный оператор Н,+)/, в качестве области определения которого взято (Св (й'))', является существенно самосопряженным оператором, что вполне достаточно для многих целей, а затем установлено, что область определения самосопряжеиного варианта, т.е.
замыкания минимального оператора, совпадает с областью О(Н,), заданной в (1!.6.4), которая может быть охарактсрНЗОВаиа таК жЕ Ках ()Р')в, Гдс Ф'à — ПрОСтраНСтВО СОбОЛЕВа чвгв (всв), описанное в р 5.11. Для ) гЗ/4 -а < 1 оператор Нв+'Р', как было указано выше, не является существенно самосопряженным оператором на области определения оператора Н„но имеет индексы дефекта (1, 1) н, следовательно, нуждается в более широкой области определения. Согласно К.
Густафсону (частное сообщение), и минимальный оператор Нп+)/ становится существенно самосопряженным, если область (С,"(йв))' расширить за счет функций, при г- О стремящихся к бесконечности подобно 1/г (ио ие быстрее). Это согласуется с результатами, полученными нами для радиальных уравнений, и наводит на мысль о том, что если во всем интер,вале 0 =а < 1 гамильтониан Дирака Н для водородоподобного атома определять как О (Н) = ( Ф с Н: Т ф Е Н, (11.6,15) выполняется 1, Нф=Тф где Т вЂ” формальный оператор вида (11.6.5), то Н самосопряжеи; условие (11.6.5) заключается в том, что математическое ожндаНие потенциальной энергии в состоянии тр конечно.
УПРАЖНЕНИЯ 1. Докажите неравенство !11.16.17). л'каэание. Сначала покажите, что если /(г) вещественна, прннадлежнт классу Ст н стреннтсн к нулю прн Польшнк 260 Гл. //. Некоторые оператора а кааныовой механике г, то Ю Ф /(г)з йг(4 ) гз/' (г)заг. о о 2. Пусть А и  — операторы в Вз (О, 1), заданные такс Р(А)=(/~й.: /'"Е'ьз, /(0)=/'(0)=/(1)=/'(1)=О), Л/=/"" Р(В/=Р(А), В/= — /"'+/'. Покажите, что А и В самссопряжены, и инйднте индексы дефекта оператора А+В.
3. Покажите, что (и й+сс4)'=(йз+1) /, где / — единичная (4Х4)-матрица. 4. Проверьте, что (4Х4)-матрицы аы..., ссы заданные (11.6.7) и (11.6.6)г удовлетворяют соотношениям (11.6.2) и (11.6.3), 5. Поиажите, что при ргз/4 < и < 1 и /г= 4- 1 индексы дефекта радиального оператора, заданного при помаши (11.6,12), раины (1, !). 44.7. ЛАПЛАСИАН В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ Допустим теперь, что (д — ограниченная область (связное открытое множество) в Гсз, граница которой д() состоит из конечного числа кусочно гладких поверхностей п удовлетворяет условию внешнего конуса из 2 6.4 (причина выбора а= 8 вскоре прояснится).
Оператор А, определяется как взятый со знаком минус лаплгсиан, действующий на достаточно гладкие функции /(х), обращающиеся в нуль на границе: дг (А,) = ( / 6 С ((1): ь з / Е С (()), / = О на д (1 ), А,/= — у'/ для /Е Р(Ае), где (1 обозначает замыкание Р. Из формулы Грина ) (/~у'й — йтг'/) й'х=) (/тк — кз//) пйМ„ о ди где п=п(х) — внешняя нормаль к д(1 в точке х, следует, что А,— симметрический оператор. Мы покажем, что А, существенно самосопряжен в гильбертовом пространстве /.з(()), Достигается это установлениел! того, что +1 н — 1 принадлежат резольвентному множеству (см. 5 8.6) и что А, имеет чисто точечный спектр.
Согласно теории потенциала (см. 2 6.4), с (1 связана некая функция Грина 0(х, х') и решением задачи — !7'и=4пр в ь), и/ 6 на д(з, и непрерывна на (1 (11.7.2) с заданной функцией р=р(х), непрерывной на (1, является и(х)= ) С(х, х') р(х')Ух'. и ИЛ. Ланасииан о ограниченной области Для х'Е!с' функция 6(х, х') обращается в нуль при хЕд!! и 6 (х, х') = 1/! х — х' !+ и (х, х'), где д — некоторая непрерывная функция. Особенность 6 доста- точно слабая, так что ам ( (1 1.7.4) ич см.
ниже упражнение 1. [Это неверно при размерности, большей 3; с другой стороны, двумерный случай аналогичен данному— в нем 6 имеет логарифмическую особенность.! На множестве О(6,), заданном как С(о), уравнение (6„/) (х) = ~ 6 (х, х') / (х') дох, определяет ограниченный оператор, так как из неравенсТва Шварца следует, что ! о п*,'>и*1 ос~'ам го. а последующее интегрирование по х в !! дает )!6о/)!'(/И1/!('х объем (!1). Кроме того, функция Грина удовлетворяет равенству 6(х, х') = = 6(х', х); следовательно, 6,— симметрический оператор.
По- скольку он также ограничен и определен на области, всюду плотной в /,', его замыкание, которое мы назовем 6, является самосопряжениым оператором. Резольвента оператора А, может быть выражена через 6. Пусть д — любая функция, непрерывная на !с, и пусть Х вЂ” любое невещественное число. Тогда уравнение 6/ — (4л/).)/ = — (1/Х) 6д (1 !.7.5) имеет единственное решение / в /,', так как 4л/Х невешественно и, следовательно, принадлежит резольвентному множеству 6. Из приведенного ниже упражнения 2 вытекает, что 6/ и 6д непрерывны, а значит, непрерывна и функция /; тогда в силу (1! .7.2) — !/' [(4л/Х) Л = 4л [/+ (! /Х) д1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
