Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Выберем л так, что и! < в для всех / > л'; тогда (1,л~с (фм х„) ауфус)~: мв для всех г. (12.2.3) 1>l Последовательность (хг) слабо сходится. Позтому для фиксированных а н л' ьшйдется такое И, что ((фу "г хл) (м асс)Г г (1~~ 1'м.,/» для всех г, в > )(. Отсюда следует, что 3 ( ~~', (срр х,— хл)а!с)у(~~вшах(ау) для г, з > )4. (!2 24) с=с Из (12.2.З) н (!2.2.4) мы заключаем, что (Ахг) — последовательность Коши, что и требовалось доказать. Наконец; для установления (12.2.2) нам нужно лишь заметить, что если взять так определенный оператор А", то (у, Ах) = = (А*у, х) для всех х и у в гт. УУ.З. Операторы Гилберта — Шмидта и ядерные ояератары йЗТ Замечание. Даже если (зру), (з(гу1 — бесконечные последовательности, они не обязательно образуют полные системы.
Более того, одна из них может быть полной, а другая нет. Если А — неособенная (и х п)-матрица, то (12.2.1) эквивалентно (12.1.1), если гр, взять в качестве строк матрицы У„а чРу— в качестве столбцов матрицы (л';. (Если А — особенная матрица, то некоторые из таких строк и столбцов нужно отбросить — они не вносят вклад в (!2.1Л) из-за нулей в диагональной матрице (л.) Мы утверждаем (без доказательства), что спектр компактного оператора Т является счетным множеством, которое имеет точку накопления (если она вообще существует) только в 1=О. Каждое Х~О в о(Т) представляет собой собственное значение конечной кратности.
Если Х вЂ” собственное значение Т, то Х вЂ” собственное значение Т* (см. книгу Като 11966, й 111. 6.71). Упялжнпнии К Пусть (Чу) " †полн ортонормированная система, а (ау) — соот. ветствующее множество положительнык чисел, которые стремятся к нулю при 1 — + ~ оо. Определите точечный и непрерывный спектры оператора А, задан наго формулой Ах=,~~ (юу, х) аГр +ь 12.3. ОПЕРАТОРЫ ГИПЬЕЕРТА — ШМИДТА И ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~Х ((у», Ау,) !Я1'~', с' (Х» АХ») (12.3.1) а след — как (12.3.2) Поэтому мы хотим знать: для каких операторов А эти суммы сходятся и не зависят от выбора последователыгости (Х»)Р Говорят, что оператор А является опершпором Гильберта— Шлгпдта, если он компактен и положительные числа ау, входящие в равенство (12.2.1), таковы, что (12,3.3) Если А — любой ограниченный оператор и ()(») — любая полная ортонормироваиная последовательность в Н, естественно представить себе величины (т», Ау,) (й, 1=1, 2, ...) в качестве матричных элементов оператора А.
Отсюда хотелось бы определить норму 1)А(~з по аналогии с (12.1.3) как заа Гл. г2. йомаогонные, Гнльбергна — Шмггдага а ядерные оаерагноры Рассмотрим сумму в (12.3.1), когда А удовлетворяет этому усло- вию. Пусть (гр.) расширена до полной ортонормированной сИстемы путем включения ссбственных векторов из нуль-пространства »чу), а (а2! соответственно дополнена нулями; тогда Х ! (Х» АХг) ! = Х!! Аяг !! = Х ! (гр» Ауг) ! = ~ ((А'Ч», т ) !'= чР.!!А*2»(!Я =- ».г» = ~!!~~'„(грМ гр»)сг аг,! =~~~',а,'.!(г(г, гр„) !'= ~', а,-". (12.3.4) г (Отметим, что перестановка членов рядов возможна лишь тогда, когда ряды абсолютно сходятся.) Таким образом, если А — опе- ратор Гильберта — Шмидта, то сумма в (12.3.1) сходится и ие зависит от выбора последовательности.
Кроме того, !! А !!,' = ~~'.г ! А)г г !!', (! 2.3.5) Обратное утверждение дано следующей леммой, доказательство которой оставляем в качестве упражнения 1 (см. ниже). Лемма, Если А — ограниченный оператор, токой, что ",Я ! А11г'„' скодипгся для некоторой полной ортонормированной последователь- ности (Хг), то (1) зта сумма скодиогся к одному и тому же значению ггри замене ()гг! любой другой полной ортонормированной послгдова- тельностью, (2) А'А имеет такой вид спектра, который требуется, чтобы А был компактен 1'см.
лемму в предыдуиггм параграфе), и ~',а! < оо, так что А является оператором Гильберта — Шмидта, и, следовательно, (12.3.4) и (12.3.5) выполняются. Если выполняется также более сильное условие ячат к. оо, (12.3.6) то А представляет собой ядерный оператор. Мы покажем, что если А удовлетворяет этому условию, то сумма (12.3.2) не зависит от выбора последовательности (у»), лишь бы эта последователь- ность была ортонормированной и полной. Прежде всего ~~я(Х», АХ») = ~~,', ! ~~я (гР7, Х»)а7(Х», г)гг)1 .
(12.3.7) » » 1 г Из условия (12.3.6) следует, что этот двойной ряд сходится абсо- лютно. Так как аг)0 и Х ! (гру, Х») (Х г(гх) ! ч= < ГХ! (рм Х») !*Х! (Хго 'Рг) !'Рп=!'рЯ "Р71=1. 12.д. Операторы Гилаберта — Шмидта и ядерные операторы 289 то сумма абсолютных значений членов в (12.3.7) не превышает ..~я~)кт(оо. Поэтому в (12,3.7) можно сначала провести суммирование по й и получить аег ~~",()(а, А)(а) = ч'а (езг, тру)=1гА.
(12.3.8) а ! Ядерные операторы играют известную роль в квантовой статистике (см. гл. 14). Заметим, что вторая суммз в (12.3.8) может сходиться (и даже абсолютно) для компактного оператора А, который ие относится к ядерным операторам. Наконец, если сумма (12.2.1) включает лишь конечное число членов, скажем г, т. е. если А*А имеет лишь конечное число ненулевых собственных значений, каждое из которых конечной кратности, то А является вырожденным оператором ранга г; тогда г= сПгпК(А) = б!шД(А*). Упрлткнения !.
Докажите сформулированную выше лемму. Указание для части (!); запишите сумму в виде Х)(ыю АХг))'. а,! где (ыа) — любая другая полная ортонормированная последовательность. Укааамие для части (2): выберите подходящую последовательность (ыа), используя собственные векторы и приближенные собственные векторы (если требуется) оператора А*А. 2, Покажите, что из компактности А и ограниченности В следует компактность ЛВ и ВА, 3, Покажите, что если А †операт Гильберта †Шмид, а (à †унитарн оператор, то А*, (АеА)ма и 0'А(1 являются операторами Гнльберта †Шмид и что 1 А ()а=1 Ае (а =)! (АеА)гга)!а =1 ОеАО 1а. 4.
Покажите, что если А — оператор Гильберта — Шмидта, то !', А(~!) А 1,, а А*А — ядерный оператор и ,')А 1,=(г АеА. 5, Покажите, что если А — оператор Гильберта — Шмидта, а  — ограниченный оператор, то АВ и ВА — операторы Гильберта — Шыидта, причем (ВА(з =1В11А(з, (АВ!1,~1В!)(А(а 6. Покажите, что если А и  — операторы Гильберта — Шмидта, то А+В— также оператор этого класса и что () А+ В(а (! А 1з+!! В 1з. У.
Пусть А и  — операторы Гильберта — Шмидта. Покажите, что АВ и ВА — ядерные операторы и что (гАВ=(г ВА, ! (гАВ (~(А!а(В4. 8. Покажите, что если А — ядерный оператор, то А' тоже ядерный опера. тор, причем !г А'=(г А, 299 Гл. 12. Компактные, Гильберта — Шмидта и ядерные опертпоры 9. Пусть А — ядерный оператор, а  — ограниченный.
Покажите, что АВ и ВА — ядерные операторы и !гАВ=4гВА. Указание. Прн помощи полярного разложения запишите А =сГЯ; тогда С= гтгстГЗ и 0 = !гма — операторы Гиль берта — Шмидта, а А=СО. !О. Покажите, что из вырождснности Л и ограниченности В следует вырожденность операторов А', АВ, ВА, причем г(А')=г(А), г(АВ)~ш!п(г(А), г(В)). Некоторые из приведенных выше результатов можно суммировать в виде следующих утверждений: 1.
1г(А,А, Аа)=1г(А, . АаА,) в том случае, когда А„ ..., Аа огРаничены и хотЯ бы один нз них ЯвлЯетсЯ ЯдеРнымыы или хотя бы два из них являются операторами Гильберта — Шмидта. 2. Норма Гильберта — Шмидта удовлетворяет всем требованиям нормы. 3. Операторы Гильберта — Шмидта образуют гильбертово пространство со скалярным произведением, определяемым следующим образом: (А, В)=(гА'В=~чР,(А~г ВУе) В атом случае нужно доказать полноту пространства. Для итого либо воспользуйтесь книгой Като 11966, 9 Ч.2.4), либо рассматривайте зто доказательство как несколько более трудное упражнение.
12.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА — ШМИДТА Если К(х, у) — непрерывная функция иа единичном квадрате плоскости х, у, то оператор К, определенный в ).з(0, 1) при помощи формулы 1 (КГ) (х) = ) К(х, у)~(у)е(у, о является прототипом оператора класса Гнльберта — Шмидта. Опе- раторы такого рода появляются в качестве резольвент регуляр- ных операторов Штурма — Лиувилля, где К(х, у) — функция Грина (см. 9 10.6). Существенное обобщение состоит в следующем.
Обозначим через Гд гильбертово пространство В'(Е") и допустим, что К=-К(х, у)— некое распределение в В'(Гс"). Для того чтобы определить аналог приведенного выше интеграла, возьмем и (х, у) (лг=1, 2, ...)— функции в С," (Гсзв), которые сходятся к К (х, у) в В' при пг — оо. Тогда для любого д в гт зр, (у) (1=1, 2, ...) будут функциями в С,"(К"), которые сходятся к д(у) в Ьз при 1 оо, Уп РА жн в ни я !.
Покажите, что функпии ) км (х, у) ф! (у) д'у (т 1=1 2 ° ° ) (!2.4,!) у?Х Операторы е компактной резольвеяшой 291 образуют последовательность Коши в (.а (Йв)=Н, Обозначим через /(х) предел втой последовательности н запишем 1 (х) — (Кд) (х) ) К (х у) Е (у)аау (12.4.2) 2. Покажите, что ~л- н 1(..ь, зьы~~~~ьв.ы где 1К((а — норма К(х, у) в (.Я(нг"). Зто неравенство показывает, что К„опре- деляемый формулой (12А,2), является ограниченным оператором н что его норма 1К1 не превышает 11К!',е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
