Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рассмотрим теперь одноэлектронный гамильтониан Н = Н, + )л, о котором шла речь в предыдущем параграфе. Пусть Н,— самосопряжеиный вариант оператора — л/к 7к в Кв, а )л (х) — сумма двух функций, одна из которых ограничена, а другая принадлежит Е' (йк). Теорема (Като).
Если в условиях теорелак 1 5 11.3 Р(х) 0 при ) х ! — сс, то существенный спектр оператора Н = Н, + (л совпадает с существенным спектром оператора Н, = — '!, Г, а именно представляет гобой 10, сс). Из определения существенного спектра следует, что спектр отрицательных энергий (Х < О) оператора Н,+(/ состоит только из изолированных энергетических, уравнен конечной кратности 11.4. Возмущение спекпзра. Сншестеенний спекшр без каких-либо точек накопления, кроме, возможно, Х=-О. Это справедливо не только для водородоподобного атома, но и для электрона в поле с любым потенциалом У (х), который стремится к нулю прн 1х( — оо. С другой стороны, если У(х) обладает периодичностью (потеициал электрона в кристаллической решетке), то могут быть участки непрерывного спектра при отрицательных энергиях, даже если средний потенциал неотрнцазелен, Для гамильтониана и-электронного атома, в котором возмущение У= У (х„..., х„) задано в виде (11.3.3), положение осложняется.
Если какой-нибудь электрон удаляется на большие расстояния, то остаточный ион может находиться в связанном состоянии с отрицательной энергией, и, следовательно, можно предположить, что непрерывный спектр опустится в отрицательные значения Х.
Кроме того, принцип Паули требует, чтобы гамильтониан ограничивался подпространством гильбертова пространства Ь» (к'н), состоящим из функций, аятисимметричных по отношению к перестановкам электронов, По Жислину и Снгалову 11965) существенным спектром так ограниченного оператора О,+У является (р, оо), где р — наинизшая энергия иона (т. е. основное состояние). Представляет интерес дальнейшее сужение этого подпространства пространства Ь» (кеп) путем учета симметрии гамильтоннана относительно сохраняемых величин, например полного момента импульса с возможным включением спина электрона. Детальное обсуждение этих вопросов см. в книге Йоргепса и Вайдмана 119731.
Теоремы приведенного выше типа не в состояния дать вполне удовлетворительную характеристику спектра по следующей причине: можно определить некий самосопряженный оператор, собственные значения которого составят счетное всюду плотное множество в интервале 1 (конечном или бесконечном), а собственные векторы образуют полную систему. Ясно, это не то, что обычно называют «пепрерывный спектр», так как, например, в разложении по собственным функциям ие появится никаких «собственных функций непрерывного спектра», а спектральный проектор Е, не будет непрерывным по 1 в любой точке 1.
Тем не менее весь интервал 1 представляет собой существенный спектр (некоторые его участки принадлежат непрерывному спектру; см. следующий параграф). Приведенные выше теоремы не исключают возможность того, что существенный спектр оператора Шредингера является спектром такого рода. Более гого, теорема Вейля и фон Неймана утверждает, что чисто непрерывный спектр (т. е.
такой, на которолз Е, непрерывен) может быть преобразован в спектр описанного вида прн помощи произвольно малого относительно компактного возмущения (на самом деле с помощью возмущения У типа Гиль. 2!о Га, !!. Оекопюрые операторы в квинтовой меканикв берта — Шмидта с произвольно малой нормой Гильберта — Шмидта; см. следующую главу). даже если Е, непрерывен, спектр может все еще быть кусочным в некотором смысле. Напомним, что любая неубывакяцая функция р(!) (или любая функция локально ограниченной вариации) может быть представлена в виде (11,4.2) где р,— скачкообразная функция, г, абсолютно непрерывна, а Та сингулярно непрерывна, Функция ра равна интегралу Лебега от своей производной, а производная ра равна нулю для почти всех ! (см.
гл. 13: функция Кантора является функцией типа ),). В интервалах, где г„и !а — константы, ! является абсолютно непрерывной. Пусть теперь (Е,) — разложение единицы для самосопряжепного оператора !т'. Для любого о в гильбертовом пространстве (о, Е,о) является неубывающей функцией 1, а значит, для нее возможна декомпозиция (1!.4.2). Скачки р; происходят в собственных значениях оператора Н. Спектр Н называется абсолютно непрерывным в интервале 1, если (о, Е о)— абсолютно непрерывная функция в I для каждого и в гильбертовом пространстве; в противном случае спектр будет кусочнаып Кажется разумным предположение, что спектры гамильтониана атомов и молекул, исключая собственные значения, всегда абсолютно непрерывны, иначе говоря, декомпозиция произведения (и, Е,о) всегда состоит из первых двух членов (11.4.2).
Однако это не доказано, кроме некоторых случаев, подобных атому водорода, для которых известно явное выражение для Е,. Хотелось бы иметь возможность сказать, что для атома иет никаких собственных значений в непрерывном спектре, т.е. выше уровня ионизации, но это неверно, если не принимать во внимание спин электрона. Например, если игнорировать спин, то имеются связанные состояния (так называемые квартетные состояния) атома лития (1л), которые лежат выше основного состояния )л+; если учесть спин-орбиталы!ое и спин-спиновое взаимодействия, то эти состояния оказьваются неустойчивыми из-за так называемой автоиопизации (спонтанный переход к 1.1+ плюс свободный электрон). Следовательно, не существует истинных собственных значений полного гамильтониана для энергии А выше уровня ионизации.
Всегда ли это верно — вопрос открытый. УПРАЖНЕНИЕ !. Докажите, что если Т вЂ” симметрический оператор с индексами дефекта (пк т), и < оа, то все самосопряяанные расширения Т яме~от одинаковый супаественный спектр. Н с, оенрерсмнид снекнср е слмсле Гельб«рва Н.5. НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР В СМЫСЛЕ ТИЛЬБЕРТА. НЕПРЕРЫВНЫЕ И АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТЕА Говорят, что самасопряжеиный оператор А имеет чисто точечный спектр а сл«ысле Гильберта, если его собственные векторы порождают пространство Н. В этом случае нам не требуется какой-либо «непрерывный спектр>; однако любое й„которое является предельной точкой точечного спектра Ро(А), но не принадлежит Ро(А), включено в Со(А) согласно определениеа, данному в ~ 81.
Чтобы это показать, положим, что )с„(и= 1, 2...)— собственные значения, которые стремятся к Х, при и- со. Пусть для каждого Х„о„обозначает соответствующий собственный вектор с (он~!= 1. Тогда ((А — )«) о„(=!2,— йа)~!он!! — ~-О прн и — + оо, и поэтому (А — ~«) ' неограничен. Следовательно, поскольку остаточный спектр пуст, Л, ~ Со(А).
Так, в упомянутом в предыдущем параграфе примере оператора с чисто точечным спектром, собственные значения которого всюду плотны в некотором интервале, каждая точка интервала, не относящаяся к собственным значениям, принадлежит непрерывному спектру. Лишние точки такого рода можно исключить при помощи альтернативного определения непрерывного спектра для частного случая самосопряжениого оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве. Это определение Рисс и Секефальви-Надь прн. писывают Гильберту. Так как Н сепарабельно, Ро (А) представляет собой конечное или счетное множество (). ) собственных значений. Пусть для каждого / Рс обозначает проектор на Ре собственное пространство Ее — — Н(А — Х,), т.
е. проектор, областью значений которого является Е. Тогда ~ Р~ является проекто! ром (см. ниже упражнение 1), область значений которого представляет собой ортогональную прямую сумму всех этих собственных подпространств. Подпространства Н и Н, пространства Н определяются следующим образом: Нр 1«( У Ру) Н Не (1 1.5.1) ани связаны с точечной и непрерывной частями спектра оператора А. Подпространство Н„инвариантно относительно преобразования о . Ао, поскольку каждое оЕНр представляет собой линейную комбинацию собственных векторов. Подпрастранство Н, также инвариантно; действительно, если иЕ Н„т.
е. если (и, о) = О для любого оЕН, то (Аи, о)=(и, Ао) =О для любого оЕН, потому что Ао также принадлежит Н; следовательно, АиЕ )т',. .(лператоры А и А, определяются как ограничения оператора А: А =А!и А =А!и„ (1 1.5.2) 272 Рг Н Нелалювые олератсры а сааныааав механике причем в соответствующих подпространствах они самосопряжены. Первый из них имеет чисто точечный спектр (в слзысле Гиль- берта), а второй имеет чисто непрерывный спектр. (Если бы А, имел какой-либо собственный вектор, то этот вектор был бы и собственным вектором А, что приводит к противоречию, нбо все собственные векторы А лежат в Нр.) Непрерывный спектр оператора А в смысле Гильберта, обозначаемый НСО(А), определяется как Со(А,), т.
е. ЛЕНСо(Л), если (А,— Л) ' — неограниченный оператор в Н,. Теперь можно более четко сформулировать понятие приближенного собственного вектора, введенное в 2 8.1. Лемма. Л, принадлежит НСо (А) тогда и только тогда, когда гуи(ествует последовательность (ил), такая, что ()и„!)= 1, а !,(Л вЂ” Л,)и.!! О при и- оо и каждый ил ортогонален любому гобственному векгпору оператора А. Более того, (ил) может быть выбрана как ортонормированная последовательность. Доказлтвльство. Достаточность условия очевидна, ибо (А — Л,)-х неограничен при указанных предположениях. Поэтому мы дойустим, что ЛеЕ НСа (А), и докажем существовавие последовательности (а„), о которой говорилось выше. Пусть Ех (А,) — спектральное семейство оператора Ас в Н,. Опо сильно непрерывно по Л, так как А, не имеет точечного спектра, Тогда существует либо возрастающая последовательность (Лл), такая, что Лп ) Л,, либо убывающая последовательность (Лл), такая, что Л„ ( Лс, и, кроме того, такая, что все проекторы Ех (Ас) различны, поскольку н противном случае Лс и принадлежало бы интервалу постоянства Ех (А,) и поэтому находилось бы в резольвентном множестве оператора А .
Пусть Лл ) Лс (другой случай аналогичен), и пусть (а ) †последовательнос нормйрованных векторов в Н , таких, что ал находится в области звачений проектора ае1 Рп= Е „, (Ас) — Ех (Ас). Тогдз ал попарно ортогояальны, так как Рпрм =О для а Ф гл Поскольку Ех(А ) ал.=л„для Л > Ллег и Ех (А,) ил=о для Л < Лл, мы имеем !!(А — Лс) лл!1=1(Ас Лс) ап!!= Хп е (Л вЂ” Лс) ВЕЛ (Ас) ап ) л — Ле!!!ал!'=!)и — ) е! Следовательно, 1(А — Л„) и„!, '— с О прн и ос, Наконеп, векторы а„ЕИ„ поэтому ортогональиы всем собственным векторам А, как и утверждалась.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
