Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Увил жн пни я !. Покажите, что если Ру (/=- ), 2, ...) — взаимно ортогональные проекл торы (т. е. РуРа=Рубг„и Р; =Р~), то ~ Р;сильносходится (прил ос) )=1 к проектору Ре и облает~ значений Р, представляет собой ортогональную прямую сумму соответствующих областей значений РР НХ ПепрЕрмаНЫй Гагяши Е ГММСХГ ГихаберГна й.з 2. Покажите, что если А — самосопряженный оператор в сепарабельном тильбертовам пространстве, то НСо (А) является замкнутым множеством на вещественной прямой без изолированных точек (т. е, совершенным множеством). Замечания. 1.
Спектр оператора А (т. е. дополнение р(А)) не обязательно является объединением Ро(А) и НСа(А), ио является замыканием этого объединения. 2, Некоторые точки могут принадлежать как Ро(А), так и НСо(А). 3. Определение непрерывного спектра в смысле Гильберта можно распространить иа нормальные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве, но для операторов, не являющихся нормальными, и для операторов в общем банаховом пространстве все еще нужно определение 9 8.1.
Подпространство Н, может быть разложено далее. Определим Н„как множество всех и Е Н, таких, что функция (о, Езн)= =~,'Езо(Г абсолютно непрерывна по 1 в ( — оо, оо), а ̈́— как множество пЕН, таких, что (и, Егп) сингулярно непрерывна. Можно доказать (Като !1966, ~ Х.!.21), что Н„и ̈́— взаимно ортогональные замкнутые линейные многообразйя (подпространства), порождаютцие Н,; поэтому Н = И ® Н„Щ И„. (!1.5.3) Кроме того, Н„и Н„инвариантны относительно преобразования о Ап, а операторы (1 !.5.4) имеют абсолютно непрерывный и сингулярно непрерывный спектры соответственно.
Если Рр, Р„, Є— ортогональные проекторы, соответствующие (11,5.3), то разложения Е,=Р Е,+РааЕ~+РаеЕ, (11.5.5) полностью аналогичны разложению (11.4.2); разложение (11.4,2) применяется к вещественнозначным неубывающим функциям ~ (1), а (11.5.5) — к проекторнозначным неубывающим функциям Е,. Интересная характеристика подпространства Н„через резольвенту )сх= (А — Л) ' была предложена Густафсоном и Джонсоном 119741. Вспомним, что если Л, принадлежит резольвентному множеству, то )сх непрерывна (фактически аналитична) в Л,.
Если Л,— изолированное собственное значение, то Нх имеет полюс в Ла; поскольку А самосопряжен, Л, вещественно, и этот полюс простой. Отсюда с легкостью следует, что если в — вектор в Иг, т. е. линейная комбинация собственных векторов, то !Яхо) стремится к бесконечности подобно сонь! )1гп Л! ', когда 1тп Л 0 для некоторого значения Ке Л в точечном спектре.
Можно предположить, что если пЕН„то (Нхп! стремится к бес- 274 Гв. 7Д 77вкормрыв оквраосоры в кванасовой маканина конечности менее быстро (как именно быстро †завис от того, принадлежит о подпространству Н„ или нет). Рассмотрим векторы о, для которых имеется постоянная М (о), такая, что 1)ссо'1(М(р))1сп1/-ссв для всех Х. (11.5.6) Густафсон и Джонсон показали, что лсобое такое о принадлежит Н„, и па самом деле Н„представляет собой замыкание множества всех таких о. Пример подобного поведения встречался в упражнении 2 2 10.1, л теперь ясно, что спектр рассмотренного там оператора абсолютно непрерывен.
ССАЧ ГАМИПЬТОНИАНЫ ДИРАКА Обсуждение релятивистских гамнльтонианов Дирака по необходимости ограничивается случаем одного электрона в поле с некоторым конкретным потенциалом, поскольку в релятивистике кулоново взаимодействие между двумя электронами должно заменяться взаимодействием через электромагнитное поле, а потому обсуждение случая двух или нескольких электронов следует проводить в рамках квантовой электродинамики.
Кратко рассмотрим операторы для свободной частицы и для водородоподобного атома. Гильбертовым пространством Н является пространство (с" .(Г))с четырехкомпонентных волновых функций ср= (ср„ ф„ ср„ срв), причем каждая компонента представляет собой распределение в с'в(к'). Гамильтониаи свободной частицы формально записывается в виде — снс'са у+а,тса, (11.6.1) где а=(ао сс,, а,) и ас (с=1, ..., 4) суть эрмитовы антикоммутнрующие (4 х 4)-матрицы, квадраты которых равны единичной матрице: ага +а.ас=0 (с', 1=1, ..., 4; с~=)), (11.6.2) сс,' =! (с = 1, ..., 4) (1 1.6.6) (см.
книгу Шиффа 1!9551); в правой части уравнения (!1.6.3) символ 1 обозначает единичную (4х4)-матрицу. Для любых с(с из Н произведение а рср вполне определено как (четырехкомпонентное) распределение. Если область определения гамильтониана Н, выбрана так, что а Гср также принадлежит с'.с, т. е. если кр(Н,)=(фЕН: а рф~Н), Н,ф=( — сссса р-(-а,тс')ф, (11.6.4) то Н, самосопряжен. Это нетрудно увидеть, если при помощи преобразования Фурье перейти к импульсному представлению, после чего Н, станет оператором Йв умножения на эрьситово- з75 П.6'.
Гамааьамнианм Дарана матричнозначную функцию, н будет нрнмеиима аргументация, использованная для лапласиана в ~ 11.1. Если добавить кулонов потенциал — Яе'7г, то получится релятивистский гамильтониаи водородоподобного атома — Йса 'р+ сс,ли' — Яе'7'г, г = ~ х~. Как и в нерелятивистском случае, можно показать, что ф/г принадлежит О=((.'(И'))', если ф принадлежит области определения гамильтоииана свободной частицы, которая теперь задана в (11.6.4). Отсюда по аналогии с нерелятивистским случаем (теорема 1 9 11.3) можно было бы предположить, что гамильтониан (11.6.5) самосопряжен на области О(Н,). Вопрос о самосопряжеиных вариантах оператора (11.6.5) будет обсуждаться ниже.
Оказывается, что высказанное предположение справедливо для 2(118, а для ббльших значений 2 его следует несколько видоизменить. Сначала, однако, опишем в общих чертах разделение переменных, которое приводит к системе радиальных уравнений, уже рассматривавшейся в ~ 10.17. Уравнение стационарных состояний для электрона в центральном поле с потенциалом К(г) имеет вид ~ — 1 у+п,Е, + У (г)] Ф = Еф (11.6.6) (здесь Е, стоит вместо тс').
Матрицы а, выражаются через (2 х2)- матрицы а, следующим образом: па =, па =, (11.6.7) где 7 — единичная (2х2)-матрица, а пг — так называемые спипо- вые матрицы Паули: и,= . ~ па= 0 1, (11.6.8) Таким образом и т = Т 0 , Т = и ', л " , (1 1.6.9) где д,— сокРащеннаЯ запись д7дг (аналогично длЯ д„и да).
Подробности процедуры разделения переменных даны в кни7с Бете и Солпитера (19571. Окончательные результаты следующие: вводят квантовые числа 1 и 1, причем 1, квантовое число орбитального момента импульса,— целое неотрицательное число, а 1, квантовое число полного момента импульса, принимает два зна- 276 Гх. Н. Некоторме ооераторы в квантовоа механике (11.6.10) где / и я — функции, зависящие лишь от г, а Ут!(О, вр) — норл!ированные тессеральные сферические гармоники: !' 4п (7+ т)! (11.6.11) (1 = О, 1, ...; т = — 1, — 1+ 1, ..., 1).
В каждом столбце таблицы пл — целое, причем — /(пл+'/в ='/; величина (и+'/,)/! является г-й компонентой полного момента импульса. Если функции ф (/=-1, ..., 4) любого из столбцов (!1.6.10) подставить в уравнение (!1.6.6) и воспользоваться приведенными в книге Бете и Солпитера формуламн для производных функции вида й(г)У",'(О, вр) по х, у и г, то можно получить систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для /(г) и д(г). Два случая !=1-+-'/, можно объединить, введя новое целое квантовое число /е: й= — 1 — 1 для 1=1+'/, (1=0, 1...
), й=1 для /=1 — '/, (1=1, 2, ...). Тогда получится система уравнений — [Е+Е,— !7(г))/(г) — ~ д' (г)+ — ' д(г)~ =-О, (11.6.12) — [Š— Е, — )Г(г)) й (г) + [/' (г) + — / (г)~ =- О. йс г Если / и д удовлетворяют этим уравнениям для данного Е, то функции (1!.6.10) являются компонентами собственной функции ф оператора Н, а Š— соответствующее собственное значение, причем тогда и только тогда, когда ф принадлежит области определения оператора Н, которая все еще точно не установлена, но в любом 4 случае необходимо, чтобы интеграл по Ив от величины ~~.", (ф (в 7=! чения 1+'/, и 1 — '/, (но ненты ф имеют следующий [1' =-1+ '/*~ / 7+т+ ! ф = У 2!~! .,/ ! — т фк !г 2!+! И~ ! / ! — т+1 Фв= ' !г щ з + ..~/е!+т-1-2 ),тел 21+ 3 лишь +'/, для 1=0).
Четыре компо вид: [/=- 1 — '/1 / ! — и ф= гГ 274!о)! ° / !+т+! фв= ! — 'аУ!'"' У щ+! / 7+т ф. =- — 1' у — /)'"-ь У щ — ! ! 1 че= ! 2! ! 7-л 277 /ла. Гааильтанианы //ирака был конечен, т. е. чтобы ) () / (л + ) д )л) г' а(г < оа. о (11.6.!3) (которьи не следует путать с матрицами ап ..., а,). Показатель у в решении вида степенного ряда д(г) = ~ а гл+т а=а находится из определяющего уравнения н имеет вид у= — 1 ~)/Р— а'. На нижнем пределе интеграл (11.6.13) сходится при у > — "/, н расходится при у < — '/,.
Отсюда мы находим, что точка г =0 имеет тип предельной окружности при йл=1 и )/3/4 х <! (н тогда нам требуется некоторое граничное условие при 7=0) н тнп предельной точки при иных значениях йл и а, (Мы не рассматриваем а)!.) На необходимость дополнительного условия для задач, подобных данной, указывал Кейс (1950 г.). В качестве дополнительного условия мы примем 4 ~~~ (1/г) лп )ф (х))'Ух < ао, (! 1.6.15) Система (11.6.12) рассматривалась в 3 10.17 для случая Ь'(г)= — Ее'/г.
После исключения / получается уравнение второго порядка для д в формально самосопряженном виде.(Исключение д приводит к такому же уравнению для /.) Хотя зто уравнение не является уравнением Штурма — Лнувилля из-за того, что параметр собственного значения 2 = Е входит в него весьма сложным образом, было обнаружено, что некоторые понятия теории Штурма — Лиувилля вполне применимы. Радиус г меняется в интервале (О, аа), и было выяснено, что концевая точка г= аа всегда имеет тнп предельной точки. Это значит, что нн для вещественного, ни для комплексного Е не существует более одного независимого решения системы (11.6.12), такого, что интеграл (!! .6.13) сходится. В самом деле, / и д асимптотически при г ао ведут себя нли оба как гн', или оба как е-и', где р = = (Е,'— Е')ыл/(/!с). Концевая точка г = 0 является регулярной особой точкой, а потому может быть исследована методом Фробеннуса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
