Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Пусть теперь (та)," — полная ортонормированная последова- тельность в 7.я(йл) = Н. Для простоты мы допустим, что )(а(х)— гладкие вещественные функции. Тогда функпии )(а (х) ~, (у) й, 1 = 1, 2, образуют ортонормированную последовательность в (.*((т™). Эта последовательность является полной, но мы используем лишь неравенство Бесселя Х ! (хв, Кхз) Г ~)) К В. (12.4,4) из которого в силу леммы предыдущего параграфа последует, что К вЂ” оператор Гильберта — Шмидта, (!2.4.3) 1?.Е. ОПЕРАТОРЫ С КОМПАКТНОЙ РЕЗОЛЬВЕНТОЙ Пусть Т вЂ” замкнутый оператор, резольвента которого = (Т вЂ” ?) ' компактна для некоторого Х, в резольвентном множестве р(Т).
Тсгда резольвептное уравнение, записанное в виде 7?л 77 (7+ ()' ?'а) 77ь) (1 2.5.1) показывает, что )7ь — компактный оператор для любого другого Х из р(Т), поскольку второй множитель в правой части уравнения ограничен. Такой оператор Т называется оператором с ком. ппктной резольнентой. Мы знаем, что спектр п()7м) состоит из ограниченного счетного множества без каких-либо точек накопления, кроме нуля, и что любое р Ф О в и Ям) есть собственное значение конечной кратности.
Это сразу позволяет нам узнать спектр Т. Прежде всего допустим, что р чь О принадлежит резольве~тному множеству р Як,). Тогда для любого уЕН уравнение %з,х — рх = у 10а имеет решение х, В частности, если г — произвольный элемент Н и мы положим у= — р)7~ г, то уравнение 7(мх — рх = — р)сь„г 292 Гл. 12. Компокптыо, Го»оберто — Шмидта и пдерныо операторы имеет решение х. Отсюда следует, что х находится в области определения оператора Т вЂ” Л, (которая является областью значений оператора !т»,).
Следовательно, уравнение х — р(Т вЂ” Л,)х= — рг, т. е. Тх — (Л, + 1/)») х = г, имеет решение х для любого г. Иначе говоря, Л,+!/р принадлежит резольвентному множеству р(Т). С другой стороны, если рФΠ— собственное значение Д»„а х — соответствующий собственный вектор, т. е. если )т»,х — рх = О, то х — р(Т вЂ” Л )х=О, или Тх — (Л,+ 1/)») х= О, откуда следует, что этот же самый х является собственным вектором оператора Т, соответствующим собственному значению Л, + + 1/р. Итак, любое ЛИЛ» принадлежит либо Ро(Т), либо р(Т), н нам уже известно, что Л»Ер(Т).
Таким образом, Т имеет чисто точечный спектр. Пусть )»» — одно из ненулевых собственных значений Я»., так что Л =Л,+1/р» есть собственное значение Т. Соответствуниций спектральный проектор для Р», имеет вид ("» ) 2рх Ф Его область значений конечномерна, поскольку )»» — собственное значение конечной кратности. Путь интегрирования представляет собой достаточно малый контур около р», такой, что он не окружает никакое другое собственное значение и не окружает нуль. Непосредственные вычисления показывают, что прн преобразовании Л= Ло+1/)» формула (12.5.2) переходит в (»»-) Р,=,~, У(Т Л)-йЛ, (12.5,3) т. е. Р» является также проектором для Т, соответствующим собственному значению Л.
Мы видим, чго Л„имеет ту же кратность, что и р». Итак, справедлива следующая теорема. Теорема 1. Если Т вЂ” операпюр с компактной резоловентой, то спектр о(Т) состоит из собственных значений Л» конечнои кратности с единственной точкой накопления Л= оо. 12.о. Операторы с нем»потной рееоеоеентой 293 Как уже отмечалось, резольвента регулярного оператора Штурма — Лиувилля Т является интегральным оператором типа Гильберта — Шмидта. Следовательно, теорема 1 применима и Т имеет чисто точечный спектр, как было уже установлено в 3 )рьб. Другим примером дифференциального оператора с компактной резольвентой является лапласиан в ограниченной области ь! щ и», рассмотренный в э 11.7, Существенно самосопряжеиный вариант лапласиана в !! есть оператор А„определенный уравнением (11.7.1).
Обратный ему оператор А,", представляющий собой резольвенту оператора А, при 1=О, является интегральным оператором в (11,7.3), ядро которого есть функция Грина 6(х, х') для области (!. Особенность прн х=х' интегрируема, в силу чего (см. (11.7.4)) интеграл )) )6(х, х')!'РхУх' конечен. Поэтому А,' — оператор Гильберта — Шмидта, следовательно, компактен, и мы заключаем из теоремы 1, что А, имеет чисто точечный спектр, состоящий лишь из собственных значений конечной иратности, которые накапливаются только на бесконечности.
Это совпадает с утверждением, сделанным в 5 11.7 на основе теории Фредгольма. Если оператор Т с компактной резольвентой еще и самосопряжен, то его собственные векторы образуют полную ортонормированную систему. Если Т не является самосопряя»енным оператором, полная система векторов получается, если (1) включаются обобщенные собственные векторы н (2) удовлетворяются некоторые дополнштельные условия. Ниже мы сформулируем две теоремы о полноте, которые использовались в теории гидродинамической устойчивости для установления полноты собственных колебаний малого возмущения стационарного течения; основные операторы этой теории не являются самосопряженными.
Пусть е»(/г=1, 2, ...) — собственные значения оператора Т. Для каждого й область значений Е» проектора Р», заданного в (!2.5.3), представляет собой конечномерное пространство, инвариантное относительно Т: кЕЕ» тогда и только тогда, когда ТкЕ Е». Поэтому Т, ограниченный областью Е», момеет быть представлен (п»хл»)-»1атрнпей Т,, где п».=е(!шЕ». Собственные и обобщенные собственные векторы Т, (см. 3 12,1) соответствуют системе векторов х„, (з== 1, ..., и») в Н, которые порогкдаюг пространство Е».
При дополнительных условиях, сформулированных виже в теоремах, линейная оболочка собственных подпространств Е„(й= 1, 2, ...) совпадает с пространством Н. Тогда для любого вектора оЕ Н составляющая о в Е„имеет вид о» ~г с»,х „ (12.5.4) е =! 294 Гл. 32. Компактные, Гильберта — Шмидта и лзерние оператора откуда ~я~~ с„,хь, (12.5.5) Хотя, вообще говоря, в этой сумме нельзя произвольно переставлять члены, как это разрешено в случае самосопряженности T, мы можем сказать, что векторы (х„,) образуют полную систему в том смысле, что их конечные линейные комбинации плотны в Н. Обычно полагают, что в задаче гидродинамической устойчивости могут появляться лишь собственные векторы порядка 1 (т. е.
обычные собственные векторы), но это не доказано. Как и в конечномерном случае, собственный вектор порядка т, соответст« вуюший собственному значению ).„, является вектором хЕ Н, таким, что (Т 2~) х=-о, (Т )~) ~х9ьо, При т ) 1 этот вектор можно характеризовать как решение уравнения (Т вЂ” Хь) х=-у, где у — некоторый собственный вектор порядка т — !.
Поскольку Т вЂ” дифференциальный оператор в гидродинамической задаче, отыскание х влечет за собой решение неоднородного дифференциального уравнения, как только у известен. Для этой цели составлены вычислительные программы, но до сих пор не обнаружено никаких обобщенных собственных функций. Ди Прима н Хабетлер [1969) использовали теорему Наймарка (см.
ниже) для доказательства полноты решений задачи Орра— Зоммерфельда, которая является несамосопряженной задачей на собственные значения для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающего двумерные собственные колебания возмущений плоского ламинарного течения. Теорема 2 (Наймарк), Пусть Т вЂ” оператор с компактной резольвентой, и пусть имеется последовательность концентрических окружностей (2,(= П (1= 1, 2, ...) в его резольвентном множестве (т. е.
не проходящих через какое-либо собственное значение), такая, что зпр([Я;(. (Х(=г,)- О при 1 оо; (12.5,6) тогда собственные векторы и обобщенные собственные векторы (х„,) оператора Т образуют полную систему в Н, Замечание.
Так как !)гх!' з[бЫ(ь, о(Т))1 ', ясно, что условие (!2.5.6) может удовлетворяться лишь в том случае, когда прн й со собственные значения ).ь станут все более н более разделяться. 12.$. Операторы е компактное реюльаентоа Идея доказательства состоит в следующем. Оператор представляет собой сумму проекторов Р„для всех собственных значений Хю которые лежат внутри окружности )Х)=г,. Следовательно, Р'пи является частичной суммой ряда (12.5.5) и стано. вится полной суммой в пределе при ! - оо. Из определения резольвенты мы имеем (Т вЂ” Х) Их= 7, откуда — лсх= (Ю) 7 — (1!")Тгсю Если и принадлежит области определения Р(Т), то Т)тхо = есхТо, откуда Р!п„п ! ф ! ол)Тп 2л~ л Вследствие условия (!2.5.6) теоремы второй член в последнем выражении стремится к нулю при 1-» оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
