Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Следовательно, любое пЕР(Т) можно представить в виде разложения (12.5.5), ио Р(Т) плотна в Н и полнота системы собственных и обобщенных собственных векторов доказана. Более сильным средством исследования иногда оказывается аналогичная теорема Карлемана, поскольку в ней не требуется, чтобы собственные значения Х„все более и более разделялись при )! о. В этой теореме требуется только, чтобы при й — оо собственные зяачения концентрировались на комплексной плоскости в некоторых направлениях, проведенных из начала координат, и чтобы резольвента оператора Т была оператором Гильберта — Шмидта. Эту теорему использовал Сэттинджер [! 970! для доказательства полноты собственных колебаний возмущений общего трехмерного стационарного течения.
Общая форма этой теоремы дана в книге Данфорда и Шварца [19631; мы приведем упрощенную форму, в которой требуется, чтобы собственные значения находились вблизи вещественной оси; в этом отношении Т похож на самосопряженный оператор, у которого собственные значения вещественны. Теорема 3 (Карлеман).
Если Т вЂ” оператор с резольвентвд Гильберта — Шмидта и если вдоль каждого луча к=ге'е (О фик. сировано), исключая вещественную ось (0=0 или О=п), 1,Я,)= = 0()Х (-') для больших )., то собственные векторы и обобщенные собственные векторы операп!эра Т образуют полную систему в Н.
296 Гк. Г2. Комиакмиио, Гилоборма — йгмидта и кдориик оооратори В гидродинамических задачах собственные значения Хи лежат в параболической области кеХ) сопз1+сопз1 (1п1 Х)'. Условие теоремы сильнее необходимого; необходимо только, чтобы норма1Як1 вела себя указанным выше образом на каждом из пяти лучей, выходицих из начала координат и таких, что угол между смежными лучами меньше я(2 (см.
книгу Данфорда и Шварца). Глава ТЗ ВЕРОЯТНОСТЬ. МЕРА Одномерные и многомерные распределения вероятности; функции распределния; плотности; каноническое разложение неубывающей функции; дискретньм, атомные, сингулярные, непрерывные н абсолютно непрерывные распределения вероятности; неубывающие функции нескольких переменных; среднее; математическое ожидание; моменты; стандартное отклонение; характеристическая функция; коэффициенты корреляции н корреляционные матрицы; меры; функции множеств; теорема о расширении н теорема Рисса о представлении для мер; выборка; выборочное средяее; выборочная дисперсия; маргинальная и условная вероятности; нормальное распределение; центральная предельная теорема; метод Монте-Карло; вероятность и мера в гильбертовом пространстве.
Предварительные сведения: гл. ! — 3, интеграл Стилтьеса. Понятие функции распределения вероятностей создает основу изучения вероятностей в копечномерных пространствах. В большинстве случаев в физических приложениях вероятности или днскретны, или абсолютно непрерывны, или представляют собой смесь того и другого, но для полноты концептуальной основы требуется также понятие спнгулярно непрерывных распределений. Теория вероятностей применяется главным образом в квантовой механике (что мы Обсудим в следукнцей главе), в статистической механике, в анализе ошибок и в методах Монте-Карло. Замечательным явлением оказывается стремление в среднем к универсальному, так называемому нормальному распределению, составляющее суть центральной предельной теоремы.
Функция распределения, маргинальная и условная вероятности используются в методах Монте-Карло, в которых моделируются путем вычислений естественные случайные явления, плохо поддаюшиеся нналнзу. Представления о вероятностях и мерах как функциях множеств необходимы для изучения вероятности в бесконечномерпых и абстрактных пространствах, которые появляются в статистической механике и в теории стохастичсских процессов. 13.1.
ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЯ. ПгУИНЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЛОТНОСТЬ Результаты многих независимых повторений какого-либо наблю- ДЕПНЯ ПЛП ЗьСПСРИМШ!та (НЗПРНМЕР, Над аТОМНОй СНСТЕМОИ) МОЖНО описать при помоши распределения вероятности. Результатом отдельного наблюдения является совокупность значений некоторых величии, скажем и величин, таких, как углы отклонения, Гл. 18.
Ввроминоаяа. Мера Р((г)~Р(а), если Ь' за, Р(а+в)- Р(а) при в(0, Р ( — оо) = О, Р (+ оо) = 1. (13.1,4) (13.1.5) (13.1.6) з) Автор называет ету функцию кумулятивной вероятностью (сшнн!аПте ргоьаЬ1!!1у), но мы будем придерживаться сбнгепринятого термина,— Прим, перев, напряжения, энергии, показания счетчиков и т. п. Итак, этот результат может быть представлен точкой некоторого л-мерного пространства. Для большинства элементарных процессов характерно то, что, как бы тщательно ни контролировались условия опьгга, эти результаты меняются значительно и случайным образом от одного повторения к другому, Полученное распределение точек в и-мерном пространстве описывается функцией распределения в этом пространстве.
В данном рассмотрении вероятность представляется интуитивным понятием: например, утверждение, что нейтрон имеет вероятность, равную 0.316, пройти через слой фольги без столкновений, подразумевает следующее: (1) так случалось с нейтронами з 31.6% большого числа испытаний, (2) предполагается, что при последующих испытаниях нейтроны будут вести себя аналогично, причем соответствующее процентное отношение будет стремиться к некоторому значению, близкому к 31.6%, когда число испытаний неограниченно возрастает. В теории вероятностей случаи п = 1 и п > 1 обычно называются одномерным и многомерным соответственно.
Начнем с одномерного случая. Если $ — величина, которая определяется в результате эксперимента, то функция Р, определяемая из условия Р (х) = Р (ч к. х), (13.1.1) где для любого вещественного х Р ($ ~ х) обозначает вероятность того, что измеряемая величина $ меньше или равна х, называется функцией распределения случайной переменной '). Другие вероятности могут быть выражены через эту функцию Р; в частности, вероятность того, что $ попадает в интервал (х,, ха1, имеет вид Р(хг < $(ха) =Р(х,) — Р(хг); (13.1.2) если функция Р имеет скачки, то они описывают вероятность попадания в точки, именно Р(я=х,) = Р(х +0) — Р(х,— 0).
(13.1,3) Члены в правой части этой формулы обозначают предельные значения, достигаемые функцией Р(х), когда х- х, справа и слева соответственно. Из определения (!3.1.1) следует, что Р(х) — неубывающая и непрерывная справа функция, принимающая значения от 0 до1, т. е. )3.1. Одяолеряыс распределения верона!ногтей 209 0 при — со < х < хо !-! рь при хг !~« < х! (1=2, ..., Ж), ь=! 1 при хтт~х < оо. р (х) = (13.1.7) Такого рода функции пригодны для рассмотрении бросаний монеты и играль- им кости и вообще конечной игры. Оии также удобны для описания распределения энергий фотонов, испускаемых при скачкообразном переходе атома нз некоторого возбужденного состояния на более низкий энергетический уровень (см.
рис. 13.1). Рис. !3.2. Пробег нейтрона для примера 2. Рис. 13.1. Диаграмма уровней энергии. Ппимер з Нейтрон или фотон пронякает в вещество равномерной плотности и про. ходит расстояние й до столкновения (рис. 13.2), Функция распределення слу. чайной переменной $ имеет внд -( --" 0 при х< 0, р(х) = 1 — е «ГЬ при х>0, где Х вЂ” длина среднего свободного пробега (см, рис. 13.3).
Здесь г" имеет производную 1(х) =г"' (х), которая непрерывна всюду, исключая скачок в точке Обратно, любая функция с такими свойствами описывает некоторое распределение вероятности. Например, если известна Р, то можно сгенерировать с любой точностью множество случайных чисел, имеющих соответствующее распределение, использовав для этой цели вычислительную машину. Требование односторонней непрерывности (13.1.5) довольно произвольно, и мы будем часто записывать равенства, подобные (13.1.3), таким образом, чтобы они не зависели от этого требования. (Правая часть (!3.1.3) не зависит от соглашения, что г (х, + 0) = г" (хо).) ПРИМеР ! Если в принимает лишь конечное число значений хг, ...-, хдг, записанных, допустим, в порядке возрастания и если р (в=хг) =р;, то Р(х) — ступенчатая ф1акпия: Гл.
13. Верояюносгпь. Мера х= 0. Эта производная называется паотнасюью распределения вероятности, тзк как для любого х„ /(х ) = 1!ш (1/Ьх) Р (хь < $ < хь+Ьх). (13.!.8) а о Такое распределение вероятности называется нелрерыьнмл, илп точнее обсо. люшно непрерьмнмл (см. ниже определение), Рнс, !3.3. Функш:з расщ сзслеиия для орнь~ера 2, Е(х) Рис. !Здй Функция распределения для примера 3.
Ииммкп з Рассмотрим атом в осяавном состоянии, находяшийся в пгле излучения с непрерывным спектрам, После поглзщения кванта атом может перейти в одно нз различных возбуьнденных состояний или в состоявне непрерывного спектра при энергии, большей энергии ионизации, которую примем за нуль энергии. Распределение вероятности энергии Е после поглощения одного нваита частично дискретно, частично непрерывно, кан на рис, 1Здй Функция распределения г'(х)=Р(В=х) является ступенчатой функцией при х < О н непрерывной функцией при х~О. 18.1. Одномерныв распределения аерояаносаей ' .3И ПРИМЕР 4 Нейтрон или фотон проходит через бесковечую последовательность парал= лельных тонких поглощающих слоев фольги, расположенных на одинановых ржстояниях друг от друга, как на рис.
!3,5. Пусть $ — расстояние от перво~о слоч до того слоя, где происходит поглощение, и пусть и †вероятнос поглощения в каждом слое (О < и < 1). Тогда функция распределения переменной в записывается так: Г(к)=1 — иа при (а — !) д < х~пд, л=1, 2...„ где д — расстояние между последовательными слоями. Эта ступенчатая фуикпня с Гюскоиечным числом ступеней изображена иа рпс. 13,6 Рис. 13.5. Пробег нейтрона для примера 4. р'(л) Рис. 13.6, Фунспнн распределения для примера 4.
ПРИМЕР 5 Пусть в последнем примере ф=ф(1) =фаз!им( — переменное напряжение, имеющееся в депп, в то время как частнцз двихчстся через последовательность слоев фольги; пусть т †вре, которос тргбуетси для того, чтобы частица прошла от одного слоя до следующего, и пусть О=ыт. Тогда в момент поглощения частицы напряжение ф имеет значение О с в ероятностью 1 — ц, зиа- Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
