Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(13.2,5) Интегрирование по частям (по поводу интегрирования по частям в интегралах Стилтьеса см. книгу Натансона 119501) дает <1, ср> = ~о (х) Р (х) ("„— ) Р (х) ч ' (х) ах, но проинтегрированный член обращается в нуль, и, следовательно, <р, ч» = — <Р. ч '>, где Р— распределение, определяемое через функцию Г(х) формулой <Р, ф> = ~ Р (х) ф (х) йх Уф в С,". тд,д. лсеумерные и мнаеамернам распределения 307 Таким образом, ~= у'. Распределение Г называется вероятностной мерой случайной величины $ (Г является обычной функцией тогда н только тогда, когда Г (х) — абсолютно непрерывная функция, и в таком случае ~(х) представляет собой плотность вероятности Гл (х) величины Б).
Функция г" (х) является распределением медленного роста, поскольку она ограничена; поэтому а=ус тоже распределение медленного роста, а характеристическая функция Х (3) равна умноженному на )/ 2я преобразованию Фурье от 1".. 13.3. ДВУМЕРНЫЕ И МНОГОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. НЕУБЫВАЮЩИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЬ1Х Если каждое повторение эксперимента дает два числа х, у, являющихся значениями случайных переменных $ и т), то распределение полученных точек на плоскости х, у называется двумерным. Сейчас мы будем рассматривать эти двумерные распределения; многомерный случай будет очевидным обобщением, н мы кратко обсудим его в конце данного параграфа. Совмеетнал функция распределения Г(, ) задается в виде Г(х, у) =Р($(х, т)(у) (13.3.
Р) Рис. 13.8. Область плоскости, указанная в определении (13.3.1). и представляет собой долю тех экспериментов, для которых результирующие точки лежат в квадранте, расположенном левее и ниже точки (х, у) (см. рнс. 13.8). Другие вероятности могут быть выра'иены через ф)ч кпшо Г(, ). Если х, < х„та Г(х„у)— — Г(х„у) есть вераит1.ость тога, чта х,с.,с~х„тогда как т1 Гл.
!3. Веролтносяь. Мера имеет любое значение, непревышающееу. Если к тому жеу,<у„то Р (х, < $ < х„уз < т! < у,) = =Р(х„уь) — Р(хь у,) — У(х„у,)+Р(хо у,). (13.3.2) Если указанную прямоугольную область плоскости обозначить через !'): ьз=((х, у): х, < х<х„у; <у<у,), то (13.3.2) можно записать в виде Р ((тЬ ~) Е П) = У (П), (13.3.3) где г((з) стоит вместо правой части (13.3.2).
Ясно, что г (сс, сс) = 1, а г (х, — сс) = О для любого х и г ( — сс, у) =О для любого у, Требование о неубыванин Г( ) в одномерном случае заменяется здесь требованием, чтобы Р(Е)) эО для любого прямоугольника с условием х, < х, и у; < уь, Это требование включает также предельный случай г(хь, уь)— — Р(хп у,)~~О при у,— — сс и предельный случай г (х„у,)— — г (х„у,)'=.О при х, — — сс. При этих условиях г (х, у) называется неубывающей функцией двух переменных х и у. Для того чтобы найти среднее значение непрерывной функции ~р($, т!), допустим сначала, что $ и н ограничены так, что получаемые из эксперимента точки (х, у) лежат в прямоугольнике а<х<Ь, с<у<А Этот прямоугольник разбивается на множество малых прямоугольников ()ль горизонтальныыи и вертикальными прямыми х = х„хь х„..., хн и у = у„у„у„..., у„.
Если (х;, уь) — точка в () ю то среднее значение р($, т!) приближенно представляется двойной суммой Римана — Стилтьеса ~~р(хь уь) г'(() ь), (1 3.3.4) ео которая сходится к двойному интегралу Стилтьеса ~ ) «Г(х, у)м а с хйьг" (х, у), когда разбиение бесконечно измельчается (р1, л4- сс). Если для неограниченного случая этот интеграл имеет предел при Ь, й- сс и а, с- — сс, то математическое ожидание ~р К, ц) оп еделяется как р Е(~(й Ч))= ) ~ ~р(х, у)йьу(х, у). (13,3,5) Если вторая производная ~(х, у)=дои/дхду сугдествует и является кусочно непрерывной, то она называется плотногтью данного распределения, а само распределение тогда называется абсолютно непрерывным; в этом случае Е(ср($ ь!))= $ $ <р(х, у)~(х, у)йхйу. (13.3.6) то.о.
Лврмернив и моогомернив рооорвдеввнов зчэ В другом крайнем случае распределение может быть дискретным относительно обеих переменных, т. е. вероятности могут концентрироваться в изолированных точках плоскости х, у. Между указанными крайними случаями существует столько возможностей, что мы не будем проводить полную их классификацию. Если соответствующие интегралы существуют, то числа Е (Рц') представляют собой моменты двумерного распределения.
Первые моменты суть средние: р, = Е ($), р, = Е (в)); (13.3.7) из вторых моментов получается кавариационная матрица с эле- ментами р = Е Я вЂ” р )') = Е (ов) — р1, рм =- Е ((в) - рв)') = Е (т)') — р'„ р„ = р„ = Е ((й — р,,) (в) — р,)) = Е ($т)) — (с,р,. (13.3.8) Величина р = р|л/)' рарм называется коэффициентам корреляции; согласно неравенству Шварца, р лежит в интервале [ — 1„11. Если р=+.1, то к и в) полностью коррелированы, а все точки (х, у), получаемые в эксперименте, лежат на некоторой прямой, проходящей через точку (рь р,).
Это имеет место и в том случае, когда р не определено, т. е. когда р„=О или р„=О. Если $ и т) являются независимыми случайными переменными (а это значит, что Р (х, у) имеет вид г, (х) Р,(у), то р = О и переменные не кор. релированы (из того, что о велико, не следует, что ц велико или мало), Однако р может быть равным нулю и в том случае, когда $ и т) не являются независимыми; такой пример дает распределение с плотностью ( (4я) л прн х'+у' < 1, О при х'+ув > 1, Здесь 7 в производная распределения д'г'сдхду и является обычной функцией тогда и только тогда, когда Р абсолютно непрерывна.
Двумерная характеристическая функция Х () ) = ~ ~ е- 'л " РР (х, у) (13.3ИО) равна умноженному на 2л преобразованию Фурье от 7". Здесь р„(= рв,) обращается в нуль в силу симметрии 7, но 7 нельзя записать в виде 7,(х) 7",(у). Используя функцию распределения г" (х, у), мы определим оераятноса~ную меру иа Е' как распределение 7, именно <7, сг)=)) ср(х, д)сс'Г(х, у) УсрЕСв" (К'), (13.3.9) 3!о Гм 1З. Вероятноеп|ь. Мера Теперь сделаем несколько замечаний о многомерном случае, который является непосредственным обобщением двумерного случая.
(Соемесп|ной) функцией распределения случайных переменных $о $„..., 5„является функция Р (х;, х„..., х„) = Р Д < хо ..., Е„< х,). (13.3.11) Обозначим через П прямоугольный параллелепипед: (]=(х: а,<х,<Ьо ..., а„<х„<Ь„) (13.3.12) и введем обозначение Р(П) =Р($ Е П), (13.3.! 3) где в — векторнозначная случайная переменная, компоненты ко- торой суть 5о ..., с„, Явная формула для Р(П) представляет собой обобщение (13.3.2). Мы определим сер|нину т параллелепи- педа как точку х, для которой каждая комйоиента хт равна или ар или Ьт, и обозначим количество а среди компонент вер- шины т через У,(ч).
Тогда Р(П) =Х( — 1)"| |Р(.). (13.3.14) ь причем сумма берется по всем 2" вершинам П, Из вероятностной интерпретации (13.3.11) ясно, что Р(х) — функция неубывающая: Р(П) ь О для каждого П, (13.3.!5) ' Р(х) нормирована: Р(оо, ..., оо)= 1 и Р(х|, ..., х„)=О, если любое ху — — — ов. (13.3.!б) Если |р(х) — непрерывная функция, то интеграл Стилтьеса ~ |р (х) а"Р (х) (13.3.17) П является пределом сумм Римана — Стилтьеса: П разбивают на большое число малых параллелепипедов П| гиперплоскостями х,= х,„(р=О, 1, ..., )У), где ау=хо, < хт, « ... хмм=Ь7, а затем полагают интеграл (13,3.7) равным 1!ш хч.',ср(х|) Р(П|), | где для каждого ! х| — точка внутри П|, а !пп означает предел при бесконечном измельчении разбиения П.
Если |г(х) ограничена во всем й", то в силу свойств (13,3.15), (13.3.16) функции Р интеграл (13.3.17) имеет предел, обозначаемый через ), когда ць независимо Ь стремятся к + оо, а ау к — оо. ЗП !Э.е. Нормальные Распределении Вероятностной мерой величин $у называется распределение ~, определенное как <~, гр) = ) ср (х) с(»Р(х) Уф Е Се" (й"), (13.3.18) и» а характеристическая функция определяется как й($,) = ) в-ж'ай»Р(х), и» Упрджнвння 1. Найдите функцию распределения Г(х, у) случайных переменных $, тв значения которых равномерно распределены на единичной окружности Ее+ па=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
