Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 57
Текст из файла (страница 57)
(11.7.6) Это уравнение показывает, что У'/ — непрерывная функция. Кроме того, / обрашается в нуль на границе; зто следует из (11.7.5), поскольку 6/ и 6п обрашаются в нуль на границе. Мы заключаем, что / принадлежит области определения оператора А,. Следовательно, (11.7.6) можно записать в виде А,/ — Ц=п, т. е. /=(А,— Х) 'й, 282 Гл. И. Некоторые оаераглорм а каакгловоб мехлкаке Наконец, так как оператор 6 и резольвента (6 — 4пгл)"' ограничены, из (11.7.5) следует, что ~,'7Ц(сопя( )дД, и можно сделать вывод, что любое невещественное Х принадлежит резольвентному множеству оператора А„откуда следует, что А, существенно самосоп ряжеи. Оператор 6 является положительным интегральным оператором типа Фредгольма; известно (см. книгу Куранта и Гильберта), что 6 имеет чисто точечный спектр и что его собственные значения рг(с=1, 2, ...) положительны и накапливаются лишь при О.
Если 671= рД, то ясно, что А,гг=(4ягрг) гг. Кроме того, если Х вещественно, но 4П/Х не равно нн одному р„то (!1.7.5) снова имеет решение; проведенные выше рассуждения показывают, что ) принадлежит резольвентному множеству оператора А. Заключение. Оператор А, имеет чисто точечный спектр; его собственные значения Х; положительны; )ч — -)-оо при 1- оо.
УПРАЖНЕНИЯ 1. Используя принцип максимума для гармонических функций, покажите, что О~С(х, х') < —, для х, х'Е!2, 1 )х — х'1 Установите, что если 11 — ограниченная область, то существует такая постоянная М, что С,(х, х')товх'ец М для всех х в Й. 2. Пусть 4фе) — последовательность Коши пробных функций, которая сходится в ья=ьв(11) к распределению )Еьв. покажите, что функции (Сфа) (х) равномерно сходится при йь чч, а ввачит, С) — непрерывная функ- ция Глава 1? КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА ЕИМИДТА И ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Квнпнвческсе представление компентного оператора; спектр; норма Гнльйер* ге †Шмид; след; спектры операторов с компактной револьвентпй; прнмененнв к дифференциальным н интегральным операторам.
Лредвиритвяьныв сведения: гл, 1 — 9. В этой главе мы будем иметь дело с некоторыми классами ограниченных операторов, а именно с классами компактных операторов, операторов Гильберта — Шмидта, ядерных и вырожденных операторов. Зти классы связаны между собой вложениями: ограниченные ~ компактные => Гильберта — Шмидта =и ядерные=> "> вырожденные. Операторы каждого из этих классов имеют ряд свойств, общих с конечиомерными операторами или матрицами. В конечномерном пространстве все эти классы совпадают, Ехд. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МАТРИЦ Согласно одному из видов формулы полярного разложения, любая (охп)-матрица А может быть записана в виде А=ПА', где 0 — унитарная матрица, а 1с — положительно полуопределеиная матрица.
Диагонализуя затем матрицу )с при помощи некоторой унитарной, произвольную матрицу А можно записать в виде А = УТОУо (12.1.1) где Уг и Уе унитарны, а 0 диагональна с неотрицательными диагональными элементами. Зто конечномерный случай стандартной формы компактного оператора, которая будет приведена ниже. Если )ь — собственное значение А, а ч — вектор, такой, что для некоторого положительного целого т (А — Х)" ч=О, (А — Х) ' ч~О, (12.1.2) то ч является обоба(енным собственным вектором порядка т. Обобщенный собственный вектор порядка 1 представляет собой обычный собственный гектор. Размерность нуль-пространства йИ Гл. П, Компактные, Гильбеяепи — Шмидта и ядерные опеоапюры / Л хыя '1А1я=( ~ )А/п(Я) =(1г(А*А))'"' ья= (12.1.3) это конечномерный случай нормы Гильберта †Шмид, которая будет приведена ниже.
Сумма собственных значений А с учетом их алгебраической кратности есть след матрицы А, он обозначается через 1г А и равен сумме диагональных э.тементов я (гА=~ А/, !=1 кроме того, 1г(АВ)= (г(ВА) или в более общем виде (г(А,А, ... Ап)=(г(А... А А,) (циклическая перестановка). След А равен произведению( — 1)' ' и коэффициента при е.я ' в характеристическом уравнении. Если Р— неособенная матрица, то Р 'АР имеет те же собственные значения, что и А, а значит, и тот же след. Это можно установить, используя циклическую перестановку: 1г Р 'АР=1г АРР ' = =1г А.
Ранг /(А) матрицы А размера пх и равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов (или строк). Это число является также размерностью области значений А; в таком виде данное определение применимо и к любому вырожденному опе. ратору, Ф(А — Х) есть геометрическая кратность е,: это максимальное число линейно независимых обычных собственных иекторов, соответствующих данному собственному значению Х.
Пространство, порожденное обычными и обобщенными собственными векторами всех порядков, соответствующими Х, называется (алгебраическиле) собственным подпрвстранством. Его размерность назъщается алгебраической кратностью Х. Она равна кратности Х как корня характеристического уравнения де1(А — Х) = О и равна числу появлений Х на главной диагонали жордаиовой нормальной формы матрицы А. Наибольший порядок собственного вектора для данного е, есть индекс ).. Эти определения применимы к любому ограниченному оператору в гильбертовом или банаховом пространстве, когда 1 †изолированн точка точечного спектра. Если А — нормальная матрица (АА* = А*А), то геометрическая и алгебраическая кратности совпадают для каждого собственного значения, индекс равен единице, а все собственные векторы являются обычными собственными векторами.
Одной из стандартных норм матриц (см. книгу Гантмахера [19531), часто обозначаемой через 1 ~1„ является 2зб 12.2. Компактные операторы 42.2. КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Почти все в этом параграфе справедливо для операторов в банаховом пространстве или для отображений одного банахова пространства на другое (см. Като 119661), но мы будем рассматривать лишь ограниченные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве Н.
Как будет ясно из нижеследующего определения, только ограниченный оператор может быть компактным. Оператор А называется компактным или вполне непрерывным, если для каждой ограниченной последовательности (гр,.) элементов из Н последовательность (Агр,) содержит сходящуюся подпоследовательность. Замечание. Еслй А не является ограниченным, то мы могли бы найти ограниченную последовательность (чь), такую, что !)А~р,!) — ео, а потому А не был бы компактным.
Как мы видим, компактный оператор можно определить как оператор, который преобразует последовательность, сходящуюся слабо, в последовательность, сходящуюся сильно. Оператор А*А положительно полуопределен, и мы определяем )т=(А*А)ыз, как в 2 9,10. Так как !!тех(=))Ах!) для всех хЕН, то И вЂ” компактный оператор, если таковым является А. В самом деле, если (Агрг) сходится, то ), 'Перу — )орк (= !; Ачу — Агре!1 и значит, игр,) также сходится.
Лемма. Если А — компактный оператор, то )с' имеет чисто точечный спектр с неотрицательными собственными значениями, причем или их конечное число, или они накапливаются только вблизи Х=О. Положительные собствснныезначения имеют конечную кратность (и, конечно, индекс, равный единице, поскольку тч самссоп ряжен) . Докдзлтильство. Если бы непрерывный спектр в смысле Гильбертз не был бы пуст, он содержал бы число Хе Н: О (фзктически положительное), так кзк этот спектр является совершенным множеством (см. упражнение 2 $ ! !.5!.
Тогда нашлась бы бесконечная ортонормироввннвя последовзтельность (ик), такая, что (пик — йепк)! О при й — ~ ое, но это бы протязоречило компзктности К, ибо последоввтельность (пе) огрзпиченз, и если онз содержит подпоследовательность (ок), для которой (йпк) сходится, скажем, к ш, то Хзпы сходилась бы к ю. Но (геок, х) О при любом к, поекольиу (ок) ортоиормирована, откуда следует, что ш=о, С другой стороны, )геок!!=)ле( для всех й, откуда следует, что ю ю О. Следовательно, й имеет чисто точечный евектр.
Аналогичные рассуждения показывают, что собственные значения не могут нзизпливзтьсв при и Ф О и что не сушествует сс,бственных значений с бесконечной кратностью. Пусть теперь (гр,) — максимальная ортонормированная система собственных векторов )т, соответствующих положительным собственным значениям (ат), т. е. (~р ) — полная ортонормирован- аб Гл. 12. Комнпншные, Гнльберглп — !ймидшо и ядерные ояеропсоры ная система в М()с)х, Для каждого ! определим з)су — — (1/а ) Афл; тогда 1 1 (з)с,, з)сь) = — (Асрль Асрз) = — (ср,, )сзср ) = 1 = — (срь афрл) =бух. Гчедовательно, система (з)зу) также ортонормирована, Если х— линейная комбинация векторов ср» то Ах=~~;(фу, х)аузр;, (!2.2.1) Это выражение справедливо также и для хЕХ(Р)=Лг(А), ибо тогда все (ф, х)=0.
Таким образом, это справедливо для всех х. Теорема. Оператор Л компактен тогда и только тогда, когда существуют ортонормированные последовательности (фу) и (зрс) одинаковой длины (конечной или бесконечной) и соответствующая последовательность (ау) положительных чигел, которая сходится к нулю (если она не является конечной), такие, что А задается формулой (12.2.1). Оператор, сопряженный А, определяется так: Л'у = Х (фр у) а!фу (12,2,2) Доказательство. Гели А компактен, то существование последователь- ностей (фу), (фу», (ас) было установлено выше. й(ы докажем обратное: если такие последовательности даны, то оператор А, определяемый из (12.2,1), иомпактен. С втой целью возьмем ограниченную последовательность (х,)," а лт:.
Нам нужно показать, что (Ахг) содержит сходшпуюся подпоследователь- носзь. Так иак (хг) ограничена, то, согласно упражнению 4 й!.9, она содер- жит слабо сходящуюся подпоследовательность, которую мы снова обозначим через (х„). Мы покажем, что нз слабой сходнмости (хг) следует сильная сходнмость последовательности (Ахг), В силу ограниченности х, супсествует такая постоянная М, что ((фр х„) (з~ й(з длЯ всех г, Пусть дано е > О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
