Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Мы отметим одно отличие между проводимыми здесь рассуждениями и теми, которые проводились в 3 10.15, где для двумерного лапласиана использовалось разделение переменных в полярных координатах г и О. (То же отличие имеет место при любом числе измерений.) Там для (=О (нет зависимости от О) мы обнаружили, что радиальное уравнение имеет особую точку г 0 типа предельной окружности, и поэтому следовало поставить в данной точке некое граничное условие„чтобы дифференпиальный оператор был самосопряженным. При этом в зависимости от выбора граничного условия можно было получить различные самосопряженные операторы. Здесь не появляется никаких граничных условий. В тех рассуждениях предпочтительным был выбор такого условия, прн котором исключалось бы рещение дифференциального уравнения, ведущее себя подобно! и г =-1и (х'+ уз)ггз при г — О.
Для любого г) 0 уз!пг=0, но если 1пг рассматривать как распределение, то уз 1п г =- 2лб (х) б (д). !) Строго говоря, в приведенной ниже формуле подынтегральное кыраже. яве имеет вид ехр 1(м у)~ ехр 11 ~ 21 (х — х ) у). Ыо если прп вычислении интеграла ось дг взять в направлении вектора х — х'., то получится формула (11.2.3).— Прим. перез. /Дд. Операпюрм Шредингера Однако это распределение не принадлежит /.з(!ка), и поэтому определение (11.1.2) автоматически исключает такое решение из области определения оператора Н. Упнлжнвныя 2.
Проверьте, то для любой фупянии гр(х, р]~Со (Кз) ) ) 1п г пг <рихд(г=2юир(О, О). Ю 3. Оператор, о котором идет речь в данном упражнении; появляется не в квантовой теории, а а теории переноса. Пусть/1 — гильбертово пространство ьз(кх( — 1, 1)), состоящее из распределений /(х, р) со сяаляриым произведением (/ Е) = ~ «х ~ др/(х, р)Е(хз р)г -1 и пусть Т вЂ” оператор, определяемый формулами Р(Т)=г /Е).1: и — х ~ ).1) з Т/(х, Р)= — 1Рд — /(х, Р).
Решив УРавнение Т/ — )/=пг вычислите РезольвентУ )г =(Т вЂ” Х) а длн 1ш Х Ф О. Затем положите Т=(/Т(ге, где (1 — оператор преобразования Фурье относительно х: ((г/) рн ) — /(й, р)=(2п) Ыз ) е- мх/(х, р)дх. Пояажите, что Т самосопряжен, а значит, самосопряжен и Т. Вычнслите реаольвенту )ть -- — (г' — Ц г и разлогиение единицы Ег для оператора Т. Путем обратного преобразования найдите разложение едииипы Ег для Т, Ы.З. ОПЕРАТОРЫ ШРЕДИНГЕРА Одной из целей современных математических исследований оператора Шредингера и связанных с инм операторов является подведение надежной базы под многое из того, что на основе физических соображений представлялось интуитивно очевидным; см.
книги Като 119661 и Йоргенса и Вайдмана 119731. Первое такое обстоятельство заключается в квантовомеханическом требовании, чтобы гамильтониан любой физической системы интерпретировался как самосопряженный оператор. В настоящем параграфе будет сделано несколько замечаний по этому вопросу (без доказательств). Некоторые аспекты непрерывного спектра будут рассмотрены в следуюшем параграфе. Рассмотрим сначала гамильтониан Н=Н,+У, где Н,= — г/,Еа, (11;3.1:) таз Гл. Н. Некоторые ооераяоры в кванаовой механикс для одной частицы, которая движется в поле с потенциалом 'г'='х'(х).
Гильбертово пространство есть Н=Е'(Гсо), а Н„обозначает самосопряженный оператор, который в 2 11.1 обозначался через Н. Пусть )е(х) — ограниченная непрерывная (вещественная) функция. Рассматривая эту функцию как оператор, мы имеем самосопряженнь1й, ограниченный и определенный во всем Н оператор. Из упражнения 2 9 7.2 следует, что гамнльтониан Н самосопряжен. Говорят, что 1' представляет собой ограниченное возмущение Н,. Если )г(х) — неограниченная функция, то вопрос о самосопряженности и других свойствах оператора Н значительно труднее, но прп разумных допущениях на него можно ответить с помощью методов теории возмущений для операторов, Если У(х) ЕА'(И'), то скалярное произведение г'(х)ф(х) вполне определено как распределение (в Е', см.
$ 5.4) и можно доказать, что это распределение принадлежит Е', если ф принадлежит области определения оператора Н„заданной в (11.1.2). Таким образом, оператор У определен на этой области. В книге Като 119661 доказана следующая теорема. Теорема 1. Если потенциал е'(х) может быть записан ввиде суммы двух (веи(ественных) функций, из которых одна непрерывна и ограничена, а другая принадлежит .С'(йс), то оператор Н, определяемый формулами ГР (Н) =- (ф Е Е' (к') '- У'ф Е ь') Нф.=- — '/,у'ф+ 1/Ф самосопряжен и ограничен снизу. Данная теорема применима, в частности, к водородоподобному атому, где 1'(х) = — 2/~ х), 2 — положительное целое число, определяющее заряд ядра. Като показал также, что это заключение имеет силу и для и-электронного атома с ядерным зарядом 2~п, для которого о л $~ = 1l(х„..., хо) = — ~~ з2/) хт ( +,»' 17(хт — хх (.
(11.3.3) /=1 ! <А=! Теврема 2. Оператор Н, определяемый формулами 12(Н) ==(фЕЕ'жео): ТвфЕЕ'), Нф= — 1/ ркф+ 1/Ф где у' представляет собой Зп-мерный лапласиан, а 1' задан формулой (11.3.3), самосопряжен и ограничен снизу. Ограниченность Н снизу означает, что существует значение энергии Х, (отрицательное в рассматриваемых здесь случаях), Плй ВсвмувВение спектра. СущесмвенншТ спектр гвт такое, что (ф, Нф))Хв(ф, ф) для всех ф, или, эквивалентно, что весь спектр лежит в интервале Х'=ьХ,.
Это соответствует существованию основного состояния, или состояния с наимень. шей энергией. Иоргенс [19671 доказал самосопряженность гамильтониана для водородоподобного атома в однородном электрическом поле (эффект Штарка), в однородном магнитном поле (эффект Зеемана), при одновременном действии этих полей, в магнитном поле кольцевого тока (это более физичная модель для эффекта Зеемана, поскольку в ней полная энергия магнитного поля конечна). Когда задача о водородоподобном атоме рассматривается при помощи разделения переменных в сферических координатах г, О, ~Р, обнаруживаются ложные решения для 1= О (нулевой момент импульса), так как радиальное уравнение при е = 0 имеет особую точку типа предельной окружности, как было указано в Е 10.16.
Как и в предыдущем параграфе, такие нежелательные решения, ведущие себя подобно 17е при е — О, исключаются из области определения оператора в (11.3.2), потому что ев (1Н) = — 4пб (х) 6 (у) 6 (г) не принадлежит Хв. (1 ! .3.5) Еьв. ВОЗМУЩЕНИЕ СПЕКТРА. СУЩЕСТВЕННЫЙ СПЕКТР. АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СПЕКТР В записи Н=Н,+1~ оператор г' мыслится как возмущение. Если )с мал в некотором смысле, то различные свойства спектра инвариантны, т.
е. одинаковы для Н и Н,. Мы предполагаем, что Н, самосопряжен и что Г является симметрическим оператором, определенным на области определения оператора Н„т. е. г)(Ъ') ~ ге(Н). Одним из видов малости может служить относительная ограниченность. Оператор У называется ограниченным относительно Н, или Н;ограниченным, если существуют постоянные а и Ь, такие, что 1ГФ~1я-'а1ф1+Ь1Н,ф1 для всех фЕО(Н,). (11.4.1) В общем случае можно уменьшить Ь, если увеличивать а, но нельзя взять Ь=О при конечном а, если только г' не является ограниченным оператором. Точная нижняя грань возможных значений Ь называется Н;гранью оператора )е. Теорема 1, (Реллих). Пусть Н, и Ч вЂ” указанньее выше опера оры, причем У Н;ограничен с Н;гранью, меньшей единицы.
Тогда Н =Н,+(е' самосопряскен и имеет область определения 0(Н) = = ее(Нв) ° 268 Гл. 1Е Некоторые опвроморы в квантовой явкокике Теорема 2. (Като). Если в условиях теоремы 1 Н, ограничен снизу (или сверху, или с двух сторон), то Н =Н,+)л ограничен снизу (или сверху, или с двух сторон), но не обязательно той же гранью (теми же гранами). Зти теоремы лежат в основе цитированных в предыдущем параграфе результатов Като.
Для кулонова потенциала )г(х) = = — г!~ х ~ !л хотя и не является ограниченным оператором, Н;ограничен с Н;гранью, равной нулю. (То есть в (11.4.1) можно положить Ь О, полагая при этом а сс.) Так как Спектр оператора — '/,ук лежит в !О, с), теорема 2 применима к йадачам Шредингера. Для одноэлектронной задачи по физическим соображениям можно ожидать, что если !г(х) — 0 при 1х( сс, то непрерывный спектр Н также заполнит 10, сс), поскольку частица на очень больших расстояниях практнчески свободна, а свободная частица может иметь любую положительную энергию. Зта гипотеза подтверндена большим вычислительным опытом, но более точные утверждения нуждаются в некотором спектральном понятии.
Именно, существенный спектр оператора состоит из всех точек спектра, за исключением изолированных собственных значений конечной кратности. Таким образом, мы добавляем к непрерывному спектру: (1) любые собственные значения, лежащие в нем или на его краях, (2) любые предельные точки спектра, (3) собственные значения бесконечной кратности, если они существуют. Путем проверки различных случаев устанавливается, что точки существенного спектра можно характеризовать приближенными собственными векторами (возможно, включая истинные собственные векторы) следующим образом: Х принадлежит существенному спектру оператора Н тогда и только тогда, когда существует последовательность (ол)р линейно независимых (или, если угодно, взаимно ортогональных) единичных векторов, таких, что !(Ног — )о !! 0 при ) сс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
