Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(10.9.3) Общее решение для данного Л с точностью до произвольного постоянного множителя дается формулой ~ (х) = Г', (х) + ел~, (х), (10.9.4) где еп — комплексное число. Мы покажем, что если 1шЛ~О, то имеется по меньшей мере одно значение ея, для которого ) (1Гг(х конечен. Умножив (10.9.1) на 1(х) и проинтегрировав от 0 до Ь (в конечном счете положим Ь- оо), после интегрирования по частям мы найдем, что о ь — УИ 3.-.-? ~ (И Г (*+ 4! Л*) (х= Л ~ ! Д' е(х, (10 9 5) о о Интеграл в левой части принимает вещественное значение, Возьмем мнимые части от всех членов уравнения.
Используя начальные условия (10,9.2), прежде всего заметим, что р(0)1ш Д(0))' (0)1=1п1т; рледовательно, очи - р (Ь) 1п| (Г (Ь) 7' (Ь)1 = г (т; Ь) =. — 1гп т -(- 11п Л ) / ) ~* дх, (10.9.6) о Гл, гй. Обьеогеееммне Ьмфферемчиальмме аиераммры 2! Положим теперь для простоты 1иХ) О (ясно, что другой случай аналогичен). Мы покажем, что для данного Ь Р(и; Ь) < 0 внутри некоторого круга !ль в плоскости и и Р(т; Ь) > 0 вне этого круга.
Более того, когда Ь возрасгзет, эти круги стягиваются, т. е. если Ьг > Ь, то 1!ь содержится в 1! . Действительно, Г (т; Ь)= (!Р!2) Я~+ ги!ь) ()г+иЯ вЂ” (ггг+т)е) (ггг+гпИ~ -ь (10,9.7) что можно записать в виде Р(т; Ь)=А(т~ь+Вйеи+С1гпт+1), (109.8) где А, В, С и Π— вещественные коэффициенты и ь А= — р(Ь)1гпггь(Ь)гь(Ь)1=1ш) ) ~7,~ьйх.
(10,9,9) а $ )1!ьйх < (гни„/1гп)г,' (10.9.!0) Поскольку радиус круга 1/(2А) — 0 при Ь- оо, из уравнения (!0.9.9) следует, что )', (х) не является квадратично интегрируемой и поэтому нет других квадратично интегрируемых решений, крома кратных Г(х). Как уже было указано выше, если принадлеж. ность 1ь была установлена для одного е,, то она имеет местодля всех Х. В действительности в случае предельной точки условие квадратичной интегрнруемости заменяет однородное граничное условие в концевой точке. Если круги Юь стягиваются к кругу 1)„ненулевого радиуса, то говорят, что в данной задаче осуществляется случай пределе.
ной окружности на правом кодце, Тогда, взяв любые два значе ЗДЕСЬ бЫЛО ЕШЕ раэ НСПОЛЬЗОВаиО (!0.9.5) С ПОдетаНОВКОй Гь ВМЕ. сто Г'. Ясно, что геометрическим местом точек со свойством Р(и; Ь)=0 будет окружносгь в плоскости т, а болеедетальнью вычисления с использованием (!0.9.2) показывают, что радиус этой окружности ранен !42А). Ясно, чтодля больших и Ь(и; Ь) ) 0 (в силу (10.9.9) А > 0), следовательно, Р < О в круге Вь, ограниченном этой окружностью, и Ь ) 0 вне его. Наконец, из (10.9.6) следует, что Р (т; Ь) — возрастающая функция Ь при фиксированном и, и, значит, круги стягиваются, когда Ь возрастает.
Если круги 1! при Ь- оо стягиваются к точке т„, говорят, что в данной задаче осуществляется случай лредельиой точки на правом конце (х= о ). Тогда В(т; Ь) <О для всех Ь и (!0.9.6) показывает, что решение Г(х) =Г, (х)+и„)ь(х) квадратично интегрируемо на (О, оо); в самом деле, 240 Ге. ед. Обьаааееааме даффереациаеенме еаеаамадн ния еп в 1е„, легко увидеть, что любая линейная комбинация ~е и (".е квадратнчно интегрируема. В этом случае квадратичная интегрируемость не эквивалентна граничному условию. Поэтому для задачи Штурма-Лиувилля в случае предельной окружности на одном конце (или на обоих), вообще говоря, требуется некоторое дополнительное условие, наложенное на решение вместо граничного условия, для того чтобы сделать оператор самосопряженным.
Примеры будут даны ниже в $ 10.15 — 10.17. Коддингтон и Левинсон дали следующий критерий установления того, имеет ли оператор Штурма-Лнувилля Т, яри х= оо особую точку типа предельной точки. Если существует функция М (х) ~ 0 из класса С', такая, что ~ (РМ)- Ые й» = ао (10.9.11) Ры" М'М-ем ограничено, 0(х < оо, (10.9.12) н если 4)(х) - — М(х), то при х=со оператор Т, имеет особую точку типа предельной точки. Полагая М=сопз( и р=сопз1 соответственно, можно получить два частных случая.
а) Если д(х) ограничена снизу (возможно, отрицательной) постоянной и ) р-ыейх бесконечен, то оператор Т, имеет особу1о точку типа предельной точки. б) Если о(х) ) — йх', где й=сопз(, то оператор Т„определенный уравнением Те[= — Г'+4)(, имеет особую точку типа предельной точки. тала. эвгхпявная осоаая точна. мвтод еэоавнихса где Р(х) =Р'(х)/р(х), 4~(х)= — [д(х) — Ц/р(х). Концевая точка а является рееулярной особой точкой уравнения (10.10.1), если Р(х) и Я(х) аналитичны в некоторой окрестности точки а в комплексной плоскости х„за исключением того, что при хь и Р может иметь простой полюс, а () — полюс не выше второго порядка. Заметим, что Р(х) и Я(х) могут иметь особенность тогда, когда р(х) и о(х) не имеют особенности; достаточно, например, чтобы р (а) =.О.
Дальнейшая классификация концевой точки, скажем, при х=а возможна в том случае, когда Р(х) и д(х) аналитичны вблизи а, Запишем уравнение Те) = Ц в виде Г" (х) + Р (х) ~' (х) + Я (х) ~ (х) = О, 70.!О. Рееуляряоя особое оючка. Метод Фроаеяияеа Мы увидим, что регулярная особая точка может иметь как тип предельной точки, так и тип предельной окружности. Отметим также, что для данных р(х) и д (х) точка х=а может быть регулярной особой точкой уравнения (10.10.1) для некоторого Х, а для других не быть таковой. Например, при р=д=х' нуль является регулярной особой точкой лишь для ).=О.
Однако то, какой случай (предельной точки или предельной окружности) имеет место, согласно предыдущему параграфу, не зависит от Х; поэтому, чтобы выяснить, какой случай осуществляется, можно использовать любое значение ), при котором а является регулярной особой точкой. Теперь мы опишем так называемый метод Фробениуса для нахождения решения вблизи регулярной особой точки, Разложения функций Р (х) и Я (х) в ряд Лорана в окрестности х=а имеют внд Р (х) = Р, (х — а) '+ Р, + Р, (х — а) +..., ! ! (х) = Яо (х — а) *+ !е; (х — а) -" + !е, +..., ! 0<!х — а)<Л (10.10.2) Будем искать решение уравнения (10.10.1) в виде степенного ряда г (х) = (х — а)" ~ а„(х — а)" (а„~ 0). (10.10.3) о Подставим этот ряд в (10.10.1) и приравняем нулю полученные коэффициенты при различных степенях х — а.
Это дает опреде. ляющее уравнение для а ом ~ (а) = а' — а+ Р,а + ф, = 0 (10.10.4) и последовательность рекуррентных соотношений ! Р (а+ !) а, + Х !(и+ ! — !) Р,+ Ц')а, у —— 0 (! = 1, 2, ...) (10,10,5) для коэффициентов а;, а„..., выражаемых через а„который является произвольным. Пусть а; и а,— корни определяющего уравнения (10.10,4), упорядоченные так, что Ееа, э Кеа,. Теорема. Для а=а; ряд (10.10.3) с коэффициентами, определяемыми из (10.10.5), сходится для ~х — а) < Я, и построенная так функция )'(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (10.10.1). Доказательство основано на стандартной теории аналитических функций и приводится в книгах по дифференциальным уравнениям, например в книге Йоргенса и Реллиха !1975!.
242 Ге. 1д. Обыеноынные дио!44еренчиоеьиьм онернимоы Для а=сев этот же метод дает второе решение, если только число а; — а, не является целым, но в любом случае второе ре. шение имеет вид (10.10.б) что легко показать прямой подстановкой в уравнение — (пд')'+ + дй=уьд. Если в (10.10.6) подставить степенные ряды для 1 и р, то д(х) примет вид (Х вЂ” а)"нР1(Х), ЕСЛИ ат-а, НЕ ЦЕЛОЕ, п(х)= (х — о)" гр,(х)+сопи! ~(х) !п(х — а), (10,10,7) если а; — а, целое, где гр,(х) и ~ре(х) — аналитические функции для !х — а! е.
гг' и но обращаются в нуль при х=а. Если вспомнить, что Кеат)~ гчеа„то из (10.10.3) и (10.10.7) можно увидеть, что ) и д принадлежат т'.а(а, а+с) при с( Й, если Йеаа ) — '/а; следовательно, это является критерием для случая предельной окружности. Упвлжнания 1. Примените метод Фробениуса к уравнению Бесселндли х=О и к уран. нению Лежандра дли х= ~ 1. 2. Что дает данный метод в том частном случае, когда о являетси регу. варной точкой дичнйеренннального уравнении (10.10.1)Р чйнч. САМОСОПРЯЖЕННОЕ РАСШИРЕНИЕ ОПЕРАТОРА Т В СЛУЧАЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКИ В этом параграфе будет показано, что если концевая точка со имеет тип предельной точки, то самосопряженные варианты оператора Те — (сИх) р (с!Рг(х) + д могут быть получены наложением граничного условия только в точке х= О. Для этого решающим является следующее свойство случая предельной точки, Оказывается, что функция ра(х) в этом случае не является квадратнчно интегрируемой, Можно снова повторить рассуждения 2 10.9 с рт и у„переопределенными так, чтобы вместо (10.9.2) удовлетворялись граничные условия !т (0) = сова, р (О) Гт (О) = и!па, Га(0)= — и!па, р(О));(0)=сова, где а — вещественный параметр, Весь вывод, начиная с (10.9.3), остается неизменным, и мы заключаем, что новая функция уа(х) также не является квадратнчно интегрируемой для 1тРь~О, т, е, уее.ее.
Случай владельна т амачи никакое решение, удовлетворяющее веет!еслмениому граннчнсечу условию Г (0) сов се+ р (0) ~' (0) з)нее = О, (10.11.2) не является квадратично интегрируемым на (О, ао) для ХшХФО. Определим теперь такое расширение А„оператора Т в случае предельной точки, при котором от / не требуется тождественного обращения в нуль вблизи х=О, а лишь нужно удовлетворить условию (10,11.2). Мы покажем, что А„существенно самосопряжен: ! (х)=0 для всех х> некоторого Ь, лл(А )= ~ЕС": Г (х) удовлетворяет (10.11.2) Методом 9 7.5 легко показать, что В (Аа) = (! Е 1 (О со)' Т ее Е т е (10.11.2) выполняется).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
