Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 47
Текст из файла (страница 47)
В самом деле, Ь(Д) была выбрана так, что — а — Р (х)а +у (х) — Х~ б(х, у) =б(х — у), (10.6.3) д д т, е, так, что — р(х) (д/дх) 6(х, у) имеет единичный скачок при х= у. Далее, если д — любое распределение в 1.' и если ь Г(х) ) б(х, У;Х)У(У)ЫУ, (10.0.4) 10.7. БОлее ОБщие граничные услОВия Рассмотрим граничные условия аа" (а) +Рг!' (а) + у!1(Ь) +бд' (Ь) = 0 (1= 1, 2), (10.7.1) где допускается, что матрица этой системы уравнений имеет ранг 2, так что уравнения независимы, Назовем их сцепленными то видно, что Г удовлетворяет граничным условиям и принадлежит 1.' (оиа непрерывна) и что Т,!=Х~+д, поэтому Т,!~1', а значит, ) содержится в О(А), и Ае — Х~=д или ~= Я~у, где й„— резольвепта оператора А, т. е.
эта резольвента является интегральным оператором в (10.6.4); это ограниченный оператор (фактически компактный †. гл. 12), и он определен во всем 1.* для любого Е, которое пе является собственным значением А. Отсюда следует новое доказательство самосопряженности А (до сих пор использовалась лишь его симметрия), так как + 1 и — 1 принадлежат резольвентному множеству.
Следует также, что непрерывный спектр пуст, поскольку любое вещественное Х, не равное собственному значению, также принадлежит резольвентному множеству. Следовательно, собственные функции образуют базис в ь', т. е. любое ~Еь' может быть разложено по ним, и это разложение сходится в среднем к 7. Итак, имеется бесконечно много собственных значений (так как каждое собственное пространство одномерна) и 117(- со при ! — оо. 1Б.7. Бама абпим гпааиеим Вавмия граничными пс ювия.ыи. Их можно разрешить относительно ка- ких-либо двух неизвестных, которые будут выражены через два других; пусть эти уравнения разрешены, скажем, относительно 7'(а) и 7'(Ь): ~' (а) = е,7 (а) + ~,/ (Ь), Г' (Ь) = е~ (а) + ~~ (Ь); (10.7.2) ') д (рЕ')' ах = ) (рй')' Г" ~х а а для всех 1 и д в Р(А), т.
е. для всех Г и д из Е*, таких„что (р7')' н (рд')' принадлежат Е' и что указанные выше граничные условия удовлетворяются для ) и д. Интегрирование по частям приводит к условию (р (х) (й (х) 7' (х) — у' (х) )' (хЩ = О. Подстановка Е' прн х=а и х=Ь из граничных условии (10.7.2) и д' при х=а и х=Ь из соответствукяцих комплексно сопря. жеиных уравнений, в которых1 заменена ва й, дает уравнение, содержащее восемь членов. Значения 7 и и как при х=а, так и при х=Ь могут быть выбраны произвольно при условии, что 1' и д' при х =а, х= Ь затем определяются прн помощи (10.7.2).
Легко показать, что упомянутое восьмичленное уравнение будет удовлетворяться тогда н только тогда, когда ~,=1 .,-0, „р(Ь)+Е,р()=О. (10.7.3) Затем точно так же, как в предыдущей задаче„можно исполь- зовать методы $ 7.5 для того„чтобы доказать самосопряженность оператора А, определенного следующим образом: Р(А) =(Д~Е.
Т,~ ~Е', (10.7.2), (10.7.3) выполняются), А7'= Т,т. )эти результаты иллюстрируют теорему фон Неймана о воз. можностн самосопряженного расширения симметрического опе. ратора. Пусть Т вЂ” оператор, определенный так: Р(т'-()ЕЕ'" Т,~ЕЕ*, у(а)=1(Ь)=)'(а)-Г(Ь)-0), 10 4 т~ т,~ для ~бр(т), (1074) обсуждение других случаев, вполне аналогичных этому, предоставляем читателю. Для того чтобы результирующий оператор А был симметричен, поскольку оператор умножения на д(х) уже симметричен, необходимо и достаточно, чтобы г ь Гл.
Тд. Одьггиименнме дг4гререняииььнме оперонюрм ()ператор Т вЂ” такой симметричный оператор, что сопряженный ему оператор Т» вообще не имеет никаких граничных условий. В некотором смысле Т вЂ” минимальный оператор вН(минимальный относительно области определения), полученный из Т„а Т' — максимальный. Для любого Л уравнение Т 7 Л~ Умеет два независимых решения, поэтому индексы дефекта оператора Т равны (2, 2). Следовательно, согласно теореме фон Неймана (~ 8.6), существует двух-(комплексно)-параметрическое семейство, т.
е. четырех-(вещественно)-параметрическое семейство самосопряженных операторов А между Т и Т (Тс Ас Т»). Рассмотренные выше грйничные условия обеспечивают такое семейство: в уравнениях ()0.7.2) имеются четыре комплексные постоянные, а уравнения (10.7.3) налагают четыре вещественных ограничения, так что остаются четыре свободных вещественных параметра. УПРАЖНЕНИЕ 1.
Найдите реаольвенту рассмотренного ампю оператора А, т. е. найдите функцию Гриаа для уравнения А7 — Ц е. та.а. ОпеРАтОР $$ттуРмА — лиувилля с ОднОЙ ОСОЕОЙ КОНЦЕВОЙ ТОЧКОЙ До сих пор предполагалось, что область изменения х представляет собой ограниченный замкнутый интервал (а, Ь] н что коэффициенты р(х) и г7(х) непрерывны на (а, Ь]. Если 1а, Ь] заменить интервалом вида (а, оо) нли (а, Ь) (в последнем случае коэффициенты могут стать бесконечными прн х — Ь), то правая концевая точка (х=Ь) называется особой.
Задача Штурма — Лиувилля может иметь одну нлн две особые концевые точки. Часто случается, что в особой концевой точке не требуется никаких граничных условий — требование принадлежности решения к Е* заменяет граничное условие. Это так называемый случай предельной точки (см. ниже), который обычно (но не всегда) встречается в квантовой механике. Радиальные уравнения, которые получаются при разделении переменных в уравнениях Лапласа, Шредингера и Дирака, имеютособые концевые точки при у=О и г=со.
Точка оо имеет тип предельной точки„следовательно, в ней имеется автоматическое нли внутреннее граничное условие, тогда как концевая точка 0 иногда имеет тип предельной точки, а иногда тип предельной окружности, и в последнем случае дополнительное граничное условие должно быть наложено на основании физических соображений; см.
ниже 2 10.15 — 10.17. В этом параграфе и в двух следующих мы рассмотрим случай одной особой концевой точки. Мы возьмем.интервал 10, оо), но точно таким же образом можно рассматривать любой интервал вида (а, Ь). ТО.У. Граничное условие в особой концевой точке 237 Допустим, что и ри О ( х ( оо р (х) Е С', д (х) Е С и р (х) ) О. Если 7 Е Ее (О, оо) и если Т,— оператор, определенный уравнением Т,7 = — (р7')'+ йу, (10.8.1) то Те7 является распределением, поскольку 7 принадлежит 7.' (О, Ь) для любого конечного Ь, а значит, может быть применена аргументация предшествующих параграфов. Весьма нелегко дать точный аналог минимального оператора Т, определенного при помощи (10.7.4), поскольку соответствующее граничное условие при +оо все еще неизвестно. Поэтому мы выбираем область определения, которая заведомо достаточно мала, именно С",(О, оо), даже если результирующий оператор не является замкнутым.
Одинаково удовлетворительным был бы выбор С,*(0, оо). В любом случае функции в этой области тождественно обращаются в нуль в некоторой окрестности точки 0 и в некоторой окрестности точки оо. Оператор Т определяется следующим образом: О(7)=-С,", Т7=Т,~ для 7ЕС,". (10.8,2) Дважды интегрируя по частям в (Т7', д), получим (7, Тй), установив тем самым, что Т симметричен. Метод 5 7.6 показывает, что сопряженным Т оператором является оператор, определяемый без граничных условий: 7)(Т') =(Ц6 (.ч: Те~ЕЕ'), Т'7 =Тч7 (10.8 3) 10.9.
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ В ОСОБОЙ КОНЦЕВОЙ ТОЧКЕ Согласно теореме фон Неймана из 6 8.6, существование и число самосопряженных расширений оператора Т, заданного формулами (10,8,!), (!0.8.2) предшествующего параграфа, определяются индексами дефекта (гп, а) оператора Т, которые являются коразмерностями областей значений операторов Т л- 1, т. е. размерностями нуль-пространств операторов Т' Т- ! или числами линейно независимых решений уравнений Тч7=-~- !7, где Т' определен в (!0.8.3).
Дифференциальное уравнение Т,7 = Л7 является уравнением второго порядка; следовательно, оно имеет два независимых решения для любого Л, и, согласно определению (10.8.3) оператора Т, решение 7 уравнения Т„7"=Лг" принадлежит области определения оператора Т* тогда и только тогда, когда оно принадлежит 7е(0, оа). Может случиться, что оба решения уравнения Т,7'=-Л7 (а значит, и все его решения) принадлежат й'.
Если это произойдет для одного невещественного Л, то, согласно лемме $ 8.6, это будет иметь место для всех Л в данной полуплоскости (верхией нли нижней). Кроме того, если Те7=Л7', то Тч7 =Щ и 7 Е 7.', если 7 Е Ее; следовательно, если решение 7 принадлежит 7.' 238 еО.У.
Граничное Вееоеие е оеооой ноняееоя нинам для одной полуплоскости, то регпеиие принадлежит (ч также и для другой. Фактически для данной задачи все решения принадлежат Л' для всех Л (см. книгу Коддннгтоиа и Левинсона (! 9551). Таким образом мы приходим к выводу, что индексы дефекта оператора Т суть (О, О), (1, 1) или (2, 2). Далее мы покажем, что всегда имеется по меньшей мере одно решение уравнения Т,~ =Л), принадлежащее Е', и, значит, случай (О, О) исключается. (Когда существуют две особые концевые точки, случай (О, О) может иметь место, как в $ 10.2, гдебыло обнаружено, что оператор †(д/дх)' на й самосопряжен без каких-либо граничных условий.) Пусть ~, (х) =~, (х; Л) ((=1, 2) — решения уравнении Т)= Ц, т.
е. уравнения — Ф')'+ог =Л~ (10.9.1) со следующнми начальнымн условиями: 1, (О) = 1, р (О) 1;(О) = О, 1, (О) = О, р (О) 1; (О) = 1. Так же как для регулярной задачи Штурма — Лнувилля, вронскиан двух решений (для одного и того же значения Л) есть константа, умноженная на 1(р(х). В самом деле, мы находим, что р (х) (Г", (х) 1; (х) — Г, (х) Г', (хЦ = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
