Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Е =О, Е = 7 в том смысле, что для любого оТ-НЕсо- О при 1 — оо и Еео- о прн 1 +со. С увеличением 1 от — оо до +со многообразие М, постоянно расширяется от нулевого многообразия до (в конце концов) всего Н. Если — оо = 1о ( Тт (... ( Тес — — + оо (9.7.1) — разбиение вещественной прямой на интервалы Л =(17 и Я то 7=Е(Л,)+Е(Л,) 1 ...
+Е(Л~) (9.7.9) Н = М (Л,) ~~а ., Щ М (Лв,). (9.7.3) Это очень напоминает разложение Со на ортогональную прямую сумму собственных подпространств Ее эрмитовой матрицы, однако разложение (9.7.3) обычно можно бесконечно уточнять простым измельчением разбиения (9.7.1) прямой вк. 4. Проекторнозначная функция Е, непрерывна справа в том смысле, что для любого о~Н Ее+во Е,о при 810, т.е. многообразие Мс вЯМ, стягивается к нулю. При данном 1 Е, не обязательно непрерывна слева.
Если Е, разрывна слева при данном 1, то М,ЯМ,, при е(О стягивается, как будет видно, к собственному (в строгом смысле) подпростраиству оператора А, соответствующему собственному значению 1. В действительности непрерывность Е, справа несущественна, потому что все утверждения можно сформулировать без использования этого свойства. Например, только что упомянутое собственное подпространство можно описать как предел, к которому стягивается многообразие Мс+вЯМс-в при 81О.
Р.а. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА Мы видели, что каждый самосопряженный оператор А при помощи своей резольвенты и формулы (9.6.5) или (9.6.6) пороисдает единственное разложение единицы, т. е. единственное семейство проекторов (Е,), которое обладает свойствами 1 — 4 предыдущего параграфа. Обратно„(Е,) посредством равенств (9.8.5) — (9.8.7), приведенных ниже, одйозначно определяет оператор А, а это Гл.
У. Сленазральное разложение оаераоеорое устанавливает взаимно однозначное соответствие между множе. ством всех самосопряженных операторов А и множеством всех разложений единицы (Е,). Идея, лежащая в основе формулы, выражающей А через (Е,), связана с формулой А =~' Х,-Р7 для эрмитовой матрицы (см. З 9.
1), Если Л (1= — 1, ..., Ф) — интервалы разбиения й, как было оп. ределено в (9.7.1), то для каждого! проектор Е(Л,) =Е, — Ее в какой-то мере аналогичен проектору Р, а соответствующее собственное значение можно грубо приблизить некоторым числом Х~ из интервала Л . Следовательно, можно предположить, что А.=~)., (Е,,— Е,,,), (9.8.1) и, значит, можно ожидать, что в пределе при бесконечном измельчении разбиения й оператор А будет получаться как интеграл Стилтьеса, А= ) !е(Ее, (9.8.2) хотя пока еще не ясен смысл сходпмости интегральных сумм Римана — Стилтьеса (и, следовательно, не определено значение интеграла самого по себе), потому что справа в (9.8Л) стоит ограниченный оператор, определенный на всем Н, тогда как А в общем случае — неограниченный оператор, определенный только па некоторой области Р(А) Ф Н. Если формула (9.8.2) верна хоть в каком-то смысле, то, по-видимому, (и„Ао) = ) Ы(и, Его) (9.8.3) для всех и, оЕР(А).
Это уже обычный интеграл Стилтьеса, который, однако, может расходиться из-за бесконечности интервала изменения 1. Однако для любого и=1, 2, ... можно определить оператор А„(ограниченный н определенный на всем Н) при помощи уравнения и (и, А,о) = ) (е((и, Е,о). -о (9.8А) Для данного о последовательность А„о может иметь предел при и — ао, а может и не иметь его, и разумно предположить, что если такой предел существует, то оЕР(А) и Ао= !пи А„о. Это действительно так, согласно приложению Б к данной главе, посвященному доказательству приведенной ниже теоремы.
Лля того чтобы это было справедливо, необходимо (и, как оказывается, также достаточно), чтобы последовательность Ц Аоо() Рчд Тини схооимосми оераниченнмх олероморое имела предел, а зто будет тогда и только тогда, когда ) Гвй (о, Е,о) сходится. Результатом подобных рассуждений, подробно изложенных в приложении, является следующая теорема, Теорема, Любое разложение единииы (Е,) (т. е, любое семейство операторов, обладающее свойствами 1 — 4 из 9 9.?) однавначно определяет самосопряженный оператор А, и обратно.
Оператор А определяется по (Ет) следующим образом: о(А)= (п 1 ссь, е,ч< ) (9.8 5) тогда ~Ар~в ~ Гас((о, Есо) и для таких о и для всех и Е Н (и, Ао) = ) Гй(и, Е,о). Такое построение часто символически обозначают форл!улой (9.8.2) и называют спектральным разложением оператора А. Упражнении !. Покажите, что есла А ограничен; то Ес постоянна для ! < — 1!А 1! и 1~,'1 А 1, точнее; что Ев=о для ! < — (А 1! и Ег=l для ! > (А1!. Указание. Если предположить противное, то кожно найти вектор с; такой, по правая час~ь 19.8.6) больше 1А )в 1!с)в.
(9.8.6) 9.9. ТИПЫ СХОДИМОСТИ ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ. СВЯЗЬ МЕЖДХ СВОЙСТВАМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ Ес И СПЕКТРОМ А Пусть В, В„(п=1, 2... ) — ограниченные операторы. Если (и, В„о)- (и, Во) при и- оо для всех и, иЕН, то говорят, что последовательность (В„) сходится слабо к В, Если 1!В„о — Во!1 — О при и- оо для всех оЕ Н, то говорят, что (В„) сильно сходится к В.
Наконец, если („— В(- О при и- оо, то последова- тельность называют сходящейся к В равномерно или по норме. Очевидно, что из схсдимости по норме следует сильная сходи- масть (к тому же самому пределу), потому что 1В„о — Во(( ) „— В11о1, а из сильной сходнмостн следует слабая, поскольку ((и, В„о) — (и, Во)) ..)иДВ„о — Во(. 7акпм образом, чтобы говорить о сильной (или слабой) сходи- мости В„к оператору В, следует доказать, что векторы В„о сходятся сильно (слабо) к вектору Во, как определено в $ 1.9, при любом о Е Н, 2(2' т"хг лрз Слвягпр~гльлов разлоягвлив операторов (Эти понятия используются в любом банаховом пространстве Н, только слабая сходимость здесь определяется так. Линейный функционал 1(о), определенный на всем В, называется ограниченным, как и в Э 1.8, если найдется такая константа К, что )((о)(ч-'К((о(| для всех оЕ В; тогда о слабой сходимости В„к В говорят в том случае, когда ((Вло)- ((Ви) для всех о~В и любого ограниченного линейного функционала 1(.).
В случае гильбертова пространства зто определение согласуется с данным выше, потому что, согласно теореме Рисса — Фреше о представлении (2 1.8), ограниченный линейный функционал 1(о) всегда можно записать как (и, о). С понятиями сильной сходимости и сходнмости по норме для операторов в банаховом пространстве мы еще встретимся в связи с изучением корректно поставленных задач с начальными данными в гл. 15 и 16.1 Примеры в у.я(гч) Приме г Пусть „— оператор сдвига: (В„)) (х) =) (хб-2л); тогда (а, Вл)) = ~ л (х) / (х+ 2л) г(х, Этот интеграл разбивается на две исти, ) и ); и во втором интеграле вводится новая переменная у=х+2п: -л (а Вл)) = ~ у (х) ) (х+ 2л) г(х+ ~ я (у — 2") ) (у) г(у =! г+ )а л В силу неравенства Шварца 1(г('~6)1' $ )д(х)1'Ух, 1!з (э~!!я(т 11((уИ'Пу; л интегралы в этих неравенствах стремятся к нулю при и ло, потому что (( ) н а( ) квадратично нптегрнруемы.
Поэтому В„слабо сходятся к нулевому оператору; однако В„ не сходятся сильно ни ч какому оператору, потому что если бы оин сходилнеь, то пределом был бы нуль, в то нремя как для лю- бого гг 1 Влгг1=((гг) не стремятся к нулю. Пример в Пусть Вл-операторы уеечения: (В )) ( ) ( У (х) при )х ( < и, 10 при )х)> и. у.у. Типы сходимосп»и ограниченных о»мрнлюрса 2»В (Отметим, что „— проектор, потому что В,',= В„.) Очевидно, что )В»7 — П вЂ” 0 при л - со; следовательно, В„сходится сильно к единичному оператору !. Однако В» не сходится по норме к Е потому что '|„— »'»=1 для любого л; это меж»ю установить, применив „— » к функции, йоеитель которой нахо- дится вне интервала ( — и, и).
ПРИМЕР 3 Пусть В и „— интегральные операторы Гильберта — Шмидта (» (х)= ~ К„(х, у) )(у) ау, (В»«) (х) )«К (х, у)»«(у)»»у, одра которых таковы, что ае» с с Д»»= гт ) )К„(х, У) — К(х, У))»их йУ«0 пРи и — «со (т. е. ʄ— К в Ь»(кэ)). Применив неравенство Шварца, получим, что )!(В» — в)у,'й ам»)~у)е и), так что ) В» — В(~ М„; поэтому В„сходится но норме к В.
Каждому типу сходимости соответствует свой тип непрерыв- ности. Говорят, что однопараметрическое семейство ограничен- ных операторов В(») слабо или сильно непрерывно, или непре- рывно по норме в точке», если В(»+б) сходится слабо, сильно или по норме к В (»), когда б - О. Односторонняя непрерывность (слева или справа) каждого типа определяется аналогично. Если В (») — разложение единицы Е„заданное формулой (9.6.5) илп (9.6.6), то В(») автоматически слабо непрерывно справа. Более того, для разложения единицы слабая непрерывность (справа, слева, двусторонняя) автоматически означает сильную непрерывность (того же вида), потому что если (и, (Е»эа — Е»)о) О при Ь- 0 для любых и и и, то это верно и для и=о.
Так как Е» в — Ż— проектор, выписанная выше величина равна (о, (Е».,а — Е»)'и), а поскольку проектор самосопряжен, эта величина равна также и ((Е»,а — Е,) и, (Е,а — Е») и) =((Е»+в — Е,) п)а. Поэтому в данном частном случае слабая непрерывность экви. валентиа сильной. В силу этого для любого вещественного»а нужно рассмотреть следующие возможности: (а) Е, разрывна (имеется в виду слева) в точке Ем (б) Е, сильно непрерывна (но не по норме) в С„ (в) Е, непрерывна по норме в»а, Ге.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
