Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 43
Текст из файла (страница 43)
У. Спепепраеьпое рааеоаеепие операпеооов 214 Мы покажем, что в случае (а) точка 1, принадлежит точечному спектру А, в случае (б) — непрерывному спектру, а в случае (в)— резольвентному множеству. (Можно также рассмотреть и другие случаи, например непрерывность по норме с одной стороны 1, и просто сильную непрерывность — с другой, однако значение такого поведения Е, для характеристики спектра выяснится только после того, как будут проанализированы перечисленные выше случаи.) Непрерывность Ее справа (одновременио слабая и сильная, но, вообще говоря, не по норме) была получена в 9 9.6 прн определении Е, формулой (и, Е~о) = — „.!пп ~ (и, В~о) Ю, 1 си+о> где С(з) — контур, который идет от — оо выше вещественной оси на плоскости )., пересекает эту ось в точке в, а затем возвращается к — оо ниже вещественной оси.
Очевидно, что подобным же образом можно определить оператор (который мы обозначим через Ее ) и в случае, когда 6 приближается к нулю снизу, а не сверху. Тогда Ее будет семейством проекторов, обладающим всеми свойствами Е„за исключением того, что оно непрерывно слева, а не справа. При помощи методов 5 9.6 нетрудно убедиться в том, что оператор 'оее Ре= Ее — Ее- (9.9.1) является проектором; в точке непрерывности Е, оператор Р, равен нулевому проектору (нулевому оператору, который отображает все и в нулевой элемент), однако в точке разрыва Е, оператор Р, не равен нулю. Многообразие, на которое проектирует Рп т. е. его область значений ет(Р,), состоит из тех векторов из области значений Е„ которые ортогональны области значений Е, для любого з (1. Это выражается уравнениями ( Р, при з)1, Р,Ее — — ЕеР,=) 9 при з<е, (9.9.2) (и, Аа) = ) И (и, Ееп) Уи.
(9.9.3) которые легко получить при помощи методов приложения А. Предположим теперь, что для данного вещественного числа 1е имеет место случай (а), так что Р, М О. Для п(ФО) из ес(Р,,) мы имеем 2Б р.р. Типы схадимаиии огринииснных оигропюороо Так как о=Р,о, функция (и, Еюо), согласно (9.9.2), постоянна всюду, кроме скачка величины (и, о) при (=гю. Поэтому (и, Ао)=юю(и, о) для всех иЕО, т. е. Ао = ю,о; следовательно, 1ю принадлежит точечному спектру А, а о — собственный вектор; подпространство де! Ец = ~~ (Рг5 (9.9А) является собственным подпространством, соответствующим собственному значению 1ю; см. пояснение ниже.
Следующим рассмотрим случай (б). В 2 9.8 мы выяснили, что если и принадлежит области определения самосопряженного оператора А, то (Аи(ю=(Аи, Ао) = ~ (юю((о, Ер). (9.9.5) Предположим теперь, что Е, сильно (но не по норме) непре- рывно при г = гю. Тогда для любого б ) О найдется ненулевой элемент о =оа из области значений Еь+а — Еь о, для такого о функция (о, Еюи) постоянна при ~1 — г',~) б; поэтому и+а (Аи — (юо, Ао — 1юо)= ~ (( — (ю)'«(и, Еси) (9,9,8) (Здесь наряду с формулой (9.9.5) следует использовать формулы $ Ы(о, Есо) =(о, Ар) и $ с((о, Еи) =(о, р).1 На интервале (1ю — Ь, гю-1-5) функция (о, Его) возрастает от нуля до 1р1и, поэтому '1'Ар — г о'1ю (бх(о'1ю Отсюда следует, что вектор оа является приближенным собственным вектором в смысле $ 8.1, и, значит, гю принадлежит непрерывному спектру.
Чтобы исследовать случай (в), возьмем точку гю непрерывности по норме функции Е,. Тогда ~1Е,— Е, 1- 0 при Однако 1Ес — Е,,1 всегда равна либо 1, либо О, так как Е,— Еь— либо ортогональйый проектор, либо нулевой оператор, если г ) 1,; это же верно н для Е, — Е, при 1((ю (см.
упражнение 2 в 2 9.2). Поэтому найдется такое е > О, что Е,=Ег, на интервале (юю — з, юю+е). На этом интервале функция (и, Его) постоянна для лю- Гл. 'з: Спекжральное розложенне операларое бых и и о из Н. Вместо (9.9.6) мы получаем ° и-е (Ао — 1,о, Аи — 1,о)= ~к ) + ~ )(1 — 1ь)*й(о, Е,и), вез и поэтому ем-е 1Ао — 1ьо)'>е'~ ) + ) )и'(о, Ети)= И+е =-в' $ д(о, Е и) =ез)и)з для любого иЕН. Отсюда следует, что (А — 1,1) ' ограничен, более того, )(А — 1,1) '(/(11в; следовательно, 1, находится в резольвентном множестве оператора А. Пояснение. Выше было установлено, что любой вектор о из 1т (Р,,) является собственным вектором, соответствующим собственному значению 1,.
Заметим теперь, что таким образом получаются все собственные векторы, Возьмем произвольный ненулевой вектор о, такой, что Ао=1,о для некоторого 1,; тогда 0=~~ Ао — 1,о)'= ~ (1 — 1,)'с((о, Е,о). Здесь (о, Его) — неубывающая функция, а функция (1 — 1,)' положительна всюду, кроме точки 1= 1,. Из того, что интеграл равен нулю, следует, что (о, Его) постоянна и лишь при 1=1, имеет скачок. Поскольку Е, — 0 и 1 при 1- — со и +оо соответственно, величина этого скачка равна (о, о), ио, кроме того, равна и (и, Р,,и) по определению Р, Следовательно, (о, (1 — Р,,)о)=0, но 1 — Р, — проектор, значит, ои самосопряжен и 1 — Р, =.
(1 — Р, )', так что (, .) и, значит, о=Рми; поэтому оЕД(Р,,), что и утверждалось. Резюме. Разрыв Е, при 1=1, означает, что 1еЕРи(А). Сильная непрерывность (но без непрерывности по норме) означает, что 1ь ЕСи(А). Из непрерывности по норме следует, что 1ьЕ р(А). Упгджн ения 1. Пусть Ап (п=1,2, ...) — операторы, введенные в 8 9.8 кзк вппроксимзиии сзмосонрвженного онервторз А. Покажите, что если о Е Р(А), т9 А„п — Ао сильно, указание, Используйте упражнение 5 из $ 1.9. Доквжитеь о.!Л. уния~пране оягрншоры. Фуякннн, ош ояероаороа что если А ограивчев, то А» -~ А сильно. Из упражнения 4 9.8, конечно, следует, что если А ограничен, то А„ = А при достаточно большом л, так что А„ — ь А также и по норме. Если А неограничен, то А„ не сходится к А ни в каком смысте (имея в виду три типа сходимости, введенные в данном параграфе) ').
2. Если А ограничен, то в каком смысле сходится к А сумма Римана— Стнлтьеса (9.8.1)? Указание. Эту сумму можно записать как) 1(0г(Ег, где 1 (1) — ступенчатая функция. 3. Если А неограничен, то в каком смысле ń— Е „сходятся к ! при и о? 4. при помощи неравенства (8.5.7) и резольвентного уравнения (8.5.1) покажите, что )?х дифференцируема по Л как функция комплексной переменной в любой точне Л резольвентного мвожества, прнчел1 разностное отношение ()?х+ — )?х)/и стрел1ится к производной по норме, а эта производная равна )?хзв соответствии с формальными правилами дифференцирования )? =(А — Л)-з. Поэтому говорят, что )? является аналитической или гололзорфиой операторнозначной функцией комплексной переменной Л на резольвентном множестве р (А). 5. Предположим, что г (Л) — ограниченный оператор при любом Л из некоторой области П и что функция г" (Л) дифференцируема по Л в области П в смысле упражнения 4.
Покажите, что для г" (Л) справедливы теорема Коши н интегральная формула Коши, как только решено, в каком смысле рассматривается интеграл ф Е (Л) г(Л. б, Если )?х — резольвента самосопряженного оператора А и Ле — изолиро. ванное собственное значение А, то какого рода особенность имеет )?х при Л =Л, и чему равен вычет в этой точке? Рлй. УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ФУНКЦИИ ОТ ОПЕРАТОРОВ. ОГРАНИЧЕННЫЕ НАБЛЮДАЕМЫЕ. ПОЛЯРНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ Преобразование Кэли (т' =(А — 1) (А+ 1) ' самосопряженного оператора А было введено в 9 8.6 в связи с расширениями симметрического оператора.
Пусть (Ег) — разложение единицы, соответствующее А. Тогда утверждается, что (т' = ) [(1 — ('у(1 + 1) ~ г(Е,. (9.10.1) Эту формулу можно интерпретировать либо в смысле сильной сходимости (фактически сходимости по норме) соответствующих сумм Римана †Стилтье (см. упражнение ! ниже), либо как ,сокращенную запись формулы (и, ()о)= ) 1(1 — 1)/((+())г((и, Его). (9.10.2) ') Напоминаем, что в определении слабой и сильной сходимостя операто ров требовалась сходимость для всех оЕИ (а не только для оЕГ? (А)) — Прим, меревг Ге. р. Спекеараеьнае раееаекенне аперагаараа Чтобы получить эту формулу, прежде всего заметим, что для любых ео и о из Р(А) ((А -1- 1) ео, о) = (ео, (А — 1) о) = ~ (à — () е((ео, ЕД.
Пусть теперь и — произвольный вектор из Н; положим щ= ) 1!Яз+()1е(Е,и; тогда ((А + 1) ео, о) = ) (1 — 1) е(, $ 11Яз — 1) )е(, (Е,и, Еео). При помощи соотношения (9.Б.5) из приложения к данной главе такие двойные интегралы можно свести к однократным; в результате мы получим ((А+1)ео, о)= ) [(1 — 1)4Х вЂ” 1))е((и, Еео) =(и, о), Поэтому (А+ь) ее=и, или ее=(А+1) 'и, т. е. (А+е) 'и= ~ Е1/(з+(НдЕ,и. (9.10.3) После этого повторное использование (9.Б.5) приводит нас к формуле (9.10.2). Формулы (9.10.2) и (9.10.3) дают основание для следующего определения: если 1(е) — любая непрерывная или кусочно непрерывная функция, то оператор Г(А) определяется как 1(А) = ) 1(()е(Е,.
(9.10 4) Эта формула интерпретируется аналогично равенству А = ~ ЫЕо а именно а(пеь=('. (..1аю~ ее,.)< ), (9,!0.5) (,((А) )=5И)б(.Е,). Если 1(1) — ограниченная на всей вещественной оси функция, как в (9.10.2) и (9.10.3), то г' (А) — ограниченный оператор; если у (Г) — вещественнозначная функция, то оператор 1'(А) самосопряжен; если 11(1)1=1, то 1(А) унитарен. УПО. Унинтрные операторы. Функции от опгрнтороа 919 Например, из А можно получить другой унитарный оператор, взяв Г" (г)=е'' с вещественным т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
