Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 40
Текст из файла (страница 40)
палее, Гл. р. Слектролыам рпзлозхелпл елгретереа )9Ч жорданов блок имеет вид Л! Л 1 (О) (О) . 1 где Л вЂ” одно нз собственных значений матрипы А. Столбцы Т— обычные и обобщенные (соответствующего порядка) собственные векторы матрицы А. Разные жордановы блоки не обязательно содержат разные собственные значения, т. е. некоторые блоки могут соответствовать подпространствам одного собственного под. пространства Ем УпРАЖнениЯ 3.
Используя неравенство (3.3.3), покажите, ито для эрмнговой матрицы Л резольвента )гь имеет только простые полщсы; следовательно, й)у=О дли всех / и Л задается формулой Л ~~ )уРА г= г в этом случае Ру — также эрмитовы матрицы, Т можно считать унитарной матрицей, а жорданова форма матрицы является диагональной. 4. Применяя процедуру ортогонализации Грана — Шмидта к столбцам Т в (9.3.)2), докажите теорему Шура: любую матрицу Л можно прн помощи унитарного преобразования привести к верхней треугольной форме !т. е.
м ыззрице, у которой все элементы нные главной диагонале равны нуле), Если А — оператор (не обязательно самосопряженный) в И и если формулы, подобные (9.3.6), (9.3.10) и (9.3.11), справедливы (естественно, с заменой сугимировання интегрированием по Слилтьесу), то А называют спектральным оператором. В бесконечномерном случае нелегко выяснить, когда оператор спектрален.
(В общем случае невозможно свести контур интегрирования к множеству контуров вокруг дискретных точек; более того, необходимо даже искать контур, который бы окружал спектр.) Используя это понятие, можно сказать, что главный результат данной главы состоит в том, что любой самосопряженный оператор является спектральным. Спектральный оператор, нильпотентная часть которого тождественно равна нулю, называется оператором екалярноео типа.
Именно таким является самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве лт (как и эрмитова матрица). 9.4. Связь с аналитическими функдияма УПРАЖНЕНИЕ б. Пусть А — любая нсвырожденная (лмя)-матрица, а их =(А — Л!)-х— ее резольвента. Пусть С вЂ” простая замкнутая кривая на плоскости Л, которая обходит все собственные значения А против часовой стрелки, нане охватывает начала координат. На С многозначная функция )п Л расшепляется на незази. симые однозначные непрерывные ветви; обозначим одну из них через 1пЛ и определим 1п А слсдуюшим образом: 1п А = —. 91 11 Ь !п Л4Л, 1 г 2п1 9 ' Докажите, что бп А)" = —,уз их(!ил)" ил (п=2, 3, ...) 1 .Г 2ьи У в что ехр (1п А)=А. Поиажите также, что если взять другую ветвь 1п Л, то 1пА получится из первой добавлением матрицы 2я18 умноженной на некоторое целое число.
Вм. СВЯЗЬ С ДНДПИ1ИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ Пусть А — самосопряженный оператор, а )тх=(А — Л) х — его резольвента. Как и в конечномерном случае, спектральные проекторы имеют вид (2пг) х у )тьс(Л, где интегрирование осуществляется вдоль замкнутого контура, окружающего часть спектра А (спектр лежит на вещественной оси).
Для Л из резольвептпого множества хтх — аналитическая операторнозначная функция от Л (см. упражнение 4 в 8 9.9), которую удобнее всего изучать при помощи обычной аналитической функции гр (Л) = гр (Л; о) = (о, )тхо) = (о, и), где о — произвольный элемент и. Процедура поляризации, использованная ниже, показывает, что )тх для заданного Л полностью определяется заданием гр(Л) о) для всех о. Согласно 5 8.5 гр(Л) аналитична в верхней и нижней полу- плоскостях.
Как было указано в 5 8.3, мнимая часть равенства (о, и).=(Аи, и) — Л(и, и) имеет вид 1 из (о, и) =- 1пт Ч и 1з, так что 1птгр(Л) имеет тот же знак, что и 1пзЛ. Более того, на основании неравенства Шварца и оценки нормы резольвенты (8.3.4) получаем, что ! (о, и) ) ( ~ о '1в1 ) 1п1 Ц. Гл. Р. Соексоролоное разложение ооероосороо Позтому «Р (Л) обладает следующими свойствами: (1) ср(Л) аналитична, (й) ~«р(Л) ~="!!о!«/!гп Л, ! для 1шЛ >О. (й!) 1п«ср (Л) > 0 (9.4.1) (Подобные же утверждения имеют место и для нижней полуплоскостн 1ш Л < О.) Теорема.
Функцию с указанньсми выше свойствалш можно записать в виде «Р(Л)= ~ с(о(!)1(! — Л) (1шЛ>0), (9.4.2) где о (!) — неубыоаю«цая функция с конечными пределалш при Г- ~ос; более того, если положить о( — оо)=0, то о(!) выражается через ср (Л) формулой о (!) = ! ш (11п) )Г 1ш ср (з+ !е) дз, (9.4. 3) ь!о о( ) — о( — )=Цо~)«. (9.4.6) Е.Ю. ФУНКЦИИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАК ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Формулы (9.4.2) н (9.4.3), которые используются в спектральной теории, излагаемой ниже 6 9.6), можно переписать на языке теории распределений следующим образом. Пусть à — производная о' (в смысле теории распределений) функции о(!); тогда (1/п)1ш«Р(!+!е)- 1(!) при е- 0 (95.1) в смысле сходимостн распределений, а ср(Л)=<~(!), 1/(( — Л)> для 1шЛ>0.
(9.5.2) копюрая справедлива в точках непрерывности о (!). В точках разрыва о(!) мы произвольно накладываем условие нормализации о(!) =!ппо(!+6), (9.4.4) о«о и. е. условие непрерывности справа. Доказательство можно найти в книге есхиезера н Глазмана ~1950, ~ 59~. Свойство (й), приведенное выше, показывает, что полная вариация о(оо) — о( — оо) пропорциональна )о,~~е. На самом деле оказывается, что у.з.
Функции и распреоелеяия Хотя функция фх(Г)=1)(1 — л) не является пробной (она прн- надлежит С", ио не С," и не г), эта формула все еще допуска- ет разумную интерпретацию, потому что п(1) имеет ограничен- ную полную вариацию (она не убывает и имеет конечные пре- делы при 1 ~ос). А именно, если мы положим и( — Т) при 1( — Т, пг(1)= а(1) при — Т(1~ Т, о(Т) при 1) Т, то РаспРеделение рг =аг имеет огРаниченный носитель, следова- тельно, <~г, ф> определено для любого ф~С", а выражение в пРавой части (9.5.2) ЯвлиетсЯ пРеделом <)г, тРх> пРи Т- оо. Свойство (9.5.1) указывает на то, что Г(1) как распределение является граничным значением (или следом) гармонической функ- ции (1/я) 1тф().) на вещественной оси.
След )тефы тоже явля- ется распределением, но имеет несколько более сложный вид, поскольку Ке ф (л) не обязательно неотрицательна в верхней полуплоскости; в действительности эта функция является вто- рой производной от непрерывной функции (в смысле теории распределений). Упражнении ц Исходя из равенства ( — х )(еф (х+(у) = ~ Во ((), которое следует из (9.4.2), иокажите, что )(е ф (х+(у) е ( — ~ з 9 — х) )о ва(() I о та с )( — х) (9,5.3) (9.5.4) ири у — + 0 (у > О); здесь предел и производная берутся в смысле теории распределений.
Сначала проверьте, что интеграл в (9,0.4) сходится и является неирерывной по х функцией. Граничные значения аналитических функций хорошо изучены; см. Джонсон [1968] и цитированную там литературу, где приводятся некоторые последние достижения. Из старых результатов известна следующая теорема: если ф(г) аналитична в верхней полуплоскости (1шг) 0) и если для некоторого р~1 де1 М= зцр ~ ~ф(х+(у)~(кйх(оо (9,5,5) з>е (тогда говорят, что ф(г) принадлежит классу Харди Н ), то граничные значения ф(г) на вещественной оси представляют собой элемент пространства 1Р (Гс).
Иначе говоря, найдется такая функ- Гв. р. Сиелтра»оное раовоеееаае операторов ция или распределение Г нз йр(к), что ф(х+(у), рассматриваемые при каждом фиксированном у > О как функции х, сходятся по 7У-норме к Г'(х) при у- О, т. е. ~ !ф(х+!у) — ~(х)(едх О при у- О. 7."-норма Г равна М"Р; см.
Хилле 11962, т. 2, гл, 19]. Для того чтобы привести другие примеры, отобразим полу- плоскость 1щ г > О на единичный круг (ер( < 1 при помощи преобразования ц =(г — ()/(я+1) и тем самым устраним основные трудности, возникающие при г — оо; детали см. у Джонсона 1! 9681 н Баернстсйна 119711. Если ф(ер) аналитична для !я ( < 1, обозначим (9.5.6) ф,(0)=ф(ее'о), О - е < 1.
Аналогами класса Харди Нр и пространства ье(ел) является класс Йр функций ф(щ), таких, что Г '" ) ы !!ф~=зцр ~ ) (ф (0)~!ре(0 ( оо, (9 5.7) и пространство Ге(ол) (ол — единичная окружность или одномерная сфера) функций и распределений с нормой Г еа 1 ме )П= 1 ~ ИО) ! е(01 (9.5,8) 1 е ! Прн р=2 Йр —— 77» является гильбертовым пространством, рас.
смотренным в 8 1ЛО. Приведем без доказательства (см. Джонсон [19681) следующий результат: если ф(еа) аналитична при )в1(! и удовлетворяет неравенству 1фМ)!< 1! ~.Р» (9.5.9) для некоторой постоянной С н некоторого целого числа й, то граничное значение ф(в) на окружности (ц 1=! является распределением. Распределение на Я' — непрерывный линейный функционал на пространстве С (о') бесконечно дифференцируемых функций ф(0) с периодом 2л по О. 1Сходимость последовательности в С" (5') та же, по н в С,"(к), только ограничений иа носители элементов последовательности не требуется, потому что ,9 компактна,) Таким образом, найдется такое распределение 7 на 5', что фе(О) Г (О) "ри е УХ Функции и рааар«демина в смысле сходимости распределений.
Более того, г является (й+1)-й производной (в смысле теории распределений)непрерывной на 3' функции, где й — то целое число, которое входит в неравенство (9.5.9). Следующий пример показывает, что функция »р(ц»), аналитическая в единичном круге, не обязательно удовлетворяет неравенству (9.5.9); пусть »р(ш) = ~~~ а~" а»' (а=сопз1 > 1). «=о Радиус сходимости этого ряда равен 1, а »р, (О) = ~~» а " г« (О «~ г < 1). При г, близком к 1, наибольшим членом этого ряда является »«« йп а)« таха "г" жехр ~ — у (4!1 — »!!» который при г- 1 ни при каких с и й нельзя оценить выра. жением с/!1 — г 1к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
