Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Предел при г- оо равен нулю, так как в противном случае 1 не могло бы принадлежать Ц, однако предел при г- О не обязательно равен нулю. [Например, если 1(г)=гг»с'е ', то ) и А»7 принадлежат Ц, но «»1«" (г) !в- 1 при г — О.) Поэтому (7.8А) показывает, что сопряженный к А» оператор Л» определяется так: »г (А») = (й Е Ц: д' + (й((2«)) д Е Ц, (пп г»гв ( д (г) ) = 01, г о А~и = — 1(д'.+ (/г~(2«)) 8), Таким образом, снова А»~А», хотя А»<:А . Несамосопряженность А„и Л» — не просто математическое явление.
Для любого комплексного сс с 1шсс > 0 функция 7(г)= г-»~"-е'"' является собственной функцией оператора А„с собственным числом а, в то время как собственные числа самосопряженнозо оператора все вещественны. С другой стороны, Л„" не имеет даже непрерывного спектра. Симметрические операторы, которые, подобно А», не имеют самосопряженных расширений, характеризуются их так называемыми индексами дефекта, определение которых будет дано в $ 8.6.
7,9. ЛОПОжительные ОпеРАтОРы. ЧИСЛОВАЯ ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ Значительную информацию об операторе А можно получить из значений формы (о, Ао). Если А определен на плотном множестве, то А симметричен тогда и только тогда, когда (о, Ао) вещественны для всех о Е 12 (А), потому что поляризация (см. ч 1.11) уравнения (о, Ао)=(Ао, о) дает (и, Ао)=(Аи, о), Симметрический оператор называется положительным, если (о, Ао) > 0 для всех оЕ)2(Л), оные; он называется неотрицательным, если (о, Ао)>0 для всех оЕЭ(А); кратко пишут А>0 или А)0.
Используют также термины положительно г,р. Полоасителеныв операгноры. Чисмгвал область ннанвний 173 определанный') и ноложилгвлоно полуопределенный. Отрицательные и неположительные операторы определяются аналогично. Пишут А) В, если Л вЂ” В)О, и Л > В, если А — В > О. Если А — люГой ограниченный оператор, то самосопряженные операторы А*А н АА' неотрицательны, потому что (р, А'Ао)=(Ао, Ао) О и (о, А А'о) = (А'о, А*о) ) О. Если А неограничен, то А'А не обязательно самосопряжен, но фон Нейман (см. Като 11966)) доказал, что если А замкнут и имеет всюду плотную область определения, то оператор А'А самосопряжен (см. замечание ниже). По утверждению упражнения 3 6 7.7 А' также имеет плотную область определения, так как А' замкнут, поэтому А" =- А; следовательно, АА' также определен и самосопряжен. Очевидно, что АА' и А'А иеотрицательны.
Числовой областью значений (или полем значений) оператора А называют множество комплексных чисел (и, Ло), получающееся, когда у пробегает все такие элементы из .Р(А), для которых и)=1, Ясно, что собственные значения оператора А, если они (существуют, принадлежат числовой области значений.
Непрерывный спектр (см. следующую главу) лежит в замыкании числовой области значений, там же находится и весь спектр, если А ограничен (Като). Любой оператор А с плотной областью определения замыкаем, если его числовая область значений не совпадает со всей комплексной плоскостью (Като). Замечание, При изложении теоремы фон Неймана (в 5 8.6) нам будет необходимо понятие произведения операторов АВ: область определения этого оператора 0(АВ)=(оЕР(В): Виб Е Р(А)), а (АВ) о определяется как А (Во). Следовательно, Р((*А) может быть меньше Р (А), однако фои Нейман доказал, что 0(А*А) является по крайней мере так называемым ядром оператора Л, т.
е. если А, представляег собой ограничение А на 0(А"А), то замыкание Л, совпадает с А. ') Обынно пологкителено определеипын оперетороп наныпнгот такой опера. тор с), длн которого (Ае, о) рн григ( у=сопл) > О,— Прим. перев. Гмааа $ .СПЕКТР И РЕЗОЛЬВЕНТА Непрерывный, точечный и остаточный спектр; собственные векторы и прн. блнженные собственные векторы; Резольвентз; аналитичность резольвеиты; преобразование Кали; теория фон Неймана расширений симметрических операторов; индексы дефекта симметрического оператора; второе определение самосопряженного оператора.
Предеаршпельные шеденнлг гл. ! — 5 и т, ал. ОпРеделения Собственные значения (п хи)-матрицы М образуют (конечное) множество точек на комплексной плоскости, называемое спектром М. Аналогично, если А — любой линейный оператор в гнльбертовом пространстве Н, комплексная плоскость С разбивается на две части: спектр оператора А, обозначаемый через о(А), и резольвентное множество, обозначаемое через р(А).
Спектр о(А) далее разбивается на точечный спектр Ро (А), непрерывный спектр Со(А) и остаточный спектр )со(А). Эта классификация связана с существованием и свойствами оператора (А — Л) ' (упронгенное обозначение для (А — Л1)тз, где 1 — единичный оператор). Напомним, что линейный оператор Т: 0(Т)- )Т(Т) имеет обратный Т-: 1)(Т) -В(Т) тогда и только тогда, когда преобразование и — Ти является взаимно однозначным, т. е.
нз Ти, = Ти, должно следовать их=и, или из Ти=О следует и=О; иначе говоря, когда нуль не является собственным значением Т. Точечным спектром Ра(А) называют множество собственных значений оператора А, т. е. Ра (А) =(ЛЕС: Аи =Ли для некоторого ненулевого и~Н), (8.!.1) нли, иначе говоря, Ро(А)=(ЛЕС: А-Л не имеет обратного оператора). (8.!.2) Число Л принадлежит Со(А) (или, возможно, )то(А)), если нет такого и~О, что Аи — Ли=О, но для любого заданного е ) О найдется «приближенный собственный вектора и = и (з) 8.2. Прнннры и Рнрангнения с нормой 1и)= 1, такой, что 1Ли — Хи) < е. В этом случае (А — А) г существует, но неограничен, Дальнейшая классификация спектра делается в соответствии с тем, является ли область определения 0((А-Х) ') (т.
е. гх(А — Х)) плотной в Н или нет. Непрерывным спектром Са (А) оператора А называется множество Со(А)=() ЕС: А — Х имеет неограниченный обратный оператор с плотной в Н областью определении), (8.1.3) а остплгочнызг спектром )гга (А) — множество )гго(А)=(ХЕ С: А — Х имеет обратный (ограниченный или неограниченный) оператор, область определения которого не плотна в Н). (8.!А) [Для большинства представляющих интерес операторов (включая все самосопряжеиные, унитарные и вообще нормальные) остаточный спектр пуст, и поэтому непрерывный спектр можно представить себе состоящим из таких Х, для которых можно построить с наперед заданной точностью приближенный собственный вектор, не являющийся, однако, точным собственным вектором.) Наконец, резольаентное множество р(А) представляет собой остальную часть комплексной плоскости: р(А) =().ЕС: Л вЂ” Х имеет ограниченный обратный оператор с плотной в Н областью определения).
(8.1.5) Если ХЕр(А), то нег даже соответствующих приближенных собственных векторов, поскольку 1Аи — Хи!/) (1(А — Х) г1) г1и(!. [Это неравенство получается из неравенства ) (А-Л) ' о)<,' (/!(Л вЂ” Х) г[ 1о() при помощи замены о на Аи — Хи.) Если ). принадлежит резольвентному множеству р(А), то оператор (А — Х) ' называется резольвентой оператора А и обозначается через )хн или )хн(А). Резольвенту можно рассматривать как семейство операторов, зависяших от комплексного параметра Х для Х из р(А), т.
е. как операторнозначную функцию одной комплексной переменной Х, определенную на р(А). Ее свойства играют важную роль при анализе самосопряженных и родственных им операторов. Согласно определению р (А), резольвента Ян является для каждого 2, ограниченным оператором с плотной в Н областью определения. ВДЬ ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ Читателю следует по возможности проверить утверждения, приведенные ниже.
Чтобы показать, что данное Х принадлежит Ра(А), найдите собственный вектор; чтобы показать, что Х принадлежит Гт 8. Сиситр и реэолвгити 176 Са(А), постройте последовательность приближенных собственных векторов; чтобы доказать, что Х принадлежит р (А), решите уравнение Аи — Хис о для произвольного о и покажите, что значения 1и) ограничены, если 1,п(= 1. !. Пусть Н вЂ” пространство 1.'(лс), и пусть Л вЂ саыосопряженный оператор 1(а7ах) с областью определеяия, состоящей яз всех )'Еьл, таких, что 1л (как распределение) также принадлежит (.л.
Оператор А имеет чисто непрерывный спектр, совпадающий с вещественной осью. Указание. Приближенные собственные функции можно найти (для всех вещественных Х) в виде волновых пакетов а (х) ехр(1)х), где а (х) подбирается соответствующим образом. 2. Пусть Н=- л.л(Р), и пусть А †операт умножения на х, определяемый следующим образом: 0(А) = (~ (х) ч 7.'. х) (х) б (-л), А) (х) = х7 (х). А имеет чисто непрерывный спектр, совпадающий с вещественной осью. 3. Оператор — (Ы78х)' с выбранной должным образом областью определения в (.л (к) — см. з 7.5 — имеет чисто непрерывный спектр, совпадающий с неотрицательной вещественной полуосью (отрицательная вещественная полуось лежит в резольвентном множестве).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
