Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 34
Текст из файла (страница 34)
108 Гл. 7. Линейные операторы а еальбершозом просшраясшзе для всех п. (Значит, если (Ел(х)) — другая последовательность, такал, что йя(х)=х для всех и, то 1пп/„=Иш'у„, И то время как ИФА/еж ишАул. Чтобы получить замкнутый оператор из этого А, нужно удалишь функции из Ю(А) вместо того, пабы добавлять их.) Чтобы построить /„(х), возьмем ]а, Ь] —..]О, 1] и разобьем единичный квадрат в плоскости (х, у) на л' клетон (или ячеек) горизонтальными и вертикальными прямыми. В каждой из диагональных ячеек (см.
рнс, 7.!) определим у=/„(х) как уменьшенную копию функции Кантора, списанной в 4 13.1. Тогда /„(х)=0 почти всюду, /„(х) непрерывна и /„(х) х при л — ~ ее. Поэтому А не замыкаем. Замечание. Как видно из этих примеров, даже если А замкнут, его область определения ]'.7(А) не обязательно замкнута; в действительности, по знаменитой теореме о замкнутом графике если оператор А замкнут и имеет замкнутую область определенна, то А ограничен. В частности, если А замкнут и определен на всем Н, то А ограничен.
Более общую формулировку теоремы о замкнутом графике и ее доказательство см у Като Ь]9661'). УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что для любого оператора А, если Ае существует (т, е. если !2(А) плотна в Н), то А* замкнут. Отсюда следует, что симметрический оператор замыкаем, а самссопряжениый замкнут.
2. Выясните, какой нз следующих операторов А замыкаем, и длл каждого замыкаемого оператора найдите область определения его замыкания. (а) Н= Л, /) (А) — множество таких последовательностей з=(хг, х„...~, для которых лишь конечное число х„м О, а Ав =(2хг, 4х„8х„..., 2"х„, .... (б) Для тех же Н и /)(А) Ав=- ~ЧР ~х„, О, О, ... 1.л=! (в) Для тех же Н и )7(А) Аз=- ~ЧР ~(1/и) х„, О, О, ... !л=! (г) Н=(.е (О, !), /) (А) — множество непрерывных на ]О, 1] функций; А/ дая любой /(х) ц /) (А) определяется как функция (А/] (х) =-/(Ч) ми их. д) Для тех же Н и Н (А) теперь А/ определяется как ]А/] (х) ! ) / (х') йх' ил лх. о 7.7. ГРАФИК ОПЕРАТОРА.
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ И НУЛЬ-ПРОСТРАНСТВО Замкнутость н другие свойства оператора допускают геолгетрнческую интерпретацию с использованием его графика, который определяется следующим образом. Множество всех упорядоченных пар ]и, о) элементов /т образует гильбертово пространство, ') Линейный оператор А из Х в ); определенный на всем Х, замкнут тогда и только тогда, когда сн ограничен. Теорема верна для любых банзхоВых ПРсстранств Х н )г,— При,н. перез. 7.7.
График. оп«ришара обозначаемое НхН, если все операции над его элементами определяются «покомпонентно», а скалярное произведение определяется равенством ((ит, Ол», (из„пз»)=(ит, и,)+(От, Пз), где в правой части используется исходное скалярное произведение в Н. Графиком оператора, обозначаемым Г(А), является по определению подмножество НхН, состоящее из всех пар вида (и, Аи», где и Е 0(Л). Это линейное многообразие в НусН (если А — линейный оператор).
График является замкнутым линейным многообразием, или подпространством НхН, тогда и только тогда, когда А является замкнутым линейным оператором. Линейное многообразие в НхН представляет собой график некоторого линейного оператора А тогда и только тогда, когда оно не содержит элементов вида (О, о», о ~ О. [Если бы оно содержало такие элементы, то оно содержало бы вместе с (и, ыг» и (и, ил+ар» с произвольным числом а, так что Аи нельзя было бы однозначно определить по и.] Если А' — расширение А, то Г(А') содержит Г(А). В частном случае, когда Н вЂ” одномерное вещественное пространство Е, оператор (линейный или нелинейный) является функцией 7'(х), отображающей Гс в себя; жхзс — евклидова плоскость (х, у), а график 7" (х) — множество точек (х, 7(х)) на этой плоскости.
[Это н опраддывает термин «график> для Г (Л).1 Линейный оператор в Гс является однородной линейной функцией 7'(х) =ах, а его график — прямая, проходящая через начало координат, т. е. одномерное подпространство. (В конечномерном случае любое линейное многообразие замкнуто, так что вопрос о замыкании здесь не стоит.) УПРАЖНЕНИЯ !. Линейное лгногообразие Р(А), определенное ная множество элементов вида (Ао, — о) в ИХИ при оЕ77(А), называется поверну»лам графиком А, потолгу что в одномерном случае ои получается в результате поворота графика в плоскости л, у вокруг начала координат на 90, Воспользовавшись определением сопряженности, по«ажите, что если А определен иа всюду плотном многнестве, то А" является оператором, гргфяк которого представляет собой ортогональное дополнение (в Ихй) к Г (А), т.
е. г(А ) =г(А)х ( 7.7.1) (тогда как если А определен не на плотном множестве, Р(А)ь вообже не может быть графиком яаного-либо оператора). Отсюда получается второе решение упражнения 1 предыдушего паржрафа, потому что ортогональное дополнение множества — всегда замкнутое линейное многообразие вне зависимости от того, замкнуто многнество или нет. (Исчи А замкнут, то и Г(А) и Г(А«) — заминутые линеиные многюояфазия, а пространст.о ИХИ вЂ” их ортогональная прямая сумма.) 170 Гл. 7.
Линейные операторы в гильберпювом пространстве 2. Покажите, что если А — линейный оператор с плотной областью определения, то его нуль-пространство дс(А)=(иЕГГ: Ам=о) является ортогональным дополнением области значений А*: Р)(А) =Ю(А*)д. (7.7.2) [Замечания. (1). Здесь [ обозначает ортогональное дополнение в исходном пространство О. (2) Н (А) †всег замкнутое линейное многообразие, но зто неверно для Я (А*), так что если обратить приведенное выше утверждение, оно будет выглядеть так: Й(А*) =)У(А)д 1 3. Докажите, по если А заыыкаем и А* существует, то Аь' существует и совпадает с замыканием А оператора А. Пояснение.
Для замкнутого А представление НхН в виде ортогональной прямой суммы (см. 2 1.6) выглядит так: НхН= Г(А) ЯГ(А*). Символы х и (:Э имеют близкие, хотя слегка и отличающиеся значения. Если мы определяем подпространства Н, и Н, пространства НхН как множества всех пар (и, О) и (О, и) соответственно, то и Н„и Н, изоморфиы Н, тогда как НХ Н=- Нг (~) Нз. Отличие между этими символами состоит в том, что аиак (+) используется для того, чтобы связать аодлсножесгпаа данного пространства, а при помощи знака Х строится из старого пространства новое.
В соответствии с этим знак Я3 не имел бы смысла, если бы он стоял по обе стороны равенства. 7.а. ОПЕРАТОРЫ РАДИАЛЬНОГО ИМПУЛЬСА Согласно общим представлениям квантовой механики, оператор импульса, соответствующий координате х, представляет собой — г(д,'дх) (предполагая использование таких единиц измерения, при которых й=1). Если в качестве х взять радиальную коор- динату г, то область ее значений будет 0 < г < оо. Прежде всего заметим, что оператор — г(д/дг) нельзя сделать самосопряженным в гильбертовом пространстве Г.з (О, оо) при любом выборе его области определения.
Например, если опера- тор А определяется равенствами Р(А)=([Е[,з(0, оо): ~'Е1.з), АГ= — ([', где штрих означает дифференцирование в смысле теории распре- делений, то А* (как легко проверить) задается равенствами Р(А*)=(~Е1.'. ~'Е[,з, )(0)=0), А'~= — Ч'. Кроме того, сопряженным к А" оператором является просто А, но ни А, пи А* песамосопряженны. Оператор А' симметричен, 7.В. Схщнвюдьь радаиьюго имауьььа 17! потому что А'~А, но не имеет самосопряженного расширения (см.
5 8.4). Более подходящим в данном случае гильбертовым пространством является пространство Р распределений /, д, в котором скалярное произведение определяется равенством (/, л) = ) / (г) д (г) гь ь/г, о где г рассматривается как радиальная координата в полярной системе координат в (й+1)-мерном пространстве. В ~ 5.9 гильбертово пространство такого типа обозначалось через Е'„ где г" +'/5+1) при г ~ О, О при г ч. О. Чтобы сделать оператор хотя бы формально самосопряженным в этом гильбертовом пространстве, необходимо заменить — 1(д/дг) на — 1(д/дг)+/ь/(2г). Это предполагает рассмотрение оператора А„, определенного следующим образом: 17 (Аь) = (/ 6 /а' / + (й/(2г))/ Е /ь) (7.8,2) А г ц. + (ь/(2г)) г) 1 - ь/ь (гвг )) [Отметим следующий любопытный факт: в трехмерном случае (й=2) А,' совпадает (со знаком минус) с зависящей от г частью лапласиана, — г *(д/дг) г'(д/дг), в то время как при /ьчь2 появляется дополнительный член Аь= — г "— гь — — — ( — — 1) ( — ) Чтобы найти А„', возьмем / и я из области определения А„.
Интегрированием по частям получаем ~ А„~дгьдг=1~ (гь/'/)'(гь/ьд) дг= а О ь = / гь/й ",— 1 ~ (гь/Ц ) (гь/ьл)' дг. (7.8.3) а Поэтому (Аь/, а) =-1 1пп [гь/(г)д(г)~~+(/, Аьд), (7.8.4) Ь > Ф а -~ 0 если такой предел существует. Из (7.8,3) при [=д и неравен- 172 Гт 7. Линейныв операторы в гивьйертовол пространстве ства Шварца следует, что [г» ) ~ (г) )в], "= 2 1«п ) А Д ~г» с1г ( а ~ 2 ~ ) ( А»Г" (' г» с)г ) ( ~ (' г»с(г) ~а а Оба интеграла в фигурных скобках имеют конечные пределы при а — О, Ь- оо, потому что Л»1 и ~ принадлежат Ц. Следовательно как и в й 5.6, если а и Ь оба стремятся к бесконечности или к нулю, то выражение в фигурных скобках стремится к нулю„значит, «" ~[(г) (' имеет определенные пределы как при г — оо, так и при г- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
