Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 33
Текст из файла (страница 33)
1б4 Гл. 7. ьтинелпме операпшра е гильбертевам просгпранстве По определению дифференцирования распределений <д, — гр">= =< — д", гр> и, крометого, <д, ур>=<г)д, ~р>. (Отметим, что здесь не утверждается, что ддЕр-а(0, оо).1 Поэтому < — а" +Щ Ч»- =<6, гр> для всех пробных функций; следовательно, Ь= — а +И. (7.5.10) Это условие является необходимым для того, чтобы пара (д, Ь) была требуемого типа, но не является достаточным, поскольку (7.5.8) не следует из (7.5.9).
Чтобы найти дополнительное условие, предположим, что д и Ь удовлетворяют (7.5.10). Используя для д те же рассуждения, что и для 7, получаем, что д и д' также непрерывны и что д' и )Гд дай'(О, оо). Для любого 7Е Р(А) интеграл здесь стремится к конечному пределу, потому что 7"', д', ) д ) и ) д д принадлежат 7а(0, оо). Поэтому предел 7"'(Ь)д(Ь) существует, причем он должен быть равен нулю: ведь ) 7"'(х)д(х)г(х конечен.
Еще одно интегрирование по частям дает снова интеграл стремится к конечному пределу, значит, ~(Ь)д'(Ь)- 0 при Ь- со„что следует из аналогичных рассуждений. Поскольку 7" (0)=Ог то и Г" (0)д'(О) =О, следовательно, ( — 7" + (7, й) =7'(О)й(0)+(~, — а" + )й)= = )' (О) а (О) + (Р, Ь). Поэтому, для того чтобы (АГ, д) =(7, Ь) для всех ~Е Р(А), 'необходимо и достаточно, чтобы помимо (7.5.10) выполнялось условие д(0) =О.
Следовательно, Р(Аа) =Р(А) н А самосопряжен. Аналогичный оператор Штурма — Лиувилля Аг'= — )и+д~ можно определить н на ьс (с двумя особыми концевыми точками ~ оо), В этом случае граничное условие 7(0) 0 уже не нужно н 1*=А для д О. Упилжнвння 3. Покажите, что если у(х)=лв (А в этом случае является гамильтоииаиом осяиллктора), то 7", л), хь) Е ьа(к), згказапие, Рассмотрите екаляриов произведение элемента — (с+ хе) иа себя. !66 ЧЯ. лазгхлдтыз операторы В гл, !О будет рассмотрен спектр этих н более общих операторов Штурма— 7!нувнлля н будут получены некоторые теоремы о, разложении по системе собственных функций. 4.
Рассмотрите оператор Т, определенный на Уз=се(а, Ь) следующими условиями: ТУ(Т)=(7 Е Ьз: 7" Е 6з, 7 (о) =7(Ь)=1'(о)=~'(Ь) =0), ТГ=).. Найдите Т'. Покажите, что Т симметричен, но не явлнется существенно само- сопряженным, для чего найдите семейство (зависящее от двух комплексных параметров) различных самосопряженных расщирений Т. Рассмотрим, наконец, оператор умножения на заданную функцшо, хотя он и не является дифференциальным.
Это вполне уместно, поскольку такой оператор часто появляется прн исследовании дифференциальных уравнений. Пусть $ (х) — произвольная вещественная непрерывная функция на гх». Согласно $ 5Л, произведение $Г определено как распределение для всех ГЕ(.з; определим оператор А равенствами 1>(А)=(7ЕГ.*: $г'ЕГ.*) (здесь Г,з=*),з(йа)), (7.5.11) Л) =$~ Покажем, что А самасопряжен. Для этого рассмотрим все пары [д, й), такие, что (АГ, д)=(су, д)=(Г, й) для всех 7~Г.з; (7.5.12) тогда для любой такой пары (Й, д)=Й, й) для всех пробных функций <р, т. е <й, езгр>=<й, гр> для всех гр, Согласно й 5.4, левая часть является функционалом, который определяет произведение $ и я, поэтому <5д, гр>=<5, гр> для всех гр, т.е.
д должно принадлежать х>(А) и й( А*д)=$й=Лд. По етого также достаточно для выполнения (7.5.12), так как если ф„) — последовательность Коши, сходящаяся в Г.з к 7", то $у, !р„)=(й, чр„); тогда в пределе получаем (7,5.12) в силу не- прерывности скалярного произведения. Г!оэтому А*= А. Если заданная функция й(х) ограничена, то А — ограниченный опера- тор и Р(А)-=Г.'! в противном случае Л неограничен. ТЛ. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ Пусть А — линейный оператор, область определения которого ду(А) не замкнута, и пусть з — тачка из замыкании )У(А), которая, однако, не принадлежит,Р(А); мажем ли мы какнм-ни.
1вб Гл. 7. Линейные операторы и гильберпмаом пространстве будь разумным способом определить А$7 Это всегда возможно, если А — ограниченный оператор, что следует из теоремы о расширении из ~ 7.1. Именно, если (и„) — такая последовательность точек из Р (А), что и„- в при и оо, то (Аи„) является последовательностью Коши и А$ можно определить как предел Аи„при и- со. Если Л вЂ” неограниченный оператор, то только что описанная процедура может и не привести к успеху, так как (Аи„) может не иметь предела, даже если последовательность (и„) является сходящейся; например, 1Аи„!~ может стремиться к оо. [Даже если (Аи„) имеет предел, может получиться так, что для некоторой другой последовательности (и„'), также сходящейся к $, (Аи„') имеет другой предел, не совпадающий с пределом (Аи„); см. пример 3 ниже.) Предположим, однако, что для любой последовательности (и„), такой, что (!) и ЕР(Л) при всех п (г!) 1ппи„существует (при и оо), (ш) 1ппАи существует (при и — ос) оказалось, что !!п! и„Е Р(А) и А (!пп и,) =1пп (Аи„).
В этом случае А называется замкнупзым оператором. Неограниченный незамкнутый оператор может иметь замкнутое расширение, а может и не иметь его. Если он имеет замкнутое расширение, то его называют замыкаемым, а наименьшее такое расширение называют замыканием оператора А и обозначают Л. Ясно, что А замыкаем тогда и только тогда, когда он обладает следующим свойством: если две последовательности (и„) и (гь) сходятся к одному и тому же пределу 3 ЕО, а (Аи„) И (Лиа) — таКжЕ СХОдящИЕСя ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ, тО ОНИ таКжЕ имеют один и тот же предел, скажем Ч. Если А обладает этим свойством, то его замыкание получается так: полагается А$= т) для любой такой пары е, т).
Ясно, что А — наименьшее (относительно области определения) или минимальное замкнутое расширение А, а именно если А,— любое другое замкнутое расширение Л, то Л,— расширение Л. Если А сам по себе замкнут, то А=А. Приме з Оператор А, приведенный в примере 4 Э 7.3, зал~икаем; его замыкание совпадает с сопряженным оператором: Л = А*. Заметим, что 7) (А) и': й'. ПРИМЕР 2 Пусть, как и в 4 7.5, 77=се (а, Ь), н пусть А=йуйх с одним из гранич. иых условий, рассмотренных в атом параграфе, В качестве )7(А) можно взять различные классы функций (и, возможно, распределений). Пусть сначала В(Л) совпадает с классом С'(а, Ь) (непрерывных функций с непрерывными произ- 7.б. Замялрмыз операторы !67 водными).
В этом случае А не замкнут, но замыкаем, причем становится замкнутым, если его область определения дополнить гсеми непрерывными функциями 7, такими, что их производные т"' лах распределения лринадлежаш 7.з (а, Ь). Доказажелэсшво. Покажем, что если только последовательность (гв(х)) такова, что )))в — 7')! — +О и ()г'„— л)( — О, где 7'„(х) и 1„(х) — непрерывные на (а, Ь) функции, то отсюда следует, что л=)', следовательно, 7 принадлежит дополненной области определения и я= А)', т.
е. расширение А замкнуто. Чтобы показать это, воспользуемся интегриронаннем по частям: ( — ф', 7„)=(~р, 7'„) для всех ф~С, (а, Ь) (напомним, что ф(а)=ф(Ь)=О для любой пробной функции). Если теперь и — со, то ( — ф', ()=(ф, л) для всех ф, а по определению производной от распределения отсюда следует, что л=-7'. Чтобы построить незамыкаемый оператор, мы будем действовать в духе теории Лебега. ПРИМЕР 3 Пусть снова Н=Ьз(а, Ь). Если 7" (х) непрерывна на (а, Ь) (тогда ) (х)~ ~Аз(а, Ь)), а г'(х) определена (в обычном смысле) почти всюду на (а, Ь) и почти всюду на (а, Ь) равна непрерывной функции л(х) (тогда л(х) ц Е'), то будем считать, что 7" (х) ~ В(Л) н А)'(х)=л(х). Это определяет линейный оператор А (доказательство того, что л(х) однозначно определяется по 7(х) и что л(х) линейно зависит от 7(х), оставляется в качестве упражнения).
Этот оператор имеет ббльшую область определения, чем любой из соответст. вующнх операторов предыдущего параграфа. Оператор А не замыкаем, поскольку мы можем построить последователь. ность функций тэ (х) из В(А), которая сходится по норме (а в связи с этим н равномерно воточечно на (а, Ь)) к функции 7 (х) — = х, тогда как Л(„(х) =-О Рис, 7,!, построенне последоррте,цыости (Ут(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
