Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 30
Текст из файла (страница 30)
и рим значения 6~бе, Для произвольной пробной функции ф с носителем в Яе, обозначим через Х(х) решение задачи Пуассона — Неймана 7 Х=ф сфю в ал п РХ=О на дРе, х(о) =о, (6.9.23) где с= ) гр(зх и декартова система координат выбрана так, что начало координат располо. жено в некоторой точке 11Е . Эта задача имеет решение, так как интеграл от ф — сфе равен нулю. Затем мы определим з <Р, ф)= — ~ (пг,дУХ)п.=-!!ш 3 Уеч РХВнх. ! ! " е. оггь ! — ! ш=ух~р — Члр (вж чх р)пл н=! прянадлежит М, и мы видим из (6,9,13), что (и, г) ь Хгр+дт к р) =О, а потому; используя определение производной распределения, получаем рх(уев+Хи)=0 в (), (6.9.22) Из приведенной ниже леммы следует, что 7зв+нй= ур в Й для некоторого скалярного поля р. Полнота системы собственных функций доказывается так же, иак в пре- дыдущем параграфе. Лемма. Пусть () — односвязная область в Г с границей д(л, состоящей из кусочно гладких замкнутых поверлностей и удовле- творяющей условию внешнего конуса, Пусть и — векторное поле, каждая компонента которого является распределением в 1,з (ь)), причем Тхч=о в ь).
Тогда существует (скалярное) распределе- ние р в Я такое, что и= Тр в ьй. !5! Б.)0. Уравнения Коши — римана Этот предел существует, поскольку зее — +ч в (з(йб), При О < е < О мы имеем тХУет=о в йб. В таком случае из классического векторного анализа НЗВЕСтна, Чта НайДЕтСЯ ПОтЕНЦИаЛ дз(Х), ДЛЯ КатОРОГО lет=тд' В Йб. )ЫЫ выбиРаем аДДЯтивнУю постоЯннУю в де из УслоаиЯ ) депебчх=о! тогДа <р, зр>= — !пп ~ обе от сах= 1!щ ) аеузтачх = е-~е о иб = 1!щ ~ де (ф — сфр) аех = 1!щ <ае, ф>.
пб Значит, ае- р при е- О (сходимость распределений), и поэтому <ОЩ $>= — <Р, РЯ>= — 1! <бз, УЕ>=1!щ<рбе Е>= е -~ о =Нщ <ге т, зр>=<т, ф>. Заключение, Для каждого 6 существует распределение р = рб, такое, что 7р=о в 1)б, <р, ф,>=0. Отсюда следует, что при 0 < б' <, б рб рб что н требовалось доказать. ала. уРАВнения кОши — РимАнА. ГАРМОНИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Из теории функций комплексной переменной известно, что если функция у(г) комплексной переменной имеет производную у'(г) для всех г в области О, то Кеу и 1ту удовлетворяют уравнениям Коши — Римаяа в О.
Обратное утверждение верно только в том случае, когда частные производные гсеу и 1гпу относительно Рег и 1гпг являются непрерывными, как показывает пример у(г)=е-ц" при г~0, у(0)=0, (6.10.1) в котором уравнения Коши — Римана справедливы на всей г-плоскости. Если уравнения Коши — Римана имеют силу в смысле распределений, то, как отмечает П. Д. Лаке (частное сообщение), у' (г) существует; тогда автоматически имеет место непрерывность частных производных и нет необходимости предполагать ее заранее. Необязательно даже допускать, что Кеу и 1гп) являются функцняни. ЕСЛИ и И П вЂ” ЛЮбЫЕ раСПрЕдЕЛЕНИя На бчэ, КОтарЫЕ удОВ- летворяют уравнениям Коши — Римана в О, то они в действительности являются вещественными аналитическими функциями и удовлетворяют этим уравнениям в обычном смысле.
152 Гл. б. Некожорые аабочи, связанные с лапласпанои Эквивалентное утверждение гласит, что если некоторое.распределение на зсе удовлетворяет уравнению Лапласа в !1, т. е. является гармоническим распределением во, то оно представляет собой гармоническую функцию и(х, у) в ь). В таком виде данное утверждение справедливо для йа. Теорема. Распределение /" в зсч, которое является гармоническим в обласгпи ьз, совпадает в ь) с некоторой гармонической функцией.
Доклалтильство. Обозначим через /з результат сглаживания / по расстоянию б при помощи сфернчески симметричного оператора сглаживания рв (х) = р(х/б) (1/6)", как описано в 6 2,6, т. е. положим /а=/ Р,= </(У) Рв( — У)>. (6.!0.2) Тогда /в = /в (х) принадлежит классу С" для любого 6 > 0 и стремится к / в смысле сходимости распределений, когда 6 О. По условию теоремы рз/ в Р равно нулевому распределению. Обозначим через Яв несколько меньшую областэо ()в = (к~Р: 61з! (х, д()) > 6). (6.10.3) Если хЕРа, то ра (х — у) как функция у имеет носитель в Р.
Поэтому по правилу дифференцирования свертки Ут/з=(т'/) Рв=О в (6.10.4) Значит, /з — гармоническая функция в Рв. Теперь допустим, что и (х) †гармоническ функция в некоторой области Р'. Мы утверждаем тогда, что ив (х) ил и (х) В Рв. (6.10.5) По теореме о среднем значении вз классической теории потенциала для хць)а функция и (х) равна среднему своих значений на любой сфере (у; ) х — у)=сопя(~б). (6.10.6) Поскольку оператор сглаживания р обладает сферической симметрией, (6.!0.5) справедлива. Наконец, используя эти два результата, покажем, что /з не зависит от 6 для достаточно малых 6. В самом деле, пусть 6 и 6' †люб положительные числа, причем б+ 6' ~ б, для некоторого б, > О; тогда / '" Ро '" Рь = / а Рв а Рв Согласно (6.10.5), выражевие в левой части равно /чрв — /з, а в правой— равно /ч рв,=/в„т.
е. / = /в„Поэтому / — гармоническая функция, не зависящая от б; таким образом, и ее предел/ при б — 0 является той же самой гармонической функцией. Зто справедливо в Йа, а в сиду произвольности бо и в Й, что и требовалось доказать. Глава У ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Линейные олераторы нлн лреобразовавня в гнльбертовом пространстве; область олределенля н область значений олератора; норма оператора; теорел~а о раешнреннн; банаковы алгебры; солряженность; снмметряческне, самосолряженные н унитарные операторы; интегральные н дйфференннальные олераторы; снмметрнческне операторы без самосолряженного расшнревня н со многими самосо. лряженнымв расширениями; простые операторы Штурма — Лнувнлля; замкнутые н замыкаемые операторы; графнк оператора; операторы раднального импульса.
Предваришельнмс сведения: гл, ! — 5. 7.1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Понятие линейного оператора (т. е. преобразования) в гильбертовом пространстве Н (или в банаховом пространстве) является непосредственным обобщением понятия линейного преобразования в конечномерном пространстве. Однако следует подчеркнуть один момент (главным образом потому,' что им иногда пренебрегают, особенно в книгах по квантовой механике), а именно: оператор А нельзя считать полностью определенным, пока не выяснена его область определения (т. е.
множество х из Н, для которых Ах имеет смысл); операторы с несовпадающими областями определения следует рассматривать как разные операторы. Обычно требуется, чтобы область определения была линейным множеством (многообразием) в Н, поскольку очевидно, что если оператор А линеен н Ах определен для всех ха 5, то в силу линейности можно однозначно определить Ау для любой конечной линейной комбинации у элементов 5. Однако дальнейшее расширение оператора является обычно не единственным (за исключением частных случаев).
Формальные определения таковы: линейный опера!пор или преобразование А представляет собой линейное отображение линейного подмножества Р(А) пространства Н, называемого областью определения А, на подмножество Р(А), область значений А. Области определения и значений являются линейными многообразиями. Оператор А' называется рааиирением оператора А (символически А<:.А'), если, во-первых, Р(А)щР(А') и, во-вторых, Аи=А'и для всех и из Р(А). Оператор А называют ограниченным, если существует такая постоянная К, что (!Аи()я К)и~( для всех иЕР(А); норма оператора ~1А~| есть наименьшее из )ч4 Гл. 7. Линвйныв операторы в вильбвршвввм пространстве таких К.
Согласно теореме о расширении, доказываемой ниже, ограниченный линейный оператор А имеет единственное ограниченное расширение А, область определения которого является замыканием Р(А), а (А 4=) А(; в частности, если Р(А) — плотное в Н множество, то Р(А)=Н. Если Р(В)~И(А), то определен оператор ВА; в этом случае, если А и В ограничены, то (ВА) '- ()(ВДА(~.
Если и=Π— единственное решение уравнения Ли= О, оператор А имеет обратный оператор А ', областями определения и значений которого являются соответственно области значений и определения А; кроме того, (ВА) '= А 'В '. Замечание. В этой книге символ ~ включает равенство; если А4:А', но А~ А', то говорят, что А' есть собственное расширение А. Все приведенные выше определения применимы и для любого банахова пространства.
В гильбертовом пространстве, однако, норму)(А )~ можно выразить через скалярное произведение, а именно ) (Аи, о)( Ие (Яи, о) (у ) )) ((и(~) (! ~,'и(~(~о) о.д в ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу неравенства Шварца и оирвделеиии кормы оператора йв (Аи, о) ~ ! (Аи, о) )о,(~ А и) ~(о ~( К) А (~) и)()о(~ для всех и и о. С другой стороны, и можно выбрать тзк, что ( Аи )йи ~, 'сколь угодно мало отличается от ) А(~; следовательао, воли в качестве о взять Аи, то (Аи, о) вешествеиио и равно ) Аи(!з, так что (Аи, о)у() и()) ой равно (Аи Д и( и, значит, сколь угодио близко к () А р Отсюда теперь следует (71!). Теорема о расширении, Если А — ограниченный оператор, то А имеет единственное расширение А на замыкание Р(А), такое, что ) А ) = ) А ((.
ДОКАЗАткльство. Прежде всего докажем существование А. Пусть Э-зэммквиив Р(А) и и — любой вектор из Р, а (и„) — последовательность элементов Р(А), сходящаяся к и. Злемеиты Аи„опрвделвиы для всех п и (Аи„) является последовательиостью Коши, поскольку ) Аи„— Аи„(~м;( А()) и„— й,„(~ — б и, слвдовзтельио, ((Аи„— Аи ) — О ири и, и — оо, тэк кзк (и„) является последовательиостью Коши.
Если теперь для каждого такого и определить Аи как предел Аи„при н — ь со, то.стаиовится ясно, что, во-первых, ЕА ).:„-((А В так кзк ((Аи()=1(ш)~ Аио((ванги() А()) ио)=)~ А )) и (, а во вторых, Аи=Аи, если иЕР(А), тзк что А — рвсширеиие Я и ()А)=((Я )х). Чтобы доказать единственность, предположим, что А' — любое другое ограизчеииов расширение А ив Р. Если (и„) и и те же, что и выше, то ) А'и-Аио',~=((А'и — Я'ип((~((А' ),", и — ип) и, значит, А'и=вш Аи„, т. е, А'=А.
з) Неравенство ))А )(~(~А' ~( справедливо при любом расширении А,— Прим, перев. 7.2. Са.носоярлженные и унилзарные операаоры Применение этой теоремы к интегральным уравнениям дается в 5 7.4. Важным классом операторов, используемых в квантовой статистике и других разделах физики и математики, является множество В(Н) ограниченных операторов, определенных на всем пространстве Н. Важность этих операторов вытекает из того факта, что В(Н) представляет собой алгебру, т. е. не только линейное пространство, содержащее с,Аз+с,А, для любых Ао А, из В(Н) и любых сп г, из С, но и множество, содержащее произведение ВА для любых А, В ЕВ(Н).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
