Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 32
Текст из файла (страница 32)
9 1.4.) 1. Пусть $= (хо х„...) — любой элемент из (з, и пусть Ав = = (х„х„...) (х; опускается, (и+1)-я координата заменяет п-ю, и= — 1, 2, ...);,Р(А) =(з. Очевидно, что для любого т1=(уо у„...) Ат( = (О, уо у„...). Хотя Р (А') = 1е = Н и ( А'т1 (= ) П ) для всех гь оператор А' не унитареп, так как его нельзя обратить на всем Н; возможен случай, когда 1А$!) С [$!). 2. Пусть 9=(хн х„...), и пусть г) АБ=(х„х„хо х„хм х, „хе„+н х,„п ...). Тогда А — унитарный оператор, 3.
Пусть М вЂ” произвольная матрица размера пхп, и пусть $=(хо х„...) и А$=(юм Гр„...), где и~у — — ~г Мтахь пРи 1=1, 2, ..., и, ь ! и~у —— хг пРи 1) и, а Р(А)=(а=Н. Если М вЂ” эрмитова матрица, то оператор А самосопряжен, если М унитарна, то и А упитарен.
4. Р(А) — множество всех таких $=(хо х„...), для которых лишь конечное число х ~0. Если ЕЕР(А), то А$=(хт, 2х„ Зх„..., пх„, ...), Оператор А симметричен, Р(А) плотно в (з, а А* является расширением А с областью определения Р(А*) = 5=(хо хе, ...): ~ )з(х~(' < оо А* самосопряжен: А**=А . у.е. интеГРАльные ОпеРАтоРы В хз(а, ь) Пусть К(х, у) — непрерывная по х и у функция (при а(х, у(Ь), и пусть Р(А)=С[а, Ь), т. е. Р(А) — множество непрерывных на [а, Ь) функций ер(х); для любой такой функции ер определим Ар равенством Аер=[А<р](х) = ) К(х, у)ср(у)е(у.
(7 4.1) г В силу неравенства Шварца при любом фиксированном х ь ь ь ~ $ К (х, у) ер (у) е(у ~ ( [ ( К (х, у) / ' г(у ~ / ер (у) ( ' е1у; ь) Здесь 2л-я иоордината заемента Ав принимает значение ке„ть а (2н+Ц.я — значение хея т (кроме первой).— Прим. перев. 160 Гл. 7, етинейные операпеорье в еильбертавол проап~рапеяае интегрирование по х этого неравенства дает Ь Ь ) Аеа)'~ ~ ( (К(х, у))'е(хну)<р1'. а а (7,4.2) тт (Г) = С (Ел), (БР) (и) = (2п) п~а) ...
) ееа '"ер (у) е(уа... е(у„, имеет всюду плотную область определения и норму 1Г"'1=1, однако не является оператором Гильберта — Шмидта. Его расширение Г на все Е' представляет собой унитарное отображение всего 1' на себя (см. Е 5.10). Тлд ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Сначала рассмотрим оператор Т, определенный в Н= Еа (а, Ь) равенствами Р (т) = (( Е (.'. 7' Е 5а, г(а) = Г"(ь) = О), (7 5 1) Т( =- — 17', где 1' понимается как производная 1 в смысле теории распреде- лений.
Оператор Т симметричен, потому что интегрирование по частям допустимо для распределений из Е', а внеинтегральный член обращается в нуль. в силу граничных условий, т. е. (Т~, д)= ~ — е~'да(х=(~д1, — 1~1 д'е(х=-(~, Тд). (7.5,2) Поэтому А — ограниченный оператор с плотной в Н=(.а(а, Ь) областью определения. Согласно теореме о расширении, А имеет единственное ограниченное линейное расширение А с Н(А)=Н. Если ядро К(х, у) удовлетворяет условию К(у, х)=К(х, р), то А симметричен, а А самосопряжен.
Интегральные операторы такого вида допускают обобщения в разных направлениях (бесконечный интервал (а, Ь), неограниченность ядра К (х, у), несколько независимых переменных). Если интеграл в (7,4.2) конечен, то говорят, что это оператор Гиль- берта — Шмидта (см, Э 12,4). Однако интегральный оператор нс обязан удовлетворять этому условию, чтобы быль ограниченным. Оператор преобразования Фурье Р, заданный в 5а(Ен) равенствами т.а. Опероепори е минни иренин епеории риспределенид !61 Чтобы определить сопряженный оператор Т*, найдем такие пары ф, й) элементов 7.', что (Т'1, д)=(Г', 6) для всех )ЕР(Т), т. е.
(7,5.3) 1()', а)=(), Ь) для всех )ЕР(Т). Множество всех таких д образует Р(Т'), и Т'д=й для любой такой пары (д, Ь). В частности, 1(ср', д) = (со, й) для всех ср е"- С,", т.е. для всех пробных функций, потому что если ~ГЕС,", то его 7.е. В обозначениях гл. 2 это выглядит так: 1<у, ер'>= =<5, ~г>, однако <о, ср'>=< — р', ~р>, следовательно < — (д', 4» = <й, ср> для всех е( б С~", так что 6 и — сд' — одно н то же распределение, т. е. один и тот же элемент с.е(а, Ь). Таким образом, необходимым условием того, чтобы пара (д, Ь) удовлетворяла (7.5.3), является равенство 6 = — 1д', однако это условие является и достаточным в силу (7.5.2).
Поскольку 1" (а)=) (Ь) =О, на д не нужно накладывать никаких граничных условий. Вывод, (7.5.4) Оператор Т' является несимметрическнм расширением Т, и ни Т, нп Т не являются самосопряженными. Если бы Р(Т) ограничивалась функциями класса С', или С" (й ~ 0), или С", или аналитическими на [а, Ь) функциямн, или даже многочленами (граничные условия, конечно, в любом случае сохраняются), то Р (Т) была бы все еще плотным в.(.е(а, Ь) множеством и Тн по-прежнему задавался бы формулами (7.5.4). Т'" был бы еще старым Т, заданным равенством (7.5А), поэтому теперь Т с: Т". Другие примеры в й'(а, Ь) таковы: (1) Р(Т,)= (7Е7Л 7' ЕЕ.-", ) (а) =-О), Т,7 —.— — ()', тогда Р(Т )=()Ей': ГЕ7- ~(Ь)=0), Т,'Д=-- — (Г (2) (периодические граничные условия) Р (А) = () Е (.е: Г 6 т ', 7 (а) =1 (Ь)), А( = — с7 ' А самосопряжен: А'= А.
162 Га. 7. Лшыйнам операторы а гпхьбгртоаом прастранстаг Замечание. В классической теории, где у и у' рассматрива. ются как обычные функции (хотя, вообще говоря, 7' недоопределена на множестве меры нуль), необходимо ограничивать Р(А) функциями класса «Д(х) ~Е'. 1(х) абсолютно непрерывна, 7'(х) ~Ее), где принадлежность )'(х) 5' означает, что )'(х) существует почти всюду, измерима по мере Лебега и интеграл Лебега ) )7'(х))зс(х конечен. При нашем подходе иет необходимости использовать теорию Лебега и вводить понятие абсолютной непрерывности, т. е.
) (х) автоматически абсолютно непрерывна, если )' как распределение принадлежит (.з. Оператор Т, заданный в (7.5А), характеризуется тем, что имеет наибольшую для оператора в Р(а, Ь) область определения, если его действие задается операцией — г (с(/ггх) в смысле теории распределений. Операторы Т;, Т', и А являются промежуточными между оператором Т, определенным в (7.5,1), н Т". В частности, А — самосопряженный оператор, такой, что Т с А с Т'. Однако А — не единственное самосопряженное расширение Т; имеется бесконечно много других, определенных следующим образом: пусть Π— любое вещественное число из [О, 2п); определим Аа равенствами Р(А )=УЕ.)-" )'6.Х', 1(Ь)= '1()).
(7.5.5) А~) = — г)'. Упражнения 1, (а) Покажите, что А при любом Π— самосопряженный оператор и что Т с. "Аз ~ Т". (6) Найдите собственные значения и собственные функции А,. (в) Докажите, что зти собственные функции образуют полную систему. [Укааание, Возьмите (о„Ь) =(О, 2п), зателп если 7 (х) — произвольная гладкая фуНКцИя, раЗЛОжИтЕ г 'Зхл~зг'(Х) В ОбЫЧНЫй ряд ФурЬЕ.) (Г) ПОКажИтЕ, ЧтО граничное условие нельзя заменить условием 7(Ь) =а7(а), ) а) ~!.
2, Пусть р(х) и о(х) — вещественные функции, принадлежащие С, при. чем р (х) > О, а Кх~ Ь. Докажите, что регулярный оператор Штурма — Лиу. пиная А, определенный равенствами Р(А)=(уайт(а, Ь): — (рТ)'+о)~Е.', /(а) =7(Ь)=О), (7.6.6) А7= — И)'+о) (здесь штрих означает дифференцирование), самосопряжен. Рассмотрим теперь частный случай оператора Штурлга — Лиувилля с одной особой концевой точкой и с р(х) ==1. Пусть с) (х) — вещественная непрерывная неотрицательная функцняг У.й. Оиерии(ори е еиоиии зрении и(еории риеиределеиид !бз определенная при 0<х< оо. Определим в гильбертовом пространстве И=(.о=5'(О, оо) оператор А: Р(А)=11~ Бе( — 1'е(х)+()(х)1'(х) ~(.о, 1(0) =О), (7.5.7) А~ = — [е+()~ для 7 Е Р (А).
(Более общие операторы такого типа рассматриваются в гл. 10.) Так как 7 и А7' принадлежат й'(О, Ь) при любом конечном Ь, то (17, а потому и (о принадлежат Е.о(0, Ь); следовательно, )(х) и 7'(х) непрерывны при 0 <х < ио, значит, в определении Р(А) граничное условие 7(0) =0 существенно. [Из этих рассуждений не следует, что 1(, [о нли ф принадлежат Ео(0, ио), однако далее будет показано, что 7' и )еед 1 принадлежат й'(О, оо),) Так как 7" Е).о(0, Ь), интегрированием по частям можно получить следующее: (7, — 7" +(7[) = ) 7 (х) [ — 7" (х)+(1(х) 7" (х))ах= о л — 1((и ~ 7" (х) [ — го (х) + () (х) 7" (х)) е(х = "о о - е ( — ((*(('(*(/, 4.1((('(*(('.(е(*((((*(('(е [.
о о Ясно, что последний интеграл может стремиться только либо к положительному значению, либо к +со. Во втором случае Ке(7( стремилась бы к +си, т. е. ((~~~о/Ых — ии, что противоречит квадратичной интегрируемости 7(х); поэтому ( ) 7' (х) ) '((х < ои и [ а (х) (1(х) ! ее(х < ои„ о о т.е. г, 1 д7~(.е(0, ио). Заметим, что в этих рассуждениях не использовалось граничное условие 7" (0) =0 (это нам потребуется в дальнейшем). Найдем теперь сопряженный оператор А* и покажем, что А*=А.
Для этого найдем все возможные пары элементов [д, 6) из Ео(0, ии), такие, что г( — 7" +(77, д)=(7", 6) для всех ~~Р(А). (7.5.8) Множество всех таких д образуют Р(А*) и А*д=й для любой такой пары (а, Ь), В частности, для такой пары (д, 6) ( — (р" +()(р, д)=((р, Ь) для всех (р~Со" (О, ии), (7.5.9) <ц, — (1("+()(р> = <6, (р> для всех (р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
