Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Можно поставить также вопрос об ассоциативности: верно ли, что ) (х) [д (у) й (х)1 = — [Г (х) д (у)1 й (х)? (6.5.3) Н а все зти вопросы отвечает (утвердительно) теорема Д. Шварца о ядре. Сначала заметим, что (6.5.2), очевидно, справедливо в частном случае ф(х, у)=ф(х)у(у), ибо тогда обе части суть просто (6.5.4) т. е.
билинейный функционал от чР и Х. Мы сформулируем теорему Шварца без доказательства. Теорема о ядре. Пусть В [чр, у1 †билинейн функционал, определенный для пробных функций ф и у на йи и И и непрерывный по каждому аргументу относительно сходимости типа я . Тогда существует единственный линейнслй функционал в,(ср), определенный для пробных функций чр(х, у) на вчч'", также непрерывный оспносительно я. и такай, что Е [чР (х) у (у)1 = В [чу, у~ чсчР, у.
(6.5,5) Эпво утверждение остается в силе при залсене С„" на чТ и — на , а также для других типов непрерывности функционалов. Если В[ф, у1 взят в виде (6.5А), мы выводим коммутативносгь прямого произведения из единственности Е, потому что, как указано выше, билинейные функционалы, соответствующие обеим частям (6.5.2), одинаковы. Повторно применяя теорему, мы заключаем, что мультилинейный функционал М [эро ..., ф ] определяет единственный линейный функционал Т. (ср), такой, что В [чг, (х,)... фл (хв)) = М [чуо ..., фв1 'ввчР„..., чг», (6.5,6) б,б. Творе»а Шварца в лдрв <~»д, ф>=<~(х)п(у), ~р(х+у)> (6.5.9) для всех ~рЕС,"(к"), должно быть возможным найти пробную функцию ф(х, у) Е С," (йв") такую, что гр(х+у) =ф(х, у) для всех точек х, у носителя прямого произведения, т. е.
для всех точек множества (6.5.10) Это требование состоит в следующем: если Л вЂ” любая ограниченная область в И", рассматриваемая как носитель гр, то пересечение множества (6.5.!0) с множеством, задаваемым условием х+уЕ К («слой» под углом 45' к осям), должно быть ограниченным множеством. Тогда мы можем выбрать ф(х, у) =~р(х+у) на этом множестве и положить ф — 0 гладким образом вне множества. Для распределений на к (см.
упражнение 1 э 6.2) данное условие выполняется, если носители обоих распределений ~ и д ограничены снизу (или сверху) на Р. Обобщение для распределений на Й" состоит в том, что оба распределения у и д должны иметь носители (которые могут простираться до бесконечности), лежащие в круговом конусе в к' с полууглом раствора меньше пГ2. Если носители трех распределений ~, я и Ь лежат в таком конусе, то ~»(д»й) =(~»д)»Ь. вирр (~) х вирр (д) Трилинейный случай показывает ассоциативность прямого про- изведения, Возвращаясь к (6.5.1), мы непосредственно выводим комму- тативность и ассоциативность для свертки распределений о ком- пактным носителем на Р'. ~»й=д»~, г»(д»й)=()»д)»й.
(6.5.7) Некоторые авторы записывают прямое произведение в виде ~(х)хд(у), но нет уверенности в необходимости этого, поскольку для обычных функций так це делают. Дальнейшее обсуждение и обобпгение этой теоремы см. в книге Гельфанда и Виленкина [1961] (Обобщенные функции, вып. 4). Для распределений с некомпактным носителем свертка, если она существует, может ие быть ассоциативной, Зто верно уже для функций. Положим, что ~(х)==-1, 11 при х> О, Ь(х) = (6.5,8) д(х)=хе-"*, 10 при х(0, тогда непосредственные вычисления дают ~»(д»й)=сопз1чьО, (~»д)»5==0.
Однако ассоциативность имеет место, когда два распределения вз ~, д, а имеют компактный носитель илн, в более общем случае, когда эти носители связаны надлежашим образом. Для того чтобы определить свертку через прямое произве- дение, т. е. !за Гл. Е. Нваомормв вадааи, овлваняввв о лаалалианом 6.6. ВАРИАЦИОКИЫЙ МЕТОД ДЛЯ СОВСТВЕИИЫХ ФУНКЦИЙ ЛАПЛАСИАИА На основании многих классических примеров, в которых может быть использовано разделение переменных, естественно ожидать, что для задачи рви+)и=О в(1 с граничным условием и=О на д(л всегда' существует полная ортонормированная система (и,1," собственных функций с соответствующими собственными значениями (Ч, такими, что 1. ~).,вг и Л~- ао при 1- аа. Классический вариационный метод для этол задачи, не связанный с разделением переменных, основан на последовательной минимизации ияаеграла Дирихле Р (н) ) ~ Ти ~в о(ох ) уц.уцДох (6.6,1) прн различных ограничениях на функцию и.
Например, основная собственная функция и, (х) (соответствующая наименьшему собственному значению Х,) получается минимизацией Р (и) при следующих ограничениях: (1) ) пвг(ох (2) и=-О на дй (6.6.3) (6.6.2) (6.6.4) (6,6.5) Поскольку би = О на дР, интегрирование по частям в (6.6.4) дает — ) (у*и,) биеР*Х=О. Следовательно, ) ( рви, + л.и,) би г(ох = О (6.6.6) для любого значения так называемого множителя Лагранжа ),. Уравнение (6.6.6) показывает, что функция би должна быть ортогональна иь но в остальном она является произвольной при допущении, что такая минимизирующая функция и,(х) существует и достаточное число раз дифференцнруема. А именно, пусть и,+ба — любая близкая функция, которая также обращается, в нуль ца границе. Ограничиваясь первым порядком малости, нз (6.6.1) н (6.6.2) получаем ~ Ч и, 7 (би) г(ох = О, ~ и,био(ох = О. д.д.
Вариацианный иетид длн еайеаеенньи функций 139 гладкой функцией, которая обращается в нуль на дл). Однако если Л выбрано так, что ули,+Ли, ортогопально и,, т. е. если Л определяется из условия ~ (у'ил+Ли,) ифх= О, (6.6Л) то (6.6.6) имеет силу независимо от того, ортогопальна би к ие нли нет. Следовательно, у'и,+Ли,=О в лг; (6.6.8) это и есть требуемое уравнение для собственной функции (если положить Л, =Л) — ураеиение Эйлера — Лагранжа данной вариационной задачи.
Следующие собственные функции получаются подобным образом. Например, после того как собственные функции ио ..., и~ 1 найдены, иг будет той функцией и, которая минимизирует интеграл Дирихле (6.6.1) при условиях ) иЧих=1, Г1и иглах=О, й=1, ° ° °, 1* — 1, и(х) =0 на дл). Вычисления, используемые в вариационпом методе, подробно проводятся в ч 6.8, где доказывается существование минимизирующих функций. Аналогично решение й (х) задачи Дирихле (6.4.3), (6.4.4), когда оно существует, является функцией и, которая минимизирует интеграл (6.6.1) при условии, что и(х) =7(х) на границе дл). Существование функции и(х), минимизирующей (6.6.1) прн различных условиях, известно как принцип Дирихйе и считалось очевидным до конца девятнадцатого столетия, когда были найдены противоречащие примеры для некоторых специальных форм границы дл).
При подходящих ограничениях на границу, таких, как условие внешнего конуса, приведенное в 9 6.4, существование минимизирующих функций доказывалось различными математиками, начиная с Гильберта в 1899 г. (см. книгу Куранта [19501). Если условие конуса нарушено, то минимизирующей функции может и не быть. Например, если достаточно острая игла, диаметр которой равен, скажем, ае-л!', где г — расстояние от некоторой точки, вонзается в область, то, вообще говоря, не существует решения задачи Дирнхле. Простейший пример такого случая, когда игла одномерна, рассмотрен в следующем упражнении. 140 Гл.
б. Неношорые задачи, ге«танные с лаплагианен Упнлжннниа 1. Рассмотрим область Р, нзобрзжевную на рнс. 6.6, для которой частью границы дй является прямолинейный отрезок вдоль осн очень длинного замкнутого цилиндра. Допустим, что граннчная функция /(х) равна нулю на этом (х) 1 Рнс. 6.6, Задача Днрнхле, не имеющая решения. отрезке н равна сднннце на остальной части граннны. Предположим, что «пробная Функция» и(х) в интеграле Днрнхле (6.6 1) взята а виде функцнн, завн.
сящей лишь от рвднуса г (нсключая окрестпостн концов), а именно 0 прн О~«~в, и = !и (г/з) прн е~г -а, !и (а/з) где а — радиус цнлнндра, а з — параметр нз (О, а). Покажнте, что, ннтсграл (6,6,!) — »О прн е — »О, если пренебречь концевыми зффектамн. Отсюда последует, что если бы существовала мнннмнзнрующая функцня и, то она удовлетворяла бы уравнению уи =О, т. е, была бы постоянной, а значит, нс могла бы одновременно удовлетворить граничным условиям н на осн, н на цилиндре.
Ь.У. ТЕОРЕМА КОМПАКТНОСТИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА Н'з Классическая теорема Арцела (нли Асколн — Арпела) утверждает, что любая равномерно ограниченная и равностепенно непрерывная последовательность функций на компактной области в йп содержит сходящуюся (фактически равномерно сходящуюся) подпоследовательность (см. книгу Куранта н Гильберта [19531) или книгу Данфорда и Шварца <) 9581).
В частности, зта теорема применима к ф)цкциям, имеющим первые производные, которые тоже ограничены общей гранью К, ибо тогда функции равно- степенно нспрерывны. Эта теорема используется для доказательства существования решения некоторых вариационных задач. Для вариационной задачи лапласиана, описанной в предыдущем параграфе, нужна аналогичная теорема, известная как лемма Реллиха, в которой функция и ее первые производные ограничиваются не поточечио, а по Г.з-норме и подпослсдовательность сходится не пагочечно, а в пространстве Г.*. Говорят, что функции и образуют равностепснно непрерывное семейство, если разности и(х+р) — и (х) ограничены для данного д величиной в(у), одинаковой для всех функций семейства и всех х, и зта величина стремится к нулю, когда у стре- 141 6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
