Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Покажем теперь, что распределение )ЕЕ" тогда и только тогда, когда оно ограничено (поточечно). Рассмотрим сначала вещественный случай. Если ер — неотрицательная пробная функция, то )!ср'!т = ') ф(х) г(х=<1, ер>, где через 1 обозначена функция, тождественно равная единице. Поэтому из (5.7.13) следует, что <М ~(, Ч2> ь0, т. е. распределения М+( и М вЂ” ( неотрнцательны на В, а )!(!!„— это наименьшее такое М, для которого это условие верно. В комплексном случае )~~))„— наименьшее из таких М, что М вЂ” Ве ((ег") ) 0 на В для всех вещественных а. (5.7,14) Любая ограниченная непрерывная функция ((х) принадлежит Е", и дпя нее (!)!(„=зцр() ) (х) (: хЕ Ц.
Пространство 'Е" представляет собой пространство, сопряженное к Е', что почти очевидно из определения Е", однако Е' не является сопряженным к Е" пространством. Если сопряженное пространство обозначить, как и в Ь 2.8, штрихом, то банахово пространство 21 называется рефлексивным, если (Б")' = )я. Поэтому Е» рефлексивно для р > 1, ио нерефлексивно для р= 1. Сопряженным к Е" является пространство мер; см. 9 13.9, В точности так же можно изложить и теорию пространств , Е.р(Вь)), Ер(а, (г) н Ер(ь)), УПРАЖНЕНИЕ !.
Покажите„что для лкгбого распределения 1 из Ер(й) (1 < р < оь) неопределенный интеграл ) )ах является непрерывной функцией (ср. с 4 Б.й). $.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В Ет. ЛЕММА РИМАНА — ЛЕБЕГА. ТЕОРЕМА ЛУЗИНА Поскольку элементы пространств Е' являются распределениями медленного роста, оии имеют преобразования Фурье. Лемма Римана — Лебега, доказываемая ниже, утверждает„что в этом случае преобразования Фурье оказываются непрерывными функциями, стремящимися к нулю (возможно, очень медленна) на бесконечности. Первоначально зта лемма выглядела так: мли 1(х) измерима на (О, 2п) и ) 1) (х)) г(х < со, то коэффициенты Фурье о тп ( (Х) а-ГивАтХ ! Р Ги Б. Пространства ба 116 стремятся к нулю при п — ~ оо.
(Для практических целей эта лемма представляет меньший интерес, чем утверждение о том, что если /(х) имеет ограниченную вариацию на (О, 2п), то ее коэффициенты Фурье с„О по меньшей мере как с/[п[, однако у нее много теоретических применений.) Согласно идеям й 5.7, пространство /г(Е«) определяется следующим образом. Если (грг (х))/,— последовательность Коши пробных функций по /'-норме, т. е. если ~ [~р/(х) — гр»(х)[й«х- О при /, /е- оо, (5.8.]) то эта последовательность определяет распределение / посредством равенства (/, ф>= ИШ ) ГР/(Х)ф(Х)й"Х ЧгфЕС« (Е'), 1 "н а /.г(ас«) является множеством всех таких распределений /, Лемма (Риман — Лебег). Для распределения / Е /.г (Р«) его преобразование Фурье / является непрерывной функцией / (у), стремящейся к нулю при [у[- Доклз»тельство.
Покажем сначала, что / — непрерывнан функция. »(лп последовательности (вг), указанной выше, по формуле дла преобразования Фурье от пробной фуницнн следует, что длн любого у 1 гр/ (у) — гр» (у) [: (2п) -«/' ( [ в/ гх) — гр» (х) [ о«х, и« потому что [ег"'"[=1. Так как правая часть неравенства не зависит от у и стремится к нулю при /, й со, последовательность фр (у)) сходится равномерно при / — э оо. Следовательно, ее предел /" (у) (2п) -"/ )пп ~,р/ (х) е- га.гс«х н« является непрерывной функцией. Так кан егп= — 1, то /(у) можно представить ив виде /(у) (2п) «П Нш ~ ф (х) е — гу и+.~г/1у1П~/«х я« Среднее арифметическое этих двух выражений таково: /(у) =(1/2) (2п) «м нгп ) [гр/!х) — гр/(х — пуй у [ )] е гг'п«х1 / "н« поэтому ]/(у) [«ц(1/2) (2гг) "/а 1гпг ( [~р/(х) — ~р/(х — пу/]у]е) [г/«х / 117 бЯ.
Пржгбразоеанае Фурье е Еа и нам осталось показать, что правая часть этого неравенства стремится к нулю прн (у( аг. Пусть в-произвольное положительное число, Сначала выберем К, такое, что ~ ) фе (х) — Чг» (х) (г(ах < в для й й ~ К, (8.8,2) Иа а зателг выберем )лг так, что ( ) рк(х) — грк(х — пу!(у)') (е(вх < з для (у) > К„ Иа Если мы объединим это неравенство с неравенством (8.8.2) (последнее нужно брать для»=К дважды; в том виде, как оно записано, и после сдвига по х на пуду р), то увидим, что ~ ( фу(х) — гру(х — пуд у )з) ) г(вх < Зв для ) > К н (у ( > )7.
Юа Поэтому () (у) ( — г. О при (у ) сь, Замечание 1. Распределение из Ьл не обязательно принадле- жит Ьз, а распределение из 1,» не обязано принадлежать ьл. Ниже (см. 2 5.10) рассматриваются преобразования Фурье элементов пространства 1Р; эти преобразования в общем случае не являются обычными функциями. Приведенный ниже несколько упрошенный вариант теоремы Лузино показывает, в какой степени распределения из Е" (и из Ьз, см. замечание 2) являются обычными функциями.
В исходном варианте теоремы (см. Натансон (!950)) 7 является измеримой по Лебегу функцией. Упражнение (теорема Лузина) Предпологкилг, 'по распределение (Ебл (()), () с к". докажите, что длн любого б > О найдутся отврьпое множество Йьс Й, обьем которого меньше б, н непрерывная функция а (х), определенная на Я вЂ” (ез и такая, что 7 =Уз внутргз (У вЂ” леа Указагмге. Пусть (гр») — последовательность пробных функций, сходящаяся в ьл((у) к 7'. Покажгпе, что для любого б > 0 найдутся такие целые числа йм йю ... (зависящие от б), что 1) бб Объем (хг (чг»(х) — фл(х)) > —.г < —..., дчя всек я, (гэ»в; после этого возьлппе Пз= () (хг (гр» (х) — гр» .,(х) (> 1/пз( л=г и рассмотрите последовательность (ф» )" Замечание 2.
Если (" — распределение на гс", принадлежащее 1.г (ь)) при любой ограни«енной 11 с зс", то говорят, что )" принадлежит Е'(ас") логгаьзно. Распределение, принадлежащее локально Гл. 6. Просесренссееа ьз пв принадлежит локально и се, потому что для элементов 1Р выполняется неравенство Шварца, и, следовательно, ) (1 1(йех ~ (~('д"х Объем (Р), значит, теорема Лузина применима и к ~Е Р.
$.9. ПРОС1РЛснптвтс 1ИПА Г.сс Пространства, описываемые в этом параграфе, возникают при рассмотрении спектрального разложения самосопряженных операторов. Пусть о(х) — неубывающая функция вещественной пере- медной х. Для любых двух функций ср и ф нз С,"(й) определим (ср, ф) = ) ср (х) ф (х) с(о (х) (5.9.1) и И1. =)'(р, р)' Функционал '1.1„как правило, всего лишь положительно лолу- определен на пространстве С,", поскольку если ср(х) равна нулю вне интервала постоянства а(х), то)ср)~ь=) ~ср(х) !'йа(х)=О, даже в случае когда ср(х) не равна тождественно нулю; Я называется аолунормой. Для нее зсе еще выполняются неравенство Шварца и неравенство треугольника.
(Доказательства этих и других утверждений данного параграфа почти совпадают с доказательствами соответствующих утверждений в З 5.3 и потому опускаются. ( Если (ср,) — последовательность Коши относительно этой полу- нормы, то предел (ф, р;)„прн 1 — оо существует для всех пробных функций ф распределение ) определяется как функционал (~, ф)= Иш (ср;, ф), для всех фЕС,. Две последовательности Коши (срс) и (сгс) определяют одно и то же распределение в том и только в том случае, когда они эквивалентны, т. е. когда 1'сРс — сРс),— О. Пространство 14 = У4 (Р) определяется как множество всех таких распределений (определяемых последовательностями Коши).
Скалярное произведение в Ц(И) определяется равенством (с' а) =1 (ср 'т), б.10. Г)реобрамвание чаррье и олераглоры сглаживания 1!9 где (<ГД и (трД вЂ” последовательности Коши, определяющие Г и ьт соответственно, а норма определяется формулой П)(а-— -1 ((, ~)а= 1!ш ЦертПа Пространство г.'„(К) является полным и, следовательно, гильбертовым пространством, Следующие замечания касаются некоторых новых, хотя и вто. ростепенных, свойств этих пространств.
1. Если (а, Ь) — произвольный интервал, на котором о(х) постоянна, а ГЕ14, то Г'=О на (а, Ь). [О смысле выражения «распределение Г=О на (а, Ь)» см. гл. 3.) 2. С„" не обязательно содержится в Е',; в действительности непрерывная функция Г" (х) принадлежит Ц тогда и только тогда, когда (а) ~ !!'(х)(яс(о(л)а. а и (б) Г(х) =0 на каждом интервале постоянства о( ). 3. Хотя )! !(, на С„" всего лишь полуопределенна, на Еа, она положительно определенна, Иначе говоря, если ))р,!1,— 0 при 1- аа, так что ))~!),=О, то последовательность Кошй (фг), определяет нулевое распределение: Г=О. Поэтому )! !'„определяет в х4 норму, а не просто полунорму. Пространства Е4(аса) исследуются аналогично, только в них о — неубывающая функция нескольких вещественных переменных в смысле 3 13.3 и используется многомерный интеграл Стилтьеса.
Упнлжне ни е !. Выясните внд пространства ь„(к) в следукхаих случаях: (!) а ( ) — сту пенчатая функция! 2) о' (х) > О для всех х; (3) о(х)=х, Тиа. пРеОБРАЭОВАние ФуРье и ОпеРАтОРы сГЯАжиВАния В ПРОСТРАНСТВАХ ва Так как любой элемент 1, принадлежащий г.а(Еа), представляет собой распределение медленного роста, для него существует преобразование Фурье Г, которое также является распределением медленного роста; более того, )" также принадлежит ЬЯ. В самом деле, предположим, что фа- ) в Ьг при й- аа; тогда (ера) — последовательность Коши. По равенству Парсеваля )ера — тр ~' = — следовательно, '(тРа) — также последовательность Коши.
Для любого ф из х (1, фу=-(Г, тгл= Цтп (тря, фд = Иш (тря, фл, Гл, б, Прес!прансятза 1.з 120 Иначе говоря, / равно распределению, определяемому последовательностью (фг) в смысле 2 5.3, и поэтому /~Ьз(к"). Точно так же, используя последовательность Щ, сходящуюся в /,' к д, легко увидеть, что (/, д) =(/, д). Поэтому отображение / — / оказывается изоморфизмом (иногда называемым изометрическим изоыорфизмом, поскольку оно сохраняет не только линейность, но и норму, и скалярное произведение) птльбертова пространства /.з на себя, т. е. данное отображение является унитарным преобразованием этого пространства.
В терминах квантовой механики это выражается следующим образом: если / изображает некоторое состояние системы дг частиц в координатном представлении (в этом случае и = 3/т' и спин не учитывается), то / изображает то же самое состояние в импульсном представлении, а из того, что отображение / - / является изометрическим изоыорфизмом, следует, что эти два представления совершенно эквивалентны. В гл. 2 было показано, что если / — распределение, а /з †оператор сглаживания (2 2.6), то /з/ и / как распределения близки для малого 6, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
