Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ч - / при 6 - 0 в смысле сходимости распределений. Мы покаже«1, что если /~Ьз, то /з/ и / близки и ио Е,з-норме. Теорема 1. Для тобаго распределения / из /.з(зсз) с ограниченным носителем 6/з/$!(РИ (5. 1О.! ) для всех 6. Следствие, Зто верно, даже если носитель / не ограничен. Докдзлтвльство творимы. Посиольку / имеет ограниченный носитель, его преобрззовзние Фурье/является непрерывной (в действительности даже знзлитической) функцией, что следует из теоремы в 4 4.5; следовательно, 1/ $6 — /!/!!з — ~ 1/ («) )т Ел« Пусть я явлиется функцией,/ /, т. е. й(у)=</, р„, е>, (5.!0,2) где р з(х) — пробная функция, введенная в определении оперзторз сглзживз.
ния /з в й 2.0. Чтобы получить я(«), умножнм последнее уравнение нв (2и) а/зе «'" в проинтегрируем его по и" относительно у. Используя упрзжиенне 1 из $2.4 об иитсгрировзнин цо пзрзметру, находим, что и(«)=(/, е г«'игр(6«) =/(«) рйбй) 5.!1. Пространства Соболева. Пространство )Рэ 121 (что и следовало ожидать, потому что (5.Ю.2] является сверткой). Но р (х)— неотрицательная функции, интеграл от яоторой равен единице, поэтому )р(й) ~~)р(0))=1, и, следовательно, )~е(э )~/(э, откуда мы получаем (5.10.1). Очевидно, что (У / ) — последовательность Коши н э'а/ — ее 'предел (потому что, согласно уира>иненню 5 иэ 4 2.6, Уа/ — ее предел в смысле сходямости распределений, а такой предел совпадает с пределом в Еэ каждый раэ, когда последний сунтествует).
Но тогда в пределе при 1-» оэ иэ (5.10.3) следует Теорема 2. Если / ~~."1 -1, (./е/ — /1- О при б- О. доклзлтпльство. Возьмем такие в > 0 и эрчСе, что ((/ — >р ~) < е. (5.10.4) Тогда по теореме 1 ))/е/ — Хаф( < е для любого 6. Так иак эр является гладкой Функцией, интуитивно ясно, что lа>р мало отличается от >р при достаточно малом 6; доказательство того, что 6 можно выбрать так, что 1эьэр — 'р( < в» оставляется читателю в качестве упражнения.
Вместе эти три неравенства показывают, что (э'е/ — /( < За для произвольного е, а отсюда следует (5.!0А). 5.11. ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА. ПРОСТРАНСТВО Ит В задачах квантовой механики физически уместными часто оказываются такие гильбертовы пространства, элементы которых ф(х) или ф(х, 1) — волновые функции — и их частные производные первого порядка принадлежат Ьэ, так что, например, математическое ожидание кинетической энергии, которое при должном выборе единиц равно (1/2) ) ) уэ)>)э с(ах, является конечной величиной.
Такие пространства называются пространсп>важи Соболева'; они полезны при изучении дифференциальных операторов с частными производными. Функции, принадлежащие им, имеют в некотором смысле вполне определенные граничные значения на гиперповерхностях. Напоминаем: если и распределение / (от одной переменной), и его производная /э Дохлзлтпльство следствия. Пусть (/>) — последователыюсть распределений с ограниченными носителями, сходяшаяся в ЕТ к / (см. упражнение в 4 5.4); тогда для каждого / выполняется неравенство Ра/11~.') //~) (5.10.3) Гл. Ю.
Просасранстаа Г' принадлежат !'.о, то 1 является обычной непрерывной функцией 1'(х) и„следовательно, имеет вполне определенные значения для всех хЕ[а, 51. (В частности, )(х) — О на бесконечности, если (а, Ь) — неограниченный интервал.) Хотя в многомерном случае распределение 7 (х), принадлежащее соответствующему пространству Соболева, не является, вообще говоря, обычной функцией, его «значенняо на простой замкнутой поверхности 5 образуют распределение на Я, как это будет выяснено в следующем параграфе, Пусть Р— либо все, Ка, либо область в ос», ограниченная кусочно гладкой простой замкнутой поверхностью И, и пусть ьз — гильбертово пространство 1.о(ьс), скалярное произведение и норма которого будут обозначаться через (и, о), и !!и), соответственно.
Обозначим через (Гз= (Рч (ь)) линейное многообразие (Уо=(и ~Е'. д и ~(,о (т=1, ..., и)), (5.11.1) где (ри, ро), = Х (д и, д о)„ т=! о (! уи!!о= ~~,'о !(д и!!а, т ! (5.!1,5) (5, 1 1.6) Теорема. ррз — полное относительно нормы ~ !!! пространстао. Доклздтвльство. Предположим, что (ау)1=,— последовательность Коши в (рь, т.е. ((иу — пай — о О прп !', Iс — со; (5,11.71 мы должны показать, что найдется такое распределение с ~!р'з, что !(иу — о(! — ~ О при ! ° со, (5Л !.5! Утверждение (5.11.71 и формула (5.11А), в которой и заменено на иг — и!о показывают, что (иу) и (д, иу) (т=1, ..., а) являются последовательностями Коши в ).о.
Пусть о и ш, (т=!, ..., а) — соотаетствуюшнс пределы этих последовательностей в 1.'. Лля любой пробной функции ср из Со" ((11 (шм, ср)о= 1!ш (дмад ср)о= 1пп (аз — дмср)о= ! ~(о, — дмср)о — (дна, фу где д =д/дх (т=1, ..., и). (5.11.2) Многообразие Ю' не замкнуто в 1.' и, следовательно, не является подпространством (,о, однако мы покажем, что оно является полным (а значит, гильбертовым) пространством относительно скалярного произведения и нормы, определяемых равенствами (и, о)г=(и, о),+(Ги, ро)„ (5.1 1.3) !~ Й=!! ))+!!р Ю (5.!1.4) д,)2. Граннчнме значения в Егз. Подиространство Етзе (здесь использовалось определение производной распределения дмо). Поэтому ю и д о как распределения на Г) совпадают, а отсюда следует, что (1) дно~Ей для каждого т и, следовательно, о~)рт и (2) д о — предел в Ез последовательности (д п ) для каждого т и поэтому в силу (й.!1.6) 1н» вЂ” ой-»О при ! — » со, Поэтому (Рт — полное прсстразство.
Часто используют н другие пространства Соболева. Так, в Ъ' и Е'-норма заменяется 1'-нормой, применяемой к функции и и к ее частным производным порядка пе выше 1 (см. Фридман [19691). Мы будем иметь дело только с пространством уэтт= ()т! ', Гь(ть ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В И»т. ПОДПРОСТРАНСТВО Ито Пусть и6 Ж" (ь)), где ь) — ограниченная область с кусочно гладкой границей, н пусть зр (х) — любая функция из Сз (ьз). Рассмотрим ио (х) = Уои, где Уо — оператор сглаживания, определенный в $ 2.6; функция ио может иметь н ненулевые значения вне области ьв, однако она непрерывна на ь) и как таковая принадлежит Ез((1). Интегрирование по частям (формула Грина) дает (7!1, 7ио), = ~ 7тр 7иобзх = ) 7тр низ<И вЂ” ) (7зтр) изе(ях.
Оператор Ео перестаиовочен с 7, т.е. 7 (ио) =(7и)о; кроме того, ( (прн 6- 0) для любой(СЕз(й) в Ез(рсо), а следовательно, и в Ез(()); поэтому !пп ~ ио7»р пе(А=(7зр, 7и),+(7ззр, и),. (5.12,1) о ап Этот предел зависит от значений 7тр на оь), в остальном же от тр не зависит. Определим функпшо )( па д(о следующим образом: )((х)=7тг и, хЕд(), (5.12.2) и будем рассматривать у. как пробную функцию.
Тогда равенство <и, )(>= Ищ ) ио)(аИ о эа определяет линейный функционал <и, > на пространстве пробных функций )(, т. е. распределение и на дьз; можно считать, что это распределение образовано граничными значениями функции и из 7)" (Й). Можно доказать, что и принадлежит пространству Ез(д(2), определенному на поверхности дь1 (см. 2 5.3); зто частный случай 124 Гл. б. Просжроягглао Т.а более общей теоремы Соболева (см.
Соболев [19501). Если и — обычная функция из Ю', непрерывная на ь), то и — такое распределение на д12, которое следует отождествлять с функцией и(х) при БЕдй и которое задается формулой <иХ> = $ и(х) Х(х)д4. аи Рассмотрим случай, когда граничные значения й обращаются в нуль. Тогда в силу (5.12.1) (7ф, 7и),+(7'Ф, и),=0; (5.!2.3) вто равенство оказывается формулой интегрирования по частям на ь), когда граничные значения функции и равняются нулю. Определим %",=(и 6 (Р: (5.12.3) выполняется для всех ф ЕС'(1))). (5.12 4) Вследствие непрерывности скалярного произведения из (5.12.3) следует, что 7Р',— замкнутое линейное многообразие, т. е. надпространство в К". В следующей главе УР", будет играть роль гильбертова пространства, содержащего собственные функции оператора Лапласа на Й при нулевых граничных условиях на д11.
Формула интегрирования по частям (5.12.3) справедлива н в несколько более общей ситуации. Пусть функция и, ее частные производные первого порядка и 7'и принадлежат Еа(ь)). Возьмем вместо ф функцию па = .)ап. Поскольку оператор )а коммутирует с дифференцированием, (5.12.3) дает (Ьуи, 7и),+(га7'а, и),=0. Так как для любого тв Е Ев,!ага - и в Еа (Иь), а значит, и в Еа (О), мы получаем (7о,7и),+(7аа, и),=0 для иЕ))У'„иЕ)Р', 7апЕЫ (5.12.5) УПРАЖНЕНИЯ 1. Покажите, что С" (СТ) — плотное в Ге'(И) множество. Указание, Приме.
ните оператор сглаяаивання аа к элементам )иь(4)), 2. Пусть 11 — единичный нуб в Еж Покажите, что найдется такая постоянная К, что )) 771)К1<р1 для всех ЧЕСе (0) и что отсюда следует, что С„(1)) ие плотно в 1Г'(й). ЕЛЗ. ОБ ОБРАЩЕНИИ В НУЛЬ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ. Н Обсуждение данного вопроса, начатое в 2 5.6, теперь можно продолжить для случая пространства Е'(Р*). Теорема. Если распределение )' и все ега частные производные порядка 1 (1> пг2) принадлежагп Ла(Рха), та )"'(х) — непрерывная функция, стреляи(аяся к нрлю при )х(- оо, 5.13.
Об обращении а нуль на бесконечности. ?? Доказательство. Предположим сначала, что ! — четное число; тогда (+ ~д.', 1 ЕЕ' При помощи преобразования Фурье получаем, что „ае! Х(=убЕ' где (! ?+( з ! ) з)г)э (Отсюда, между прочим, следует, что каждая частная производная порядка < ! также принадлежит Ез, поточу что ее преобразовавие Фурье равно у(ут, ..., у„) Е где Π— одночлен степени (?; следовательно, это преобразова. ние можно записать как (д(Х) д, где д/Х вЂ” непрерывная ограниченная функпия.) Пусть теперь тйу — пробные функции, сходящиеся в Е! к у. Тогда пробные фуинции ам фу (у) = х (у)-' фу (у) сходятся в Ез к Д В силу неравенства Шварца мы имеем с ? ~ьм-э,ы~еь)( ?хм-ит?~Ф,(п-э юге,. ил Первый интеграл в правой части неравенства конечен, потому что его подынтегральная функция стремится к нулю на бесконечности по меньшей мере как ! у )-"- т; поэтому ! фу — фэ ()ш ~ соп з(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
