Рихтмайер - Принципы современной математической физики, том 1 (947397), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(6.4.4) Третья классическая задача состоит в нахождении так называемой функции Грина 6(х, у) для области й. Зта функция имеет вид 6(х, у)= „., +д(х, у), 1 (6.4.5) где для каждого фиксированного у из й д является решением частной задачи Дирихле Чей=О в й (6.4,6) (уз обозначает лапласиан относительно компонент вектора х) и д (х, у) = — „,, х Е дй. (6.4.7) $е(х)= ) 6(х, у)р(у)с(оу. (6.4.8) Следовательно, при фиксированном у из й функция 6 (х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа, за исключением точки х = у (где, как следует из (6.4.7), имеется особенность), и обращается в нуль при хЕдй. Мы утверждаем (без доказательства), что если й †облас с достаточно хорошей границей дй (см.
ниже), то все три классические задачи имеют решения. Эти решения связаны следующим образом: если задача Дирихле (6.4.3), (6,4.4) имеет решение для еиобой данной непрерывной 7(х) на дй, то задача (6:4.6), (6.4.7) имеет решение, и, следовательно, функция Грина имеет вид (6.4.5). При заданном у 6(х, у) является решением некоторого частного случая задачи Пуассона (6.4.1), (6.4.2), в котором точечный единичный заряд локализован в точке х=у, так что р(х) равна и-мерной б-функции от х — у. Тогда решение общей задачи Пуассона (6.4.1), (6.4.2) описывается интегралом е.е. чада не пуассона, Геирикле, Грина и неймана Г(х)=Г(х) на д(е, то решение задачи Дирихле (6.4.3), (6.4.4) имеет вид У(х) = — 1' (х)+ 1', (х), где )е, (х) — решение задачи Пуассона (6.4.1), (6А.2) с р = (1/с„) 7е1.
(6.4.9) Для практических целей достаточным условием разрешимости классических задач является так называемое условие внешнего конуса: можно найти такие числа в > О и 11 > О, что для каждой точки хЕ д11 существует круговой конус с углом раствора е, высотой а и вершиной в точке х, лежащий вне ве; см. рис. 6.1. Это условие гарантирует, что граница д11 не имеет бесконечно заостренных входящих ребер, углов и пиков. Для трехмерного случая подробности можно найти в книге Кураита и Гильберта !19621, Классическая задача Нейлеана аналогична задаче Дирихле, но в ее формулировку входит нор- Рве. 6.1.
условие внешнего вовусв. мальная компонента градиента функции Р(х) на границе, а не самое У(х), т. е. 7вУ=О в Г1, (6.4. 10) п.рГ=а(х) (задана) на д(е, (6.4.11) где п=п(х) — единичный вектор внешней нормали к д(1 в точке хЕд(). Из теоремы Гаусса для векторного поля у)е следует, что необходимым условием того, что данная задача имеет решение, является равенство ) а (х) йИ = О (6.4.!2) ап Если это условие выполняется, то условие внешнего конуса достаточно для существования решения. Соответствующая задача Пуассона — Неймана такова: 7е)~ =р (задана) в вг, (6.4.!3) п р)к=О на дГ1. (6.4.!4) Наконец, если Г(х) — любая подходящая функция, заданная на д(1, скажем функция класса С', а г(х) — любая функция класса С' в 11 н класса С' в Й, принимающая заданные значения на д(е, т.
е. 132 Гл, Б. Некоаеарме задача, салааннме с ланлащщном В этом случае необходимым условием существовании решения является равенство ~ р (х) с("х= О. (6.4.15) Относительно некоторого аналога функции Грина см. ниже упражнение 7; сведения о <функции Неймана> для родственного оператора уа — сопз1 приведены в книге Гарабедяна (1964]. Решения задач Неймана (6.4.10), (6.4.11) и (6.4.13), (6.4.14) не являются единственными, поскольку к (с(х) можно прибавить произвольную постоянную. Мы утверждаем (без доказательства), что если р является произвольным распределением с носителем в ь), то уравнения (6.4.1), (6.4.2) и (6.4.8) справедливы в следующем смысле, Мы запишем (6.4.5) в следующем виде: 0(х, у) =й„а(х — у)+д, (у), (6.4.16) где )сн т(х)=(х! '" " и д„(у)=д(х, у).
Тогда (6.4.8) можно интерпретировать как )с = й„, в р+ <р, д„> в ь) (6.4.17) по следующим соображениям: (1) в п-мерном случае особенность )е„ а(х) интегрируема, и поэтому )е„ е можно отождествить с распределением, описываемым формулой </г„„тр> = )Г й„а (х) ~р (х) с(ах; УПРАЖНЕНИЯ 1. Пусть 11 представляет собой пмр )х( ( а в Йн. Покажите, что функ.
ппя Грина имеет вид ! 1 (х — у ("" а ( (1 у (/а) х — (а/( у 1) у !а 1' и проверьте, что 6 симметрична, 0(х, у)=6(у, х), в соответствии с общим случаем, рассматриваемом в упражнении 3, (6.4.18) (2) определение функционала <р, > можно непрерывно распространить на любую функцию д(х), принадлежащую классу С" на носителе функции р, но при этом не обязательно имеющую ограниченный носитель; (3) уравнение Пуассона справедливо в смысле теории распределений; (4) )с(х) является непрерывной функцией вне носителя функции р и удовлетворяет граничному условию (6.4.2), Если носитель р не ограничен областью ь), но заведомо ограничен Й, то потребуется лишь одно изменение, заключающееся в том, что граничное условие (6.4.2) выполняется только в слабом смысле 2 5.12. бА.
Задачи Пуассона, Лирилле, Грина и Неймана !33 2. Получите формулу Грина (и Чзо — и Ч'и) йлх = ~ (и Чо — о Ч и) гн(А (6.4.!9) и ап путем применения теоремы Гаусса к векторному полю и Чо — о Чи; здесь п=п(х) — единичный вектор внешней нормали в точке хцд(). 3. Покажите, что функция Грина в области () симиетрична, 0(х, у) =6(у, х), сначала положив и(х)=6(х, у) и о(х)=П(х, и) для фиксированных у и и в () (у ~ и), затем применив формулу Грина к области (Г=(х~(1: (х — у( > в, ) х — и) > з) (см. рис, 6.2) и, наконец, устремив в к нулю. 4, Покажите, что решение задачи Дирихле (6,4.3), (6,4,4) дается интсеральной формулой Пуассона 1 (х) (1!со) ~ ) (у) п (у) Ч 0 (у х) йА (у) (6.4.20) при условии, что все указанные действия имеют смысл.
Рнс, 6.2. Симметрия функции Грина. аа — (х)* Г )(у) йр((у) 4па ) ) х — у(ч (6.4,2!) 6. Покажите, что действия, включенные в предыдушее упражнение, могут утратить смысл, если д() имеет входяшее ребро или угол. Для этого рассмотрите задачу, в которой проекция поверхности заряда имеет вид, изображенный на рис. 6.3, и покажите, что в вершине угла у=уз напряженность поля Ч Й(у, х) бесконечна. У 6. Покажите, что если И является шаром )х) < а в Гьч, то интегральная формула Пуассона принимает вид 134 Гл. 6.
Некожорые задачи, связанные с лалласиаком в в полярных координатах — вид 1'(х) =— аз — агз ('(' ) (у) зш Одддр 4п )) (аз+с) — 2агсозО)зГа (6.4.22) Рнс. 6.3. Особенность поля. 7, Рассмотрите задачу Пуассона — Неймана (6.4.13), (6.4,14), в которой распределение заряда р(х) состоит из положительного точечного заряда в точке х=-у и отрицательного точечного заряда н точке х=у'. Так как решение у(х) содержит произвольную аддитивную постоянную, рассмотрим разность 1Г(х) — (г (х') для двух точек х и х' и обозначим ее через О (х, х', у, у').
(6.4.23) Найдите характерное представление этой функции, аналогичное (6.4„5) для функции Грина. Функцию б(х, х', у, у') можно интерпретировать как электрическое сопротивление в предположении, что область ье запал» Так Рис. 6.4. Идеализированный резистор. непа однородным веществом с единичным удельным сопротивлением и с изоляцией на границе дь), что единичный ток подводится к точке у и выводится в точке у" и что разность потенциалов где г=.) х) < а, а Π— угол между х и у (т, е.
полярная ось для переменной у на сфере (у)=а взята в направлении х). 5.5. Теорема (1)«арча о ядре между этими точками у и у' измерима. Тогда электрическое сопротивление представляется четырехточечной функцией. По этой причине в классической электроизмерительной практике точные стандартные резисторы низкого сопротивления выполняются с раздельными выходами тока н напряжения, как показано на рис. 6.4.
Если мы положим х=у или х'=у', то 6 обратится в бесконечность; интерпретировать это можно так( если конечный ток вводится в тело конечного удельного сопротивления в некоторой геометрической точке, то результирующее «контактное» сопротивление бесконечно (оно расходится логарифмнчески, когда радиус этой «точки» стремится к нулю). Упнзжценнв 8.
Покажите, что 0(х, х', у, у')=о(у, у' х х). (Зто одно из многих так называемых соошношений ззаинносши в злектромагнитной теории.) 6.5. ТЕОРЕМА ШВАРЦА О ЯДРЕ. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ у(х) Е.(у) Свертка обычных функций коммутативна, ~ад=до~, но из определения (6.2.4) не очевидно, что это верно для распределений. (В предыдущих рассуждениях эта коммутативность не использовалась). Допустим, что оба распределения ( и д на Й» имеют ограниченные носители (это допущение иногда может быть ослаблено). Тогда вопрос о справедливости равенства ~ од= де( переходит в следующий: даны линейные функционалы <(, .> и <д, >; верно ли, что <Г (х), <д (у), тр (х+ у) » = <и (у), <1 (х), р (х + у) » для всех ер в С„"(Дя)р (6.5.1) Этот вопрос имеет смысл благодаря тому, что величины после первой запятой в каждом члене являются пробными функциями из-за допущенной ограниченности носителей Г" и д.
Сначала мы несколько обобщим вопрос: верно ли, что <Г(х), <д(у), тр(х, у)»=<у(у), <)(х), тр(х, у)» для всех тР в С,"(РЯ)? (6.5.2) [Может показаться, что (6.5,2) не перекрывает (6.5.1), поскольку носитель р(х+у) обязательно стремится к бесконечности в Дзо в направлениях х+у = сопз1.
Однако для того, чтобы согласовать эти уравнения, нужно всего лишь, чтобы ф(х, у) совпадала с ~р(х+у) в некоторой прямоугольной области в Дзя, определенной носителями ((х) и д(у), а вне этой области тр можно положить равной нулю.) 136 Гл. б, Нскаизрис задачи, сеээсииви с лиилисиаиом Этот вопрос в такой общей форме связан с так называемым прямым произведением двух распределений. Левая часть (6.5.2) как линейный функционал, определенный для всех ф из С," (Рви), описывает распределение на вчэ", которое мы обозначим через ~(х)д(у) и назовем прямым произведением )' и д.
Аналогично правая часть (6.5.2) определяет д(у)г(х). Таким образом, рассматриваемый вопрос заключается в следующем: является ли прямое произведение коммутативныму [В некоторых простых случаях мы уже использовали прямое произведение, например 6(х) 6(у), где равенство (6.5.2) очевидно.) Тот же вопрос возникает, когда ) является распределением на йи, а д — на вс"; тогда Г(х)д(у) и й(у)~(х) представляют собой распределения на вчи'".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
